胡嘉琦，賀小華，周昌玉

1 引言

金屬鈦有著密度小、比強(qiáng)度高、耐腐蝕性強(qiáng)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于壓力容器。鈦材在軋制過程中會出現(xiàn)織構(gòu)現(xiàn)象，在軋制力作用下金屬晶體會集體擇優(yōu)選擇朝向，導(dǎo)致鈦材各個方向的材料參數(shù)有顯著不同，所以鈦材是典型的正交各向異性材料[1-2]。目前，國內(nèi)外標(biāo)準(zhǔn)[3-5]中將鈦材視為各向同性材料進(jìn)行處理，該處理方式雖便于工程應(yīng)用，但會給壓力容器設(shè)計帶來一定的不確定性。

外壓錐殼常用于航空航天、石油化工等領(lǐng)域，失穩(wěn)是外壓錐殼失效的主要形式。文獻(xiàn)[6-7]對錐殼分別受軸壓、外壓和組合載荷作用下的屈曲失穩(wěn)進(jìn)行了實驗研究，測得的實驗值與理論公式計算值、標(biāo)準(zhǔn)解差異較大，由于有限元計算中考慮了實驗結(jié)構(gòu)的初始缺陷，所以計算結(jié)果與實驗值較為接近。文獻(xiàn)[8]采用有限元分析方法對斜錐殼及其等效正錐殼進(jìn)行外壓屈曲模擬計算，研究了兩種錐殼在屈曲失穩(wěn)模態(tài)形狀的差異以及幾何參數(shù)對臨界失穩(wěn)壓力的影響。

文獻(xiàn)[9]對正交各向異性薄壁圓筒臨界失穩(wěn)進(jìn)行有限元分析，比較了有限元解與解析解、標(biāo)準(zhǔn)解的不同，討論了材料不同卷板方式對臨界失穩(wěn)壓力的影響，并對比分析了各向異性與各向同性外壓圓筒的差異。圓筒和錐殼結(jié)構(gòu)都是壓力容器中常用結(jié)構(gòu)，目前鮮有文獻(xiàn)對正交各向異性錐殼外壓失穩(wěn)進(jìn)行系統(tǒng)研究，關(guān)于正交各向異性和各向同性錐殼的差異性也未進(jìn)行討論分析。文獻(xiàn)[10]依據(jù)Donnell理論，結(jié)合相關(guān)力學(xué)關(guān)系列出正交各向異性錐殼受外壓時的平衡方程，并依據(jù)Galerkin&Ritz理論求解出正交各向異性變厚度錐殼臨界失穩(wěn)靜壓力和動壓力計算公式。實際工程中，錐殼在制造過程中會造成結(jié)構(gòu)缺陷，理論公式能否適用于實際工程中尚需進(jìn)一步討論。采用有限元分析法對正交各向異性錐殼進(jìn)行外壓失穩(wěn)模擬計算，系統(tǒng)研究幾何參數(shù)對臨界失穩(wěn)壓力Pcr的影響，對比分析正交各向異性與各向同性錐殼的差異，討論現(xiàn)行規(guī)范計算正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力方法的可行性。結(jié)果對進(jìn)一步實現(xiàn)正交各向異性錐殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化，有效提高承載能力具有重要意義。

2 外壓錐殼有限元模擬

2.1 TA2正交各向異性材料參數(shù)

錐殼材料為工業(yè)純鈦TA2。通過實驗測定TA2的材料參數(shù)[1]，實驗數(shù)據(jù)，如表1所示。其中，x方向為板材軋制方向，y方向板材寬度方向，z為板材厚度方向。

表1 TA2材料參數(shù)Tab.1 Material Parameters of TA2

2.2 有限元計算模型

為了研究結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力的影響，保持錐殼大端外直徑DL不變，通過改變錐殼半頂角α以及徑厚比來建立模型進(jìn)行模擬分析。計算方案中DL=3000mm，徑厚比 DL/T 值為 80、100、150、250，錐形比 λ（λ=1-Ds/DL）值為 0.35、0.5、0.65，半頂角 α 取值范圍為（5～60）°，中間間隔 5°。采用shell181單元對模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗證，shell181單元的有效可靠性在文獻(xiàn)[2]中已有詳細(xì)說明。

2.3 有限元模擬邊界條件

參照文獻(xiàn)[8，10]，錐殼大小端邊界條件均采用簡支約束，大小兩端均約束環(huán)向位移，小端同時約束軸向位移，錐殼外表面施加壓力。

2.4 有限元結(jié)構(gòu)失穩(wěn)分析方法

有限元失穩(wěn)分析中，常使用特征值分析法和非線性分析法，但兩種方法計算時常會得出相差較大的結(jié)果。為了驗證兩種方法的可靠性，選取文獻(xiàn)[6-7]中錐殼外壓實驗?zāi)Ｐ?，分別進(jìn)行特征值分析和非線性分析，其中在非線性分析過程中采用“一致缺陷模態(tài)法”，施加實驗?zāi)Ｐ偷某跏既毕?。分析所得的臨界失穩(wěn)壓力，如表2所示。通過將兩種方法的有限元計算結(jié)果與實驗值對比可知，特征值分析結(jié)果與實驗值相差較大，而非線性分析結(jié)果與實驗值較為接近。由于考慮了模型的初始幾何缺陷以及幾何大變形等因素，故采用有限元非線性分析求解的臨界失穩(wěn)壓力較為準(zhǔn)確。

表2 不同分析方法得到的臨界失穩(wěn)壓力Tab.2 The Critical Buckling Pressure Calculated by Different Methods

3 外壓錐殼臨界失穩(wěn)壓力研究

錐殼在設(shè)備中常起連接作用，主要的連接形式有圓筒—錐殼—圓筒。當(dāng)上下所連接圓筒直徑與厚度都確定時，在滿足工程使用條件下，只能通過變化錐殼半頂角來改變殼體結(jié)構(gòu)。

選取錐形比λ=0.5的錐殼為研究對象，利用非線性分析法研究不同幾何參數(shù)下正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力。模擬過程中將標(biāo)準(zhǔn)[3]所規(guī)定的最大允許偏差作為模型的初始幾何缺陷施加。模擬所得臨界失穩(wěn)壓力Pcr，如圖1（a）所示。

圖1 正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力Fig.1 The Critical Buckling Pressure of Orthotropic Conical Shell

從圖中可知，隨著錐殼半頂角的增大，Pcr先增大后逐漸減小。分析認(rèn)為，在其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變時，錐殼軸向長度的縮短對錐殼臨界失穩(wěn)壓力Pcr有著兩種不同的作用。一方面，隨著錐殼軸向長度的縮短，錐殼受大小端支撐線的邊緣效應(yīng)作用逐漸加強(qiáng)，有助提高外壓穩(wěn)定性；另一方面，隨著錐殼半頂角α的增大，對錐殼外壓穩(wěn)定性有抑制作用，與文獻(xiàn)[8]結(jié)論一致。

綜合考慮錐殼大小端增強(qiáng)影響和錐殼半頂角大小等因素，可有效提高錐殼的抗失穩(wěn)能力。從圖中可得，不同徑厚比的錐殼結(jié)構(gòu)，在半頂角從（5～60）°的變化過程中，Pcr最大值與最小值的比值可達(dá)到（1.9～3.6）。錐殼在半頂角30°附近的抗失穩(wěn)能力最強(qiáng)。對于單一使用的錐殼，還可通過改變徑厚比有效提高錐殼抗失穩(wěn)能力。

為驗證上述規(guī)律的一般性，選取徑厚比DL/T=100，錐形比λ為0.35、0.6的錐殼進(jìn)行模擬計算，模擬結(jié)果，如圖1（b）所示。從圖中可得，不同錐形比的錐殼，其中，Pcr隨半頂角的變化規(guī)律基本相同。由此說明，一定錐形比及徑厚比下，在半頂角30°附近，錐殼抗外壓失穩(wěn)能力最強(qiáng)。

4 外壓錐殼臨界失穩(wěn)壓力的比較

4.1 正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力與理論公式計算結(jié)果比較

文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)出簡支條件下正交各向異性錐殼外壓臨界失穩(wěn)靜壓力公式：

式中：Eθ、Et—錐殼環(huán)向和母線方向上的彈性模量；vtθ、vθt—泊松比；r2—閉合錐殼母線長度；γ—錐殼半頂角；b1、b2、b3、b5、b6—相關(guān)系數(shù)，詳見文獻(xiàn)。

利用式（1）分別計算不同幾何參數(shù)的錐殼臨界失穩(wěn)壓力Pcr，選取錐形比λ=0.5的錐殼為例，理論公式與有限元計算結(jié)果，如圖2所示。從圖中可知，徑厚比較小時，相同參數(shù)下，Pcr解析解遠(yuǎn)大于有限元解。解析解的變化規(guī)律與有限元解較為相似，隨著錐殼半頂角的增大，Pcr先增大后逐漸減小。解析解與有限元解達(dá)到最大值時半頂角范圍存在差異，解析解在半頂角40°附近時最大，而有限元解則在半頂角30°附近時達(dá)到最大值。

為了進(jìn)一步分析解析解與有限元解的差異性，以及討論理論公式在工程設(shè)計中的適用性，正交各向異性臨界失穩(wěn)壓力Pcr有限元解與解析解比值，如圖2所示。P1為有限元解，P2為解析解。從圖中可知，隨著錐殼半頂角的增大，P1/P2值逐漸減小而后趨于一定值。不同錐形比下，P1/P2變化規(guī)律基本一致。由于理論公式解適用于薄殼且未考慮缺陷，徑厚比較大時，有限元解與解析解較為一致，徑厚比較小時，有限元解與解析解差異較大。

由圖 2可知，不同錐形比下，在半頂角（20～45）°范圍內(nèi)，當(dāng)徑厚比DL/T≥150時，P1/P2值范圍為（0.8～1.2），Pcr解析解與有限元解具有較好的一致性，可適用于工程設(shè)計中。

圖2 正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力有限元解與解析解比Fig.2 The Ratio of Critical Buckling Pressure Between Finite Element Solution and Analytical Solution

4.2 正交各向異性與各向同性錐殼臨界失穩(wěn)壓力的比較

標(biāo)準(zhǔn)[3-5]中將鈦材視為各向同性材料，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線是按鈦材軋制方向拉伸繪制的，泊松比取0.32。為比較正交各向異性與各向同性錐殼之間的差異，各向同性錐殼臨界失穩(wěn)壓力模擬計算中，材料參數(shù)取板材軋制方向數(shù)值。選取錐形比λ=0.5的錐殼為例，各向同性與正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力Pcr，如圖3所示。從圖3中可知，正交各向異性性錐殼臨界失穩(wěn)壓力變化規(guī)律與各向同性錐殼基本相同，相同參數(shù)下，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值均大于各向同性錐殼。

圖3 正交各向異性與各向同性錐殼失穩(wěn)壓力Fig.3 The Critical Buckling Pressure of Orthotropic Conical Shell and Isotropic One

為了進(jìn)一步分析正交各向異性與各向同性錐殼的差異性，正交各向異性與各向同性錐殼臨界失穩(wěn)壓力的比值，如圖4所示。圖中：P3—各向同性錐殼臨界失穩(wěn)壓力。從圖中可知，隨著錐殼半頂角、徑厚比和錐形比的增大，P1/P3值逐漸減小，但減小的幅度都不大，相同參數(shù)下，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值普遍高于各向同性錐殼（15～23）%。由于正交各向異性材料的力學(xué)參數(shù)和本構(gòu)關(guān)系與各向同性材料有一定的差異，使得兩者之間的抗彎模量和抗扭剛度有所不同，導(dǎo)致兩者的抗失穩(wěn)能力也不同，正交各向異性錐殼的抗失穩(wěn)能力要強(qiáng)于各向同性錐殼。

圖4 正交各向異性與各向同性錐殼臨界失穩(wěn)壓力比Fig.4 The Ratio of Critical Buckling Pressure Between the Orthotropic Conical Shell and Isotropic One

4.3 正交各向異性錐殼與等效各向同性圓筒臨界失穩(wěn)壓力的比較

錐殼外壓失穩(wěn)問題相對比較復(fù)雜，相關(guān)實驗研究表明，錐殼失穩(wěn)過程與等效圓筒失穩(wěn)過程相似，所以標(biāo)準(zhǔn)中將錐殼等效成圓筒進(jìn)行設(shè)計。標(biāo)準(zhǔn)[3，5]中采用等效方法處理錐殼穩(wěn)定性問題，其等效圓筒直徑d=（DL+Ds）/（2cosα），等效圓筒長度為錐殼母線長度L，等效圓筒厚度為錐殼厚度T。由于現(xiàn)行設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)中將鈦材視為各向同性材料，故正交各向異性錐殼被等效成各向同性圓筒進(jìn)行設(shè)計，為了比較分析兩者之間的差異性，將不同幾何參數(shù)的正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒，模擬計算其臨界失穩(wěn)壓力，圓筒的邊界約束條件與錐殼相同，計算過程中模型施加等量的初始幾何缺陷。選取錐形比λ=0.5的錐殼為例，等效各向同性圓筒與錐殼臨界失穩(wěn)壓力Pcr，如圖5所示。從圖中可知，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力變化規(guī)律與等效各向同性圓筒基本相同，相同參數(shù)下，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值均大于等效各向同性圓筒。

圖5 正交各向異性錐殼與等效各向同性圓筒臨界失穩(wěn)壓力Fig.5 The Critical Buckling Pressure of Orthotropic Conical Shell and Equivalent Isotropic Cylinder

為了進(jìn)一步分析正交各向異性錐殼與等效各向同性圓筒的差異性，正交各向異性錐殼與等效各向同性圓筒的臨界失穩(wěn)壓力比，如圖6所示。圖中：P4為等效各向同性圓筒臨界失穩(wěn)壓力。從圖中可知，隨著半頂角的增大，P1/P4值不斷減小，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值與等效各向同性圓筒差異逐漸減小。隨著錐形比的增大，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值與等效各向同性圓筒差異逐漸增大。

圖6 正交各向異性錐殼與等效各向同性圓筒臨界失穩(wěn)壓力比Fig.6 The Ratio of Critical Buckling Pressure Between Orthotropic Conical Shell and Equivalent Isotropic Cylinder

工程設(shè)計中，正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒具有保守性。當(dāng)錐殼半頂角較小時，正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒具有較高的安全富裕量；當(dāng)錐殼半頂角較大時，正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒安全富裕量適可。

5 結(jié)論

利用有限元非線性分析法，對不同幾何參數(shù)的正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力進(jìn)行系統(tǒng)研究，模擬計算結(jié)果與理論公式、各向同性錐殼以及等效圓筒進(jìn)行比較，得到以下結(jié)論：

（1）在其他幾何參數(shù)不變的情況下，隨著錐殼半頂角的增大，正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力先增大后逐漸減小，半頂角在30°附近，錐殼外壓抗失穩(wěn)能力最強(qiáng)。

（2）錐殼徑厚比較大時，解析解與有限元解有較好的一致性，錐殼在半頂角（20～45）°范圍內(nèi)，當(dāng)徑厚比 DL/T≥150 時，解析解可適用于工程設(shè)計中。

（3）正交各向異性錐殼臨界失穩(wěn)壓力值普遍高于各向同性錐殼（15～23）%。

（4）正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒具有保守性。當(dāng)錐殼半頂角較小時，正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒具有較高的安全裕量；當(dāng)錐殼半頂角較大時，正交各向異性錐殼等效成各向同性圓筒安全裕量適可。