吳智敏 周先華

摘 要：核心素養(yǎng)是教育改革的關(guān)鍵和課程改革的核心，而數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的一大重要內(nèi)容，對(duì)它的研究有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與學(xué)業(yè)成績(jī)。通過(guò)對(duì)教師進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)不同類型教師對(duì)核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的了解程度進(jìn)行分析，分析高中數(shù)學(xué)老師對(duì)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的理論學(xué)習(xí)與實(shí)際操作情況。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)教師

中圖分類號(hào)：G451.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-03-01

作者簡(jiǎn)介：吳智敏（1983-），女，重慶梁平人，一級(jí)教師，碩士研究生，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；

周先華（1972-），男，四川廣安人，高級(jí)教師，本科，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、問(wèn)題的提出

核心素養(yǎng)已經(jīng)成為我國(guó)教育領(lǐng)域最關(guān)受注的詞語(yǔ)之一，它將是新課標(biāo)的源頭、中高考評(píng)價(jià)的核心和未來(lái)教育改革的關(guān)鍵?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出：核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是通過(guò)學(xué)習(xí)而逐步形成的關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的?；诟咧袛?shù)學(xué)課程性質(zhì)和教育價(jià)值，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1]。我們子課題“培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象的實(shí)踐研究”課題組就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)抽象”進(jìn)行了學(xué)習(xí)和調(diào)研。

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)，主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題。

為了更加客觀、全面地了解目前四川省成都市玉林中學(xué)（以下簡(jiǎn)稱“我校”）高中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)現(xiàn)狀，課題組設(shè)計(jì)了教師問(wèn)卷，用于直接了解教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解，同時(shí)了解教師對(duì)學(xué)生問(wèn)卷中的試題如何分析。本文主要對(duì)教師問(wèn)卷的命制、教師問(wèn)卷的調(diào)查結(jié)果以及后期如何研究進(jìn)行分析。

二、教師問(wèn)卷調(diào)查設(shè)計(jì)

1. 調(diào)查目的

為了了解我校高中數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的理論學(xué)習(xí)與實(shí)際操作，教師問(wèn)卷的內(nèi)容圍繞這樣幾方面：

（1）不同類型教師對(duì)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的了解程度；

（2）不同類型教師對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象的情境、歷程、表現(xiàn)及內(nèi)容的理解程度；

（3）不同類型教師對(duì)學(xué)生問(wèn)卷試題的分析。

2. 調(diào)查對(duì)象

教師卷的調(diào)查對(duì)象為為我們學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)教師，工作年限分為：1～5年、6～0年、11～15年、15年以上；職稱主要集中在中學(xué)二級(jí)、中學(xué)一級(jí)和中學(xué)高級(jí)三個(gè)層次；高中數(shù)學(xué)教師男性偏多，女性較少。

3. 調(diào)查問(wèn)卷的設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)上述調(diào)查目的，結(jié)合核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象的理論基礎(chǔ)以及對(duì)照學(xué)生問(wèn)卷試題，本研究在教師問(wèn)卷中設(shè)計(jì)了這樣三個(gè)部分：

第一部分為了了解教師們對(duì)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)了問(wèn)卷的第1、2、3題，通過(guò)調(diào)查教師對(duì)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，可以知道教師們對(duì)新的教育觀點(diǎn)與理論是否關(guān)心。

第二部分為了調(diào)查教師們對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)，包括數(shù)學(xué)抽象的定義、內(nèi)容、情境、歷程及表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)抽象是教師們經(jīng)常提到的術(shù)語(yǔ)，但是是否真正了解呢？因此問(wèn)卷設(shè)計(jì)了第4～15題，通過(guò)調(diào)查了解教師們對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解程度。

第三部分選取學(xué)生問(wèn)卷試題中的“餐廳位置”“公園水池”“虛數(shù)的產(chǎn)生”“分形幾何”以及“考試成績(jī)”五個(gè)題，讓教師們通過(guò)讀題，分析里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象各個(gè)方面的內(nèi)容，旨在挖掘出教師們遇到一道實(shí)際應(yīng)用題，如何將問(wèn)題抽象化的過(guò)程，因此設(shè)計(jì)了第16～20題。

三、教師問(wèn)卷調(diào)查的實(shí)施

課題組選擇了一個(gè)周一下午（教研活動(dòng)時(shí)間）對(duì)全體數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共收到問(wèn)卷34份，有效問(wèn)卷32份，有效問(wèn)卷率94.1%，其中職稱為中學(xué)二級(jí)的4份、一級(jí)的8份、高級(jí)的20份；教齡1～5年的6份，6～10年的4份，11～15年的0份，15年以上的22份；男老師30份，女老師2份。需要說(shuō)明的是高級(jí)職稱都是工作15年以上的，二級(jí)職稱的都是工作1～5年的，符合職稱和工作年限長(zhǎng)度成正比的關(guān)系。

四、教師問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)果統(tǒng)計(jì)與分析

從回收的問(wèn)卷構(gòu)成不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)校高中數(shù)學(xué)教師年齡結(jié)構(gòu)不太合理，教齡15年以上的占了68.8%，出現(xiàn)了斷層現(xiàn)象，老教師習(xí)慣了他們對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí)，對(duì)新的教育理念接受度不高，因此他們?cè)谝恍╊}中錯(cuò)誤率較高。

從表1與表2我們發(fā)現(xiàn)，總體上教師對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)了解不多。由于除了第5、9、11、12、16、17、18、19這八道題是單選，其他都是多選題，本身難度就增加了，因此很多題教師都漏選。正確率最高的是第17題，然后是第9題，都為單選題；錯(cuò)誤率最高的是第4題和第19題，一個(gè)多選，一個(gè)單選。中學(xué)二級(jí)教師每道題的得分率是最不理想的，出現(xiàn)了13道題全錯(cuò)，一道題正確率為100%，另外6道題正確率為50%；中學(xué)一級(jí)教師每道題的得分率是最為理想的，除了第9題落后于中學(xué)高級(jí)教師，其余各題都是最好的。究其原因，我們認(rèn)為有這樣兩點(diǎn)：其一，由于職稱和工作年限基本成正比關(guān)系，所以評(píng)了高級(jí)的教師思想有所懈怠，沒(méi)有職稱的外在壓力，因此主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的相關(guān)理論的可能性就小一些；而中學(xué)一級(jí)的教師們正處于事業(yè)上升期，各種賽課，攥寫(xiě)論文，培訓(xùn)機(jī)會(huì)也多，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的相關(guān)理論也多一些，因此情況相對(duì)好些；中學(xué)二級(jí)的教師們剛工作不久，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)缺乏，對(duì)數(shù)學(xué)抽象在教學(xué)中的一些應(yīng)用還不知道如何處理。其二，對(duì)一線教師普遍存在的現(xiàn)象，教育教學(xué)任務(wù)重，很難得靜下心來(lái)對(duì)新的教育政策方向、新的教育理論進(jìn)行研究，盡管教師們經(jīng)常將數(shù)學(xué)抽象掛在嘴邊，但是對(duì)它的實(shí)質(zhì)缺乏深入的研究。

第17題背景是學(xué)生問(wèn)卷里的試題“公園水池”中的6個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行分析，6個(gè)小問(wèn)從平面三角形內(nèi)切圓問(wèn)題類推到空間三棱錐的內(nèi)切球問(wèn)題，經(jīng)歷的抽象歷程為：形成數(shù)學(xué)抽象、理解數(shù)學(xué)抽象與運(yùn)用用數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)為形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系及形成數(shù)學(xué)命題與模型，這是一個(gè)大家很熟悉的同向思維中的“類比聯(lián)想”的應(yīng)用。

第9題屬于理論知識(shí)，根據(jù)弱抽象的定義，來(lái)理解它是從特殊到一般的抽象方式。徐利治、張鴻慶兩位學(xué)者在《數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法》一文中定義，弱抽象也可以叫做概念“擴(kuò)張式抽象”，即從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例[2]。弱抽象與類比聯(lián)想同屬于數(shù)學(xué)抽象中的“同向思維”，函數(shù)的奇偶性從特殊的二次函數(shù)的函數(shù)值入手找規(guī)律，然后推廣一般的函數(shù)的奇偶性屬于弱抽象，而直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)類比到空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)屬于類比聯(lián)想。從第9題和17題的結(jié)果表明，教師們對(duì)數(shù)學(xué)抽象中的同向思維掌握得很好，這也與很多教學(xué)內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)抽象的同向思維內(nèi)容有關(guān)。根據(jù)表2，我們發(fā)現(xiàn)得分最高的第17題的正確率各為：中學(xué)一級(jí)和二級(jí)100%，高級(jí)60%；第9題的正確率分別為：高級(jí)90%，一級(jí)75%，二級(jí)50%。

第4題數(shù)學(xué)抽象主要包括的內(nèi)容，很多教師選擇了D選項(xiàng)：“在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，求解結(jié)論”，這個(gè)敘述應(yīng)該是對(duì)數(shù)學(xué)建模的闡釋。何小亞在《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指標(biāo)之反思》一文中，對(duì)數(shù)學(xué)建模指標(biāo)進(jìn)行反思時(shí)，提出對(duì)從數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的定義看出，這兩個(gè)核心素養(yǎng)的內(nèi)容明顯重復(fù)了，不滿足分類的子項(xiàng)必須互斥的邏輯要求[3]。因此也說(shuō)明教師容易混淆兩個(gè)概念，還需要對(duì)數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行學(xué)習(xí)。

第19題對(duì)學(xué)生問(wèn)卷問(wèn)題8“分形幾何”中數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容中的“審美直覺(jué)的數(shù)學(xué)抽象”的理解，科克曲線的制作過(guò)程最能體現(xiàn)審美直覺(jué)中的統(tǒng)一性原則。統(tǒng)一性原則是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致，四個(gè)選項(xiàng)中：A.對(duì)數(shù)的運(yùn)算，B.正余弦函數(shù)的圖像，C. 的無(wú)理性，D.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪將整數(shù)指數(shù)冪與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算都可以統(tǒng)一起來(lái)，達(dá)到部分與整體的和諧一致。

從問(wèn)卷結(jié)果反映出來(lái)這樣幾方面的問(wèn)題：

1. 對(duì)核心素養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)容不清楚

第1題《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》正式印發(fā)，此文件中明確提出要研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，這是教育部第一次以文件形式將核心素養(yǎng)提上日程，但是只有25%的教師回答兩方面，而25%的教師單選“立德樹(shù)人目標(biāo)”，集中在1～5年、15年以上教齡兩個(gè)群體。

第2題與第3題都是對(duì)六種核心素養(yǎng)的解讀，數(shù)學(xué)的定義：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。這個(gè)定義包含了六種核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、直觀想象。從統(tǒng)計(jì)情況看，錯(cuò)誤的都是漏選。

2. 對(duì)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)相關(guān)內(nèi)容模糊

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現(xiàn)為，數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是“空間形式和數(shù)量關(guān)系”，不管是現(xiàn)實(shí)世界中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”還是思維想象中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”，都屬于數(shù)學(xué)研究的范疇[4]。

第4～15題都是關(guān)于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)內(nèi)容，從結(jié)果看，教師們對(duì)數(shù)學(xué)抽象的三種情境（社會(huì)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境）、數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容中的同向思維體會(huì)更深，回答得更好。

3. 對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象化的分析還需要進(jìn)一步加強(qiáng)

第16～20題通過(guò)對(duì)學(xué)生試題的分析，看教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程的掌握程度。從表1看出，第18～20這3道題正確率都不高。

五、提高高中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的途徑

1. 加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)

從問(wèn)卷反映出來(lái)的問(wèn)題，需要加強(qiáng)對(duì)各個(gè)教齡段教師的培訓(xùn)，新的教育理念、好的教學(xué)方法都值得學(xué)習(xí)。對(duì)一線教師來(lái)說(shuō)，首先自己要對(duì)數(shù)學(xué)抽象引起充分重視，只有清楚了數(shù)學(xué)抽象的各種表現(xiàn)形式、內(nèi)容，才能創(chuàng)造性的對(duì)教材加工，幫助學(xué)生從各種不同的數(shù)學(xué)抽象情境中形成、理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象，掌握知識(shí)點(diǎn)，形成數(shù)學(xué)思想與方法。新入職的數(shù)學(xué)教師缺乏實(shí)踐，但是接受新事物更快，因此應(yīng)該借助新一輪高中課程改革，認(rèn)真研究《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》里提出的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象

在數(shù)學(xué)中，抽象是思維的基礎(chǔ)，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認(rèn)識(shí)中獲得事物（事件或?qū)嵨铮┑谋举|(zhì)特征，從而上升到理性認(rèn)識(shí)，這既是一個(gè)獲取知識(shí)的過(guò)程，也是一個(gè)研究的過(guò)程]。

【例】2017年全國(guó)卷3大題第一道第（1）問(wèn)：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n..求{an}的通項(xiàng)公式。

此題抽象情境屬于數(shù)學(xué)情境，數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)為形成數(shù)學(xué)方法與思想。學(xué)生在這個(gè)新的數(shù)學(xué)情境中模仿學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，涉及的數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容為是數(shù)學(xué)抽象中同向思維的類比聯(lián)想，本質(zhì)就是一個(gè)已知數(shù)列{（2n-1）an}前n項(xiàng)和sn，求{（2n-1）an}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到{an}的通項(xiàng)公式。教師在分析與點(diǎn)評(píng)這道題的時(shí)候，可以讓學(xué)生根據(jù)該題進(jìn)一步類比推廣，從而形成這樣一類問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法與思想。例如：已知一個(gè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)積，怎樣求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； 已知數(shù)列{bn}及{bn·an}前n項(xiàng)積Tn，怎樣求數(shù)列 的通項(xiàng)公式等。教師通過(guò)這樣的數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)用，讓學(xué)生能夠在解決相似的問(wèn)題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想。

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