冉文學(xué)，劉會(huì)娟，余麗艷

(云南財(cái)經(jīng)大學(xué)物流學(xué)院，云南 昆明 650221)

1 引言

中國(guó)人口總量世界第一，約占世界總?cè)丝诘?/5，制定高效的糧食安全策略是社會(huì)穩(wěn)定的基礎(chǔ)條件。然而，我國(guó)食品供應(yīng)鏈存在一些問題，例如：計(jì)劃生產(chǎn)不準(zhǔn)確，忽視市場(chǎng)預(yù)測(cè)，食品批號(hào)老化，對(duì)客戶需求反應(yīng)靈敏度低，渠道滲透率低，安全責(zé)任難以劃分等，這些都屬于供應(yīng)鏈運(yùn)作的問題并與供應(yīng)鏈模式選擇密切相關(guān)[1-2]。食品產(chǎn)業(yè)鏈未來(lái)倡導(dǎo)個(gè)性化和定制化的新流通模式，即按需定制，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)糧食產(chǎn)業(yè)的供給側(cè)改革。

為了滿足消費(fèi)者個(gè)性化需求，連續(xù)物料的精準(zhǔn)、高效分揀包裝將推動(dòng)“新流通”模式的發(fā)展。以糧食等連續(xù)物料為例的“新流通”商業(yè)模式，簡(jiǎn)單概述為：在居民生活區(qū)周邊建立線上線下配銷一體化物流中心——糧油站(主要銷售糧食等連續(xù)物料，如面粉、大米、糧油等)，站內(nèi)產(chǎn)品直接由工廠配送中心配送。糧油站是精簡(jiǎn)供應(yīng)鏈的節(jié)點(diǎn)，在站內(nèi)布置連續(xù)物料分揀設(shè)備，消費(fèi)者可以在線上或者線下下單，根據(jù)自己的實(shí)際需求靈活的選擇想要購(gòu)買的商品數(shù)量，也可以按照金額進(jìn)行購(gòu)買，消費(fèi)者由被動(dòng)消費(fèi)變?yōu)橹鲃?dòng)消費(fèi)。這種供應(yīng)鏈精簡(jiǎn)的商業(yè)模式可以從源頭保證糧食安全，并且極大地便利人們的生活，能夠真正的實(shí)現(xiàn)糧食產(chǎn)業(yè)的供給側(cè)改革。

為了進(jìn)一步提高配送中心訂單分揀效率，輪詢理論開始被應(yīng)用于訂單分揀系統(tǒng)。輪詢是一種周期性的資源動(dòng)態(tài)調(diào)度分配系統(tǒng)，具有高效性、公平性、靈活性和實(shí)用性等特性[13-15]。盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)輪詢理論和如何提高訂單分揀效率已經(jīng)做了比較深入的研究，但是將輪詢理論應(yīng)用于分揀系統(tǒng)的研究還極其有限。Gong Yeming和De Koster[16]做了開拓性的研究，他們應(yīng)用輪詢理論描述和分析了電子商務(wù)環(huán)境下半自動(dòng)化的動(dòng)態(tài)訂單分揀系統(tǒng)，研究結(jié)果表明基于輪詢理論的動(dòng)態(tài)分揀系統(tǒng)相比傳統(tǒng)的分揀方法(例如訂單批處理等)更節(jié)省分揀時(shí)間。Gong Yeming等[17]拓展了上述研究，在輪詢動(dòng)態(tài)分揀系統(tǒng)中引入隨機(jī)變量，有效的提高了分揀系統(tǒng)的效率，但是，他們的研究主要適用于半自動(dòng)化的動(dòng)態(tài)分揀系統(tǒng)，而對(duì)于電子商務(wù)環(huán)境下逐步已實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的配送中心倉(cāng)儲(chǔ)作業(yè)指導(dǎo)有限。冉文學(xué)[18]將輪詢理論應(yīng)用到單元物料訂單分揀中，并將輪詢經(jīng)典控制機(jī)理拓展到二級(jí)并行控制并比較研究多種輪詢系統(tǒng)模型在訂單分揀中的應(yīng)用及其求解方法，但是其之前研究的輪詢分揀機(jī)理為單元物料范疇，本文研究連續(xù)物料的輪詢分揀。

我國(guó)糧食需求總量巨大，所以本文研究以消費(fèi)者為核心的糧食等連續(xù)物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)的輪詢控制機(jī)理，來(lái)推動(dòng)糧食產(chǎn)業(yè)的供給側(cè)改革。本文建立完全-并行限定(k=1)的二級(jí)優(yōu)先級(jí)訂單分揀輪詢控制模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)理論模型求解，通過數(shù)值計(jì)算分析，求解輪詢控制系統(tǒng)的一階系統(tǒng)特性和二階系統(tǒng)特性，驗(yàn)證模型的可靠性。

2 連續(xù)物料訂單分揀輪詢控制模型環(huán)境變量和工作條件

2.1 環(huán)境變量定義

采用嵌入式Markov鏈、概率母函數(shù)以及拉式變換方法來(lái)研究訂單分揀的輪詢系統(tǒng)控制模型，為了完成系統(tǒng)的精確分析，定義以下環(huán)境變量：

ξi(n)：普通隊(duì)列i(i=1,2,…,N)在tn時(shí)刻其隊(duì)列內(nèi)物料量；ξh(n)：在tn時(shí)刻系統(tǒng)優(yōu)先隊(duì)列內(nèi)的物料量；ξh(n*)：從隊(duì)列i轉(zhuǎn)換分揀優(yōu)先隊(duì)列tn*時(shí)刻優(yōu)先隊(duì)列內(nèi)的物料量；vi：普通隊(duì)列i中物料量的分揀服務(wù)時(shí)間；vh：優(yōu)先隊(duì)列中物料量的分揀服務(wù)時(shí)間；ui：由隊(duì)列i轉(zhuǎn)向優(yōu)先隊(duì)列的轉(zhuǎn)換時(shí)間；ηj(vi)：在vi時(shí)間內(nèi)進(jìn)入第j號(hào)隊(duì)列(j=1,2,…,N,h)內(nèi)需分揀的普通訂單物料量；ηj(vh)：在νh時(shí)間內(nèi)進(jìn)入第j號(hào)隊(duì)列(j=1,2,…,N,h)內(nèi)需分揀的優(yōu)先訂單物料量；μj(ui)：在ui時(shí)間內(nèi)進(jìn)入第j號(hào)隊(duì)列(j=1,2,…,N,h)內(nèi)需分揀的物料量。

分揀機(jī)在tn+1時(shí)刻的狀態(tài)變量?jī)H和上一個(gè)分揀服務(wù)時(shí)刻tn*時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)，為無(wú)后效性的Markov過程。在穩(wěn)定狀態(tài)條件下，該Markov過程是齊次、非周期、不可約和各態(tài)歷經(jīng)的。

2.2 工作條件描述

3 連續(xù)物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)輪詢控制系統(tǒng)

連續(xù)物料訂單分揀完全-并行限定(k=1)的兩級(jí)輪詢控制系統(tǒng)模型可以描述為：系統(tǒng)基本模型由一個(gè)分揀機(jī)和優(yōu)先訂單、普通訂單共N+1個(gè)訂單隊(duì)列組成，分揀機(jī)對(duì)1個(gè)優(yōu)先訂單隊(duì)列和N個(gè)普通訂單隊(duì)列采用并行作業(yè)的方式，其次優(yōu)先訂單隊(duì)列采用完全控制策略，普通訂單隊(duì)列采用限定(k=1)的服務(wù)控制策略。分揀機(jī)開始工作時(shí)，如果普通訂單隊(duì)列需要分揀，不為空，對(duì)普通訂單隊(duì)列進(jìn)行并行限定(k=1)分揀服務(wù)，分揀完一個(gè)訂單隊(duì)列后立即轉(zhuǎn)向?qū)?yōu)先訂單隊(duì)列，優(yōu)先對(duì)優(yōu)先訂單隊(duì)列進(jìn)行分揀作業(yè)。模型中訂單分揀輪詢控制過程包括訂單的到達(dá)過程、分揀機(jī)對(duì)每個(gè)訂單的分揀服務(wù)過程和訂單間的輪詢轉(zhuǎn)化過程。

3.1 連續(xù)物料訂單分揀輪詢控制系統(tǒng)狀態(tài)概率母函數(shù)

(1)

(2)

分揀機(jī)在tn+1時(shí)刻輪詢服務(wù)隊(duì)列i+1時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量的概率母函數(shù)為:

(3)

(4)

(5)

3.2 連續(xù)物料訂單分揀輪詢控制系統(tǒng)一階特性

(1)平均分揀服務(wù)時(shí)間

訂單分揀完全-并行限定(k=1)輪詢控制系統(tǒng)的平均分揀服務(wù)時(shí)間為分揀機(jī)對(duì)系統(tǒng)中的N+1個(gè)隊(duì)列按相應(yīng)的服務(wù)規(guī)則完成一次服務(wù)所用時(shí)間的統(tǒng)計(jì)平均值，由分揀時(shí)間和訂單轉(zhuǎn)換時(shí)間構(gòu)成。根據(jù)概率母函數(shù)關(guān)系求得：

(6)

(7)

對(duì)式(6)(7)進(jìn)一步化簡(jiǎn)、整理得系統(tǒng)的平均分揀服務(wù)時(shí)間為：

(8)

(2)優(yōu)先訂單隊(duì)列的平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)

(9)

(10)

將式(2)和式(3)分別代入式(9)和式(10)求導(dǎo)后化簡(jiǎn)，計(jì)算后求得輪詢控制系統(tǒng)優(yōu)先訂單隊(duì)列的平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)為：

(11)

3.3 連續(xù)物料訂單分揀輪詢控制系統(tǒng)二階特性

(1)普通隊(duì)列的平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)

(12)

(13)

(14)

(15)

(2)平均時(shí)延

訂單分揀作業(yè)的等待時(shí)間wj即從訂單進(jìn)入j(j=1,2,…,N,h)隊(duì)列到其分揀完畢被發(fā)送出去的這段時(shí)間，中心隊(duì)列、普通隊(duì)列顧客的平均等待時(shí)延分別用E(wh)和E(wi)表示。

(16)

完全服務(wù)系統(tǒng)信息分組的平均等待時(shí)延為：

(17)

限定-1服務(wù)系統(tǒng)信息分組的平均等待時(shí)延為：

結(jié)合上述計(jì)算方法，可分別得到該系統(tǒng)模型中的普通隊(duì)列和優(yōu)先隊(duì)列訂單的平均等待時(shí)延。

普通訂單顧客的平均等待時(shí)延為：

(18)

優(yōu)先訂單顧客的平均等待時(shí)延為:

(19)

4 數(shù)值分析與驗(yàn)證

理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2至圖10所示。

如圖2至圖10所示，理論計(jì)算與MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有較高的一致性，進(jìn)一步分析該輪詢系統(tǒng)模型有如下特點(diǎn)：

圖2 不同隊(duì)列數(shù)下平均訂單分揀服務(wù)時(shí)間隨顧客到達(dá)率的變化趨勢(shì)圖

圖3 不同隊(duì)列數(shù)下平均訂單分揀服務(wù)時(shí)間隨分揀服務(wù)時(shí)間的變化趨勢(shì)圖

圖4 不同隊(duì)列數(shù)下平均訂單分揀服務(wù)時(shí)間隨訂單切換時(shí)間的變化趨勢(shì)圖

圖5 不同隊(duì)列數(shù)下平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)隨顧客到達(dá)率的變化趨勢(shì)圖

圖6 不同隊(duì)列數(shù)下平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)隨分揀服務(wù)時(shí)間的變化趨勢(shì)圖

圖7 不同隊(duì)列數(shù)下平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)隨訂單切換時(shí)間的變化趨勢(shì)圖

圖8 不同隊(duì)列數(shù)下訂單平均等待時(shí)延隨訂單到達(dá)率變化趨勢(shì)圖

圖9 不同隊(duì)列數(shù)下訂單平均等待時(shí)延隨服務(wù)時(shí)間變化趨勢(shì)圖

圖10 不同隊(duì)列數(shù)下訂單平均等待時(shí)延隨訂單切換時(shí)間變化趨勢(shì)圖

(1)圖2至圖4顯示出輪詢系統(tǒng)的平均訂單分揀服務(wù)時(shí)間隨顧客到達(dá)率、分揀服務(wù)時(shí)間和訂單切換時(shí)間變化的趨勢(shì)。隨著顧客到達(dá)率的增加，不同隊(duì)列數(shù)量的系統(tǒng)平均分揀服務(wù)時(shí)間都呈現(xiàn)非線性增大，隊(duì)列數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)輪詢分揀周期較短，具有較好的穩(wěn)定性和較快的周期響應(yīng)特性。同時(shí)，從圖中三條曲線的上下分布來(lái)看，三條曲線在顧客不斷增多時(shí)都沒有出現(xiàn)交叉的情況，系統(tǒng)的平均訂單分揀服務(wù)時(shí)間根據(jù)隊(duì)列數(shù)目垂直分布。隨著分揀服務(wù)時(shí)間的延長(zhǎng)，不同隊(duì)列數(shù)量的系統(tǒng)平均分揀服務(wù)時(shí)間也呈現(xiàn)非線性增大，隊(duì)列數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)輪詢分揀周期較短，具有較好的穩(wěn)定性和較快的周期響應(yīng)特性。隨著訂單切換時(shí)間的延長(zhǎng)，不同隊(duì)列數(shù)量的系統(tǒng)平均分揀服務(wù)時(shí)間也呈現(xiàn)非線性增大，但相對(duì)緩和，隊(duì)列數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)輪詢分揀周期較短，系統(tǒng)更加穩(wěn)定，響應(yīng)更快。

(2)從圖5至圖7顯示了系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，優(yōu)先隊(duì)列與普通隊(duì)列的平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)分別隨顧客到達(dá)率、分揀服務(wù)時(shí)間和訂單切換時(shí)間變化的趨勢(shì)。圖中曲線可以很明顯的看出，普通隊(duì)列的訂單越小，曲線的陡度越大，而優(yōu)先隊(duì)列則相反，訂單越大其曲線的陡度越大。隨著分揀服務(wù)時(shí)間的延長(zhǎng)，不同隊(duì)列數(shù)量的系統(tǒng)平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)也呈現(xiàn)非線性增大。隨著訂單切換時(shí)間的變化，優(yōu)先訂單隊(duì)列相比于普通訂單隊(duì)列變化更明顯。

(3)從圖8至圖10顯示出高低優(yōu)先級(jí)業(yè)務(wù)的顧客的平均等待時(shí)延隨顧客到達(dá)率、分揀服務(wù)時(shí)間和訂單切換時(shí)間變化的趨勢(shì)。與平均排隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)類似，高低優(yōu)先級(jí)業(yè)務(wù)的顧客的平均等待時(shí)延同樣得到顯著的區(qū)分。在隊(duì)列數(shù)N和到達(dá)率λ增加的情況下，優(yōu)先隊(duì)列和普通隊(duì)列中顧客的平均等待時(shí)延都在不斷增大，但與普通隊(duì)列顧客數(shù)的平均排隊(duì)時(shí)延相比較，高優(yōu)先級(jí)業(yè)務(wù)的顧客的平均等待時(shí)延一直以較小值平穩(wěn)變化，并保持較好的穩(wěn)定性。隨著訂單切換時(shí)間的變化，普通訂單和優(yōu)先訂單的平均等待時(shí)延都呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)，證明系統(tǒng)穩(wěn)定性比較強(qiáng)，同時(shí)優(yōu)先訂單隊(duì)列三條線幾乎重合，變化并不明顯，穩(wěn)定性更強(qiáng)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于完全-限定(K=1)條件下的連續(xù)物料自動(dòng)化訂單分揀輪詢控制機(jī)理，并在輪詢系統(tǒng)中，區(qū)分了優(yōu)先訂單和普通訂單，確保優(yōu)先訂單顧客得到更優(yōu)質(zhì)服務(wù)和訂單分揀系統(tǒng)的公平性，最后通過算例分析驗(yàn)證了連續(xù)物料訂單輪詢分揀系統(tǒng)的穩(wěn)定性和高效率。本文的研究成果擴(kuò)大了輪詢理論應(yīng)用深度，拓展了訂單分揀理論研究的廣度，探尋了成本最小化且高效率的物流分揀模式，對(duì)于實(shí)現(xiàn)糧食產(chǎn)業(yè)的供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革具有重要意義。