古和今 ，鄭 萍 ，熊金泉 ，雍俊海 ,，張安安 ，黃 朝 ，施侃樂 ，吳子健

(1． 江西省科學(xué)院，江西 南昌 330096；2． 南昌師范學(xué)院，江西 南昌 330032；3． 清華大學(xué)軟件學(xué)院，北京 100084)

0 引 言

陶瓷是中華民族的偉大發(fā)明之一，它不僅是中國傳統(tǒng)的民族產(chǎn)品，也是人類重要的文化遺產(chǎn)。我國陶瓷在藝術(shù)形態(tài)和文化韻味表達方面有著獨特的優(yōu)勢，在滿足人們?nèi)粘Ｉ钚枨蟮耐瑫r，也向全世界傳播著中國古老而悠久的文明。

中國是世界上陶瓷生產(chǎn)大國和出口大國。多年來，我國陶瓷產(chǎn)量和出口銷量一直位于全球首位。隨著設(shè)計、制造技術(shù)的不斷進步，我國陶瓷產(chǎn)品在設(shè)計、制造方面也有了長足的發(fā)展。但與英、法、意大利等陶瓷強國相比，我國陶瓷產(chǎn)品的現(xiàn)代設(shè)計技術(shù)還有一定差距。其主要原因之一是作為核心競爭力的陶瓷產(chǎn)品造型設(shè)計技術(shù)有待提升。我國陶瓷產(chǎn)業(yè)向現(xiàn)代化設(shè)計轉(zhuǎn)變的瓶頸體現(xiàn)在兩點：一是面向陶瓷產(chǎn)業(yè)有效的產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計技術(shù)有待于進一步提升[1]，二是需要提高面向陶瓷產(chǎn)品制造的直觀可視化分析手段的便利性。本文從陶瓷器型曲面設(shè)計，陶瓷紋理曲線設(shè)計，陶瓷產(chǎn)品設(shè)計可視化，自然語言驅(qū)動的陶瓷原型設(shè)計等幾方面探討陶瓷產(chǎn)品三維輔助設(shè)計與可視化關(guān)鍵技術(shù)。

1 陶瓷器型曲面設(shè)計

陶瓷產(chǎn)品器型設(shè)計是產(chǎn)品設(shè)計的基礎(chǔ)，要完成陶瓷產(chǎn)品的創(chuàng)新設(shè)計，需要豐富的器型設(shè)計支持，在計算機輔助設(shè)計技術(shù)中，自由曲面可以表示任意形狀，能夠有效支持器型的創(chuàng)意設(shè)計。

Coons曲面可以表示任意形狀的曲面，其通過滿足四組指定的邊界曲線及其跨界導(dǎo)矢的相同性以構(gòu)造光滑的曲面，且實現(xiàn)簡單，廣泛應(yīng)用于各類計算機輔助設(shè)計應(yīng)用。構(gòu)造Coons曲面的插值過程適合于對器型造型的自由控制，能夠很好的適應(yīng)產(chǎn)品器型設(shè)計過程。但Coons曲面在角點處需滿足法向量兼容的邊界條件，該條件對于實際應(yīng)用約束較強，限制構(gòu)造曲面的連續(xù)性，易形成器型表示的不光順，很難在陶瓷產(chǎn)品器型自由曲面構(gòu)造中得到滿足。

為了處理相鄰兩邊界在角點處法向不兼容問題，通過利用退化參數(shù)曲面在退化點處收斂于多個值的性質(zhì)，可構(gòu)建同時滿足沖突條件的曲面構(gòu)造方法，從而使構(gòu)造過程能夠較好支持器型設(shè)計過程[2]。

對于p階輸入曲線，利用包含四個退化角點的(2(p+2))，2(p+2))階多項式樣條曲面進行插值，以滿足G1連續(xù)的p階多項式樣條曲面的不兼容邊界條件。

方法首先對所有輸入曲線進行重參數(shù)化，以此使其在端點的導(dǎo)數(shù)精確為零。對于輸入曲線，為使重參數(shù)化過程是曲線兩端點導(dǎo)數(shù)精確為零，可將原有多項式樣條曲線分成兩部分，并分別應(yīng)用重參數(shù)化方法，并將兩端曲線結(jié)合獲得最后的結(jié)果曲線。該過程可提升多項式樣條曲線的度同時使曲線兩端點的導(dǎo)數(shù)為零，既能提升器型表示的自由性，同時使曲面的表面滿足連續(xù)性條件。

在重參數(shù)化的基礎(chǔ)上，通過控制新月形函數(shù)以調(diào)整各曲線跨界導(dǎo)矢的模，由此保證導(dǎo)矢曲線在節(jié)點的值為零。因此，對于所有跨界導(dǎo)矢曲線乘以權(quán)值函數(shù)λ(t)，為保證λ(t)不是零值函數(shù)，λ(t)的度數(shù)要至少為2，所以選取二次多項式函數(shù)λ(t) = 2 λ (1-λ)。該權(quán)值函數(shù)將使跨界導(dǎo)矢曲線的度提升一倍。所以此類調(diào)整可保證曲線在除端點外的邊界上滿足G1連續(xù)性，且邊界滿足切向和扭轉(zhuǎn)相容性。最后，可根據(jù)Coons機制構(gòu)造結(jié)果曲面。如圖1所示，為對某創(chuàng)意陶瓷產(chǎn)品中四邊形頂端的插值。其中，圖示上端左側(cè)為輸入的原始曲線，右側(cè)為經(jīng)過該方法重構(gòu)后的邊界條件。圖示中端左側(cè)為插值后曲面的控制點，曲面的顏色代表法向方向，右側(cè)為用由斑馬線表示的曲線光滑度，即在除四個端點外可保持G1連續(xù)。圖示下端分別展示了控制網(wǎng)格的細節(jié)、高斯曲率對插值曲面的評價和插值曲面一角的渲染效果。

圖1 四邊形頂端插值過程及結(jié)果Fig.1 Process and result of interpolating quadrilateral top face

綜上所述，該方法保持了逐段的多項式樣條形式，因此結(jié)果曲面為可廣泛應(yīng)用的多項式曲面。同時，該方法并沒有引入任何理論上誤差，以此可保證除四個角點外的邊界與曲面都滿足連續(xù)性。由于該方法有效克服了Coons構(gòu)造方法在切向及扭曲相容性的不兼容問題，因此可適用于沒有約束的各類輸入，同時該方法實現(xiàn)簡單，并未包含任何迭代及大型的矩陣運算，可為陶瓷產(chǎn)品的器型曲面構(gòu)造提供快速支持。

2 陶瓷表面特征設(shè)計

陶瓷產(chǎn)品表面的紋飾、雕刻和描金都需要在器型曲面上進行二次設(shè)計。從幾何設(shè)計角度，陶瓷產(chǎn)品的表面設(shè)計的本質(zhì)是曲面上曲線的設(shè)計問題。而點去曲面的投影問題是曲面上曲線設(shè)計的基礎(chǔ)。點到參數(shù)曲面的投影是一項曲線設(shè)計的基本工作，此類方法包含計算投影及反向求解兩個部分。由于陶瓷產(chǎn)品表面設(shè)計需要大量的交互工作，因此整個計算過程需要滿足快速的收斂速度以提升設(shè)計效率。因此，可采用Song等提出的點到參數(shù)曲面投影及反向求解的幾何迭代算法[3]。該方法基于局部雙圓弧逼近，通過測試點預(yù)估投影點作為迭代開始，并在每次迭代中，在原始曲面內(nèi)構(gòu)建雙圓弧以局部逼近由當前投影點開始的原始曲面片。然后通過將測試點投影到構(gòu)建的雙圓弧以計算下次迭代的投影點及其參數(shù)。由于采用局部雙圓弧進行逼近，因此整個近似空間得到了擴大，使得每次迭代都有較大的步長，這種方式不僅可減少迭代次數(shù)，也可使迭代快速的擺脫較差初始值部分，提升方法的魯棒性。整個迭代過程由用戶輸入精度控制，便于應(yīng)用?？梢钥闯?，該方法擁有更好的逼近精度且相對于傳統(tǒng)同類方法擁有更大的逼近步長。

表1 測試案例的統(tǒng)計數(shù)據(jù)Tab.1 Statistical data for test cases

為保證陶瓷產(chǎn)品表面設(shè)計的正確性與設(shè)計效率，以收斂正確性、收斂速度和對初始值依賴程度3項標準衡量該方法的優(yōu)劣，如表1所示，NRA為牛頓迭代法，F(xiàn)OA為一階方法，SOA為二階方法，NRIBA、FOIBA、SOIBA分別為雙圓弧方法采用牛頓迭代法、一階方法、二階方法的補償計算機制?？梢钥闯觯谙嗤牟介L計算機制下，該方法在收斂正確性、錯誤迭代次數(shù)和計算時間上有明顯提升。經(jīng)過實驗驗證，點到曲線的投影算法相比于牛頓迭代法、一階法和二階法等基于單點逼近的投影計算方法，需要較少的迭代次數(shù)，收斂速度僅為原有方法的50%-70%，證明了算法在收斂速度及質(zhì)量方面的優(yōu)勢，因此能夠很好的支持陶瓷產(chǎn)品各種表面設(shè)計應(yīng)用。

3 陶瓷產(chǎn)品逆向構(gòu)造

在陶瓷產(chǎn)品設(shè)計過程中，仿古藝術(shù)陶瓷創(chuàng)新是一項重要的設(shè)計內(nèi)容。如何利用我國古代陶瓷設(shè)計思想提升現(xiàn)代仿古藝術(shù)陶瓷設(shè)計水平是一項很有意義的工作。因此，針對已有古代陶瓷制品，可以通過三維掃描儀獲取點云數(shù)據(jù)，并利用自由曲面插值方法構(gòu)造陶瓷產(chǎn)品模型，以進行設(shè)計復(fù)用。

可以采用Lu等人[4]提出的B樣條曲面插值方法來解決陶瓷產(chǎn)品的逆向構(gòu)造問題。對于一般化的網(wǎng)格模型，很難用單一的B樣條曲面進行插值。通常的思路是采用多個樣條曲面對網(wǎng)格模型進行插值。因此，需要將待插值網(wǎng)格模型分割為若干子部分并利用層次樹形結(jié)構(gòu)表示，而對于每個子部分利用單一的B樣條曲面進行插值。

與現(xiàn)有方法不同的是，該方法采用不同的方式對網(wǎng)格模型進行劃分，使得每個劃分部分彼此不連接。然后構(gòu)造一個初始曲面對模型的主體部分進行插值，并在初始曲面的基礎(chǔ)上提取并優(yōu)化出若干個子曲面，對模型中初始曲面未處理的部分進行插值。該方法包括三個主要步驟：

網(wǎng)格模型劃分：首先通過對輸入模型進行參數(shù)評價以輔助網(wǎng)格模型的劃分。先計算網(wǎng)格模型頂點的最小包絡(luò)矩形，并通過旋轉(zhuǎn)和縮放對網(wǎng)格模型進行歸一化。然后，為了適應(yīng)多變的邊界條件，利用Circle-Pattern共形映射計算網(wǎng)格模型的參數(shù)。在獲得輸入模型的參數(shù)后，對網(wǎng)格模型進行劃分。

對于計算獲得的網(wǎng)格模型參數(shù)，將其表示為M × N的二維圖像，并將其與輸入網(wǎng)格模型進行映射。參數(shù)表示的每個二維圖像每個像素，計算其對應(yīng)的頂點密度，若當前圖像的最大頂點密度大于給定閾值，則在最大頂點密度對應(yīng)的像素構(gòu)建曲面，并將曲面對應(yīng)的網(wǎng)格模型作為對應(yīng)網(wǎng)格模型，建立層次結(jié)構(gòu)，并從原始模型中將其移除，直到對應(yīng)的二維圖像中的所有像素對應(yīng)的頂點密度值均小魚等于給定閾值，則完成網(wǎng)格模型的區(qū)域劃分，得到由層次結(jié)構(gòu)表示的網(wǎng)格模型劃分。

構(gòu)造外部曲面：曲面的插值由劃分獲得的層次模型自頂向下逐個計算。首先，計算一個外部B樣條曲面來插值在根節(jié)點的初始模型，通過對u/v方向的估測合適的節(jié)點向量，并利用最小化能量函數(shù)來計算控制頂點，來獲得外部局面，具體能量函數(shù)表示如下：

第一個能量函數(shù)表示網(wǎng)格頂點與曲面頂點間的距離：

第二個能量函數(shù)E2用來表示曲面形狀的光順度：

其中，α與β為固定權(quán)值，f1與 f2分別由如下表示：

傳統(tǒng)的方法通過對(E1+E2)最小化來計算控制頂點。但是這個過程在實際應(yīng)用中常造成不穩(wěn)定的情況。因此，為了穩(wěn)定這個最小化求解過程，通過建立網(wǎng)格來限制在每個網(wǎng)格內(nèi)的曲面頂點位置，記為能量函數(shù)E3：

其中，αi與 bj分別是在u/v方向的采樣值，函數(shù)F(*)返回每個參數(shù)的目標空間位置。綜合以上三個能量函數(shù)，最終的計算能量函數(shù)為：

該能量函數(shù)與控制頂點為二次關(guān)系，因此可通過線性方程組求解，并獲得控制頂點。

構(gòu)造內(nèi)部曲面：在對初始網(wǎng)格完成外部曲面的構(gòu)造后，需要對每個子網(wǎng)格計算內(nèi)部曲面。在計算過程中就需要處理內(nèi)部曲面間的連續(xù)性問題。由于該方法采用根據(jù)層次結(jié)構(gòu)自頂向下的進行曲面構(gòu)造，因此需要考慮子曲面與父曲面的連續(xù)問題。

不失一般性的，記非初始網(wǎng)格為Th，其對應(yīng)的曲面為Sk。假設(shè)其父網(wǎng)格為Th，對應(yīng)的曲面為Sh。由于網(wǎng)格Tk由Th參數(shù)域中的矩形區(qū)域提取，因此，可在該矩形區(qū)域內(nèi)以Sh的子曲面來初始化當前曲面Sk。通過保持邊界條件，就可修改曲面Sk以對網(wǎng)格Tk進行插值，并滿足曲面Sk與其父曲面Sh間的Gn連續(xù)性。

綜上所述，該方法將原始網(wǎng)格模型劃分為具備層次結(jié)構(gòu)的若干部分，然后根據(jù)層次結(jié)構(gòu)自頂向下的對每個網(wǎng)格進行B樣條曲面插值，對于頂層的初始網(wǎng)格構(gòu)造外部曲面，而其對應(yīng)的子網(wǎng)格則進行分別構(gòu)造單一的外部曲面，通過邊界條件的保持可滿足每個曲面連接處滿足至少G2連續(xù)性。一般情況下，僅需要幾個B樣條曲面就可完成對網(wǎng)格的插值，所需曲面數(shù)量遠遠小于現(xiàn)有方法，易于實現(xiàn)對插值曲面的控制，利于進行陶瓷產(chǎn)品的設(shè)計復(fù)用，滿足逆向構(gòu)造的實際需求。并且在每個插值B樣條曲面的連接部分可以達到G2或更高的連續(xù)性，符合陶瓷產(chǎn)品表面光順要求。

4 陶瓷設(shè)計可視化

陶瓷產(chǎn)品的設(shè)計可視化是陶瓷設(shè)計過程中的重要組成部分，其主要由曲面連續(xù)性評價與可視化兩部分工作組成。高光線和反射線及其調(diào)整算法是常用的算法。不過，還需要進一步提升評判連續(xù)性的階次。因此為了便于陶瓷產(chǎn)品設(shè)計可視化的應(yīng)用需求，可采用混合曲率的可視化方法。混合曲率是一個二維向量，其定義如下：

其中，K1，K2為兩個主曲率。

圖2比較了不同種類的曲率的可視化效果。采用混合曲率具有明顯的優(yōu)勢，可以將不連續(xù)性放大，而且其他種類的曲率則無法區(qū)別。為了使陶瓷產(chǎn)品設(shè)計結(jié)果能夠進行快速的可視化反饋，還可以添加一些智能手段提高可視化的質(zhì)量與效率。圖3展示了可以用這些可視化方法區(qū)分出外觀非常相似的不同陶瓷產(chǎn)品。這對仿制與鑒別古陶瓷具有非常重要的意義。

圖2 不滿足G2連續(xù)的曲面拼接Fig.2 Surface blending which does not satisfying G2 continuity

圖3 不同陶瓷產(chǎn)品可視化結(jié)果Fig.3 Visualization results of different ceramic products

5 基于自然語義的原型設(shè)計

目前，針對陶瓷產(chǎn)品的設(shè)計過程仍然是以幾何造型為主導(dǎo)方式，這種方式雖然便于熟練掌握造型技術(shù)的設(shè)計師進行快速的設(shè)計，但是在與用戶交流過程中則有明顯的短板。由于用于對陶瓷產(chǎn)品的需求都是通過自然語言描述的，因此構(gòu)建自然語言驅(qū)動的陶瓷產(chǎn)品原型設(shè)計將形成面向大眾的簡單設(shè)計方案[5]，便于設(shè)計師了解用于意圖，為陶瓷產(chǎn)品的創(chuàng)新設(shè)計提供支持。

色彩、圖樣和形狀，是構(gòu)成陶瓷造型的三大基本元素，對應(yīng)到陶瓷的專業(yè)術(shù)語上，分別為：釉彩、紋飾和器型。器型是陶瓷制品的第一感觀印象，決定了器型的組成結(jié)構(gòu)。此外，陶瓷制品的造型還包括紋飾和釉彩，釉彩在這里可以簡單地理解為一種顏色，而紋飾則包括主題、位置和組織形式三個重要屬性。

上述特征語義共同構(gòu)成了陶瓷制品的造型特征語義，通過這些語義信息，可以確定陶瓷制品的設(shè)計原型。然而，計算機很難直接對語義信息進行處理，這里需要將造型特征語義轉(zhuǎn)化為參數(shù)的形式。

圖4 陶瓷造型的設(shè)計主體Fig.4 Main entities of ceramic modeling

以陶瓷碗為例，陶瓷碗的器型結(jié)構(gòu)包括口部、腹部、足部三個主要部位，其結(jié)構(gòu)特征可以從尺度和姿態(tài)兩個方面去進行考量。尺度特征是可度量的特征信息，包括：口徑、身高、足高、足徑；姿態(tài)特征是指各個結(jié)構(gòu)部位的形態(tài)，包括：口型、腹型和足型。綜上，針對陶瓷碗器型的尺度和姿態(tài)，提取出了6個主要的結(jié)構(gòu)特征，每個器型特征在形態(tài)上都存在兩極狀態(tài)，分別對應(yīng)于參數(shù)0和參數(shù)1。對兩極狀態(tài)的器型特征語義分別進行詞元的標定。例如，碗的收口狀態(tài)，對其進行詞元標定，可以聯(lián)想到形容詞：收、收斂、內(nèi)斂等，名詞：小口、缽等，動詞：縮緊、收縮等。表2給出了陶瓷碗的器型特征語義對應(yīng)的詞元。

曲線的確定可以通過特征點的插值來構(gòu)造。曲線上曲率較大的點選作為該曲線的特征點。雖然更多的控制點可以令曲線擁有更高的自由度，但也同時意味著對曲線的控制會更加復(fù)雜。事實上，對于表示造型的曲母線而言，4個特征點是合適的選擇：特征點1和特征點2對應(yīng)著碗的口部，二者與中軸線的距離決定了口部的大小，二者的相對位置影響著口沿的形狀是內(nèi)收還是外翻；特征點2、特征點3和特征點4對應(yīng)著碗的腹部，其中特征點3的位置對腹部形狀是圓是扁有著較大的影響作用。標定母線曲線部分的特征點后，將另外兩段直線段的端點也標定為特征點，即特征點5和特征點6，如此確定陶瓷碗母線的全部特征點。

將上述6個特征點用直線段連接起來，得到對應(yīng)折線形狀。折線雖然是母線的退化，但卻十分逼近于母線的形態(tài)，能夠代表和表達碗的器型特征，碗的造型由器型原型折線控制，而器型原型折線取決于各特征點。改變碗的造型也就是要調(diào)整特征點的所在位置。

如表2所示，器型特征語義的參數(shù)輸入是區(qū)間[0-1]的一個值，每個值都對應(yīng)著該特征的一個形態(tài)狀態(tài)，參數(shù)0、1分別對應(yīng)著器型特征的兩極狀態(tài)。器型特征形態(tài)表現(xiàn)在器型原型上就是特征點的相對位置，在0、1參數(shù)狀態(tài)下，需要分別標定出該特征形態(tài)對應(yīng)的特征點的位置。對于(0,1)區(qū)間上的任意一個參數(shù)輸入，可以采用線性插值的方式對特征點重新進行定位。以此確定所有特征點在特征語義參數(shù)下的坐標位置，也就確定了相應(yīng)的器型原型折線，根據(jù)器型原型折線，可以自動生成碗的三維模型。

表2 器型特征語義詞元Tab.2 Word lemmas in semantics of ceramic modeling features

圖5 陶瓷碗母線的特征點Fig.5 Feature points of the generatrix generating ceramic bowls

表3 圖6參數(shù)計算結(jié)果[5]Tab.3 Computational parametric results of Fig. 6

圖6是以自然語義為輸入，直接生成碗的三維模型，輸入文本內(nèi)容：“這只碗口徑大，腹部圓潤，比較矮，碗身呈白色，上面有牡丹花開的復(fù)雜圖樣。”可以看出，大口徑、圓腹、矮身、白釉、牡丹連續(xù)紋飾，該結(jié)果還是比較符合自然語言的描述的。查看各項參數(shù)的計算結(jié)果，如表3所示，其中，中間結(jié)果是特征詞元子集與輸入之間的語義相關(guān)度計算結(jié)果，根據(jù)中間結(jié)果計算造型特征參數(shù)。器型特征參數(shù)由各結(jié)構(gòu)特征0、1狀態(tài)的語義相關(guān)度進行計算，可以看到，身高、足高的值比較小，口徑、腹型的值比較大，符合輸入的描述。紋飾特征參數(shù)由最大中間結(jié)果確定，可以看到，牡丹紋的特征詞元子集與輸入之間有著最大的語義相關(guān)度，因此作為紋飾主題特征參數(shù)輸出，而連續(xù)紋飾的特征詞元子集與輸入之間的語義相關(guān)度要大于單獨紋飾，因此作為紋飾組織特征參數(shù)輸出。釉彩也是一樣，白釉的特征詞元子集與輸入之間有著最大的語義相關(guān)度，因此釉彩特征參數(shù)為白釉。

圖6 通過自然語義生成的三維模型Fig.6 3D model generated via natural semantics

6 結(jié) 語

陶瓷產(chǎn)品是我國日常生活中接觸十分廣泛的設(shè)計產(chǎn)品之一，也是我國文化的重要載體。本文探討了陶瓷產(chǎn)品器型輔助設(shè)計與可視化技術(shù)，如何提高陶瓷產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計質(zhì)量和效率，如何利用輔助設(shè)計中的自由曲面和自由曲線建模技術(shù)精確且高效地表達陶瓷器型和紋理，如何進行逆向構(gòu)造器型和紋理，以進行設(shè)計復(fù)用，提升設(shè)計效率；如何通過陶瓷產(chǎn)品的可視化，利用幾何連續(xù)性評價反應(yīng)陶瓷產(chǎn)品的設(shè)計質(zhì)量，形成陶瓷產(chǎn)品的設(shè)計閉環(huán)，提升設(shè)計質(zhì)量；如何通過自然語義驅(qū)動的陶瓷設(shè)計，直觀的根據(jù)客戶需求更快地生成產(chǎn)品原型，形成需求驅(qū)動的設(shè)計模式。本文介紹的這些工作已經(jīng)構(gòu)成了我國自主知識產(chǎn)權(quán)的三維輔助設(shè)計與可視化關(guān)鍵技術(shù)，并將有力支持我國數(shù)字陶瓷與實體陶瓷的發(fā)展。