石德剛，董春芳

(天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400)

一元積分學(xué)與一元微分學(xué)有著密切的聯(lián)系，它們共同組成了高等數(shù)學(xué)的主要部分——微積分學(xué).現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材，將一元積分學(xué)分為不定積分與定積分及定積分的應(yīng)用三部分。學(xué)生按照這樣的學(xué)習(xí)材料組織順序?qū)W習(xí)，不僅費時，而且學(xué)習(xí)時還會產(chǎn)生如：為什么要先學(xué)習(xí)不定積分(原函數(shù))？引入原函數(shù)的意義是什么？一定要先學(xué)不定積分后學(xué)定積分嗎？等諸多疑問。

在對比、剖析國內(nèi)外多種同類教材的基礎(chǔ)上，本文作者結(jié)合自己對一元積分學(xué)教學(xué)的研究心得，本著學(xué)生易學(xué)，教師易教的宗旨，對一元積分學(xué)知識體系進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，依據(jù)典型學(xué)習(xí)任務(wù)有機(jī)地整合學(xué)習(xí)內(nèi)容，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)一元積分學(xué)的負(fù)擔(dān)。簡述如下：

通過求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程等實例，指出定積分與導(dǎo)數(shù)一樣也是在解決一系列實際問題的過程中逐漸形成的數(shù)學(xué)概念.

通過闡明運用定積分定義通過求積分和的極限求定積分的值不僅是很麻煩的，而且有時是很困難的，甚至可能根本無法求得定積分的值，指出必須尋找一個具有普遍性且行之有效的計算定積分的方法，否則會影響定積分的實用價值.

然后闡明牛頓和萊布尼茨證明了上面得出的結(jié)果具有一般性，并建立了下面的微積分基本公式：

再進(jìn)一步指出，鑒于牛頓—萊布尼茨公式中的函數(shù)F(x)對計算定積分的重要性，需依據(jù)函數(shù)F(x)的特性(F′(x)=f(x))，引入新概念——原函數(shù)(不定積分)，從而將原本各自獨立的積分與微分聯(lián)系起來，使微分學(xué)與積分學(xué)成為一個統(tǒng)一的整體——微積分學(xué).

依據(jù)各種積分法的實質(zhì)，學(xué)習(xí)直接積分法、第一類換元積分法、分部積分法時，不分不定積分與定積分；學(xué)習(xí)第二類換元積分法時，闡明運用第二類換元積分法時不定積分與定積分的的區(qū)別。下面著重談?wù)劚疚淖髡邔Φ谝活悡Q元積分法所做的解構(gòu)和重構(gòu)。

第一類換元積分法(湊微分法)是一元積分學(xué)中求積分的最常用的重要方法。第一類換元積分法是將一元微分學(xué)中的復(fù)合函數(shù)微分法反過來用于求積分，是當(dāng)被積表達(dá)式不容易求出積分時，通過恒等變形和變量代換，將被積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為基本積分公式表中的某一被積表達(dá)式，然后根據(jù)基本積分表中的某些公式，對新變量進(jìn)行積分，最后還原求出結(jié)果.第一類換元積分法的關(guān)鍵步驟是“湊微分”，熟練掌握和運用“湊微分”的思想方法，對學(xué)習(xí)后續(xù)的第二類換元積分法和分部積分法等積分方法有著很重要的作用.

由于“湊微分”沒有一個固定的模式，初學(xué)者在學(xué)習(xí)的過程中往往對要“湊微分”的函數(shù)作出多次嘗試，因此第一類換元積分法是學(xué)生學(xué)習(xí)一元積分學(xué)時感到最難以掌握的積分方法。本文對第一類換元積分法的“湊微分”思想的理論依據(jù)進(jìn)行解構(gòu)和重構(gòu)，總結(jié)出“湊微分”的具體方法。下面介紹作者的工作，并舉例說明如何運用“湊微分”法求積分，以幫助初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)和掌握“湊微分”法在積分運算中運用.

一、不定積分形式不變性

運用直接積分法，只能計算一些較簡單的不定積分，因此必須進(jìn)一步研究求不定積分的方法.積分法作為微分法的逆運算，與微分法中非常重要的復(fù)合函數(shù)微分法相對應(yīng)，積分法中也有不僅要牢記而且必須熟練運用的換元積分法.

二、湊微分法的典型用法及常用湊微分公式

顯然，恰當(dāng)?shù)剡x取函數(shù)φ(x)是運用湊微分法的關(guān)鍵，但是可導(dǎo)函數(shù)φ(x)有無窮多個，因此φ(x)的選取并無一定的規(guī)律可循.因為具體解題時只使用某些特殊的φ(x)，所以在式(3)中，將可導(dǎo)函數(shù)φ(x)特殊化，即得一些常用的湊微分公式.

1. 在式(3)中，分別令φ(x)=Aarctanx+B(A≠0)、φ(x)=Aarccotx+B(A≠0)、φ(x)=Aarcsinx+B(A≠0)、φ(x)=Aarccosx+B(A≠0)整理得：

具體解題時，對所求不定積分，要先用式(4)或類似于式(4)的公式湊微分，然后再用式(2)類似式(2)的公式求不定積分.

2．在式(3)中，分別令φ(x)=alnx+b(a≠0)、φ(x)=aex+b(a≠0)，整理得：

解

解

解

3．在式(3)中，令φ(x)=axn+b(a≠0)，整理得：

解

5．在式(3)中，分別令φ(x)=asinx+b(a≠0)、φ(x)=acosx+b(a≠0)、

φ(x)=atanx+b(a≠0)、φ(x)=acotx+b(a≠0)，整理得：

解

解

解

解

三、湊微分法的一般用法

(2)當(dāng)g(x)=f(x)h(x)時(假定f(x)比h(x)復(fù)雜)，對f(x)或構(gòu)成f(x)的初等函數(shù)求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于h(x)或h(x)的常數(shù)倍，若是則可以湊微分.本題型一般涉及以下湊微分公式(其中φ(x)是可導(dǎo)函數(shù))：

通常需要先對被積函數(shù)g(x)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃翁幚砗?，才能按?1)或(2)去做.

解

最后必須指出的是：要高效率地運用十分有效且應(yīng)用廣泛的湊微分法。要求首先，必須熟練掌握基本積分公式的廣義形式(不定積分形式不變性表明，將基本積分公式中的積分變量換成可微函數(shù)后公式仍成立)；其次，需要熟記常用的湊微分公式，以使被積表達(dá)式變形為，從而針對所要求的積分快速選準(zhǔn)相應(yīng)的基本積分公式的廣義形式(湊微分法的目的就是將所要求的積分轉(zhuǎn)化成能使用基本積分公式的廣義形式)；再者需要較多的掌握各種積分類型的特點，以及與之相適應(yīng)的湊微分公式，同時需要在練習(xí)中隨時注意被積函數(shù)的類型和特點，并體會轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的方法，這樣才能增強(qiáng)觀察的敏銳性和積淀成功的經(jīng)驗，從而提高用湊微分法準(zhǔn)確、迅速求解不定積分的能力.