吳文前

【摘 要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)里面一個重要的知識內(nèi)容，關(guān)于積分的計(jì)算方法，主要有換元法、分部積分法等常規(guī)方法。拿到任何一道積分題，學(xué)生應(yīng)該如何分析？應(yīng)該如何選擇方法？在長期的教學(xué)過程中，我總結(jié)出以下的三個必要環(huán)節(jié)：第一步心中先要明確解決積分問題的入門簡單方法；第二步是觀察結(jié)構(gòu)，善用技巧，簡單快捷解決問題；第三步抓題目明顯特征，選擇常規(guī)方法。只有這三個環(huán)節(jié)依次考慮到了，問題才比較容易解決。但是學(xué)生的思維常常是一來就考慮常規(guī)解法，所以在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，從最容易切入的門檻進(jìn)入，才能通過最簡單的方法快速解決問題。所以在平時的教學(xué)中要有意識對學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，以便達(dá)到清晰思路，解決問題的目的。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；定積分；圖像法；換元法；分部積分法

【中圖分類號】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0008-02

關(guān)于定積分的計(jì)算，書上的常規(guī)方法是：換元法，分部積分法[1]。但是在實(shí)際計(jì)算中我們可以走這樣一條路徑來選擇解決定積分問題的方法，目的就是找到最簡單快捷的解決方法：

第一步：看可不可以利用圖像法來解決問題：也就是利用定積分的幾何意義——曲邊梯形的面積來解決問題。

第二步：看可不可以利用上“偶倍奇零”的化簡公式來解決對稱區(qū)間上的積分。

第三步：看可不可以利用“瓦里斯公式”來快速簡便解決區(qū)間上三角函數(shù)的定積分。

第四步：在前面三步都無法使用的情況下，再來考慮使用換元法或者分部積分法。

下面舉例說明上述四個程序走向在解題過程中的實(shí)際應(yīng)用。

例1：計(jì)算：

分析：此題目明顯符合采用三角換元的特征，當(dāng)然令x=asint完全可以解決此題。但是如果我們考慮到被積函數(shù)的圖像特征，而采用定積分的幾何意義來做，就非常簡單了[2]。

解：被積函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心，半徑為a的四分之一圓，圖像在第一象限。

∴

例2：計(jì)算：

分析：此題目的被積函數(shù)明顯不好找原函數(shù)，屬于不太好積分的一類，因此我們考慮能否利用“偶倍奇零”的化簡公式。

解：原式=+3

=0+3= =

例3：計(jì)算：

分析：此題目的被積函數(shù)明顯不好找原函數(shù)，屬于不太好積分的一類。但是題目特征符合使用三角換元的要求，故而可以先嘗試使用換元法，進(jìn)一步考慮能否利用“瓦里斯公式”來化簡。

解：

例4：計(jì)算：

分析：此題目的被積函數(shù)是三角函數(shù)，但是積分區(qū)間卻不符合使用“瓦里斯公式”的要求。因此先嘗試使用換元法因?yàn)椤皳Q元必?fù)Q限”，通過先換元看可不可以進(jìn)一步使用上“瓦里斯公式”公式。

解：

例5：計(jì)算：

分析：此題目前面三步都無法使用，而被積函數(shù)又符合分部積分的特征：兩種不同函數(shù)的乘積，因此考慮使用分部積分法積分。

解：∵1+cos2x=2cos2x，再利用反對冪指三，來確定 u和ν'

綜上，選擇方法決定著求解問題的難易程度，教學(xué)中要多引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐，練習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]韓天勇，施達(dá)，楊洪主編.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.