□ 海南省農墾中學 肖世琥

史寧中教授在 “數(shù)學核心素養(yǎng)和小學數(shù)學教學”這個專題報告中指出：數(shù)學教學的關鍵是啟發(fā)學生學會數(shù)學思考，幫助學生積累活動經驗，使學生會用“數(shù)學的眼光觀察世界”“數(shù)學的思維分析世界”和“數(shù)學的語言表達世界”，這是制定數(shù)學核心素養(yǎng)的依據。具體要素包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析六個維度。而“三三三”學案教學法，就是把“知識點”與“例題”，通過精心的設計，融入到三組系列問題中，再通過學生自主學習，合作學習，教師深入淺出的點撥，達到提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的良好效果。筆者反思整個教學實踐歷程，從以下三個維度來考慮和操作，是可以解決上述問題的具體做法：

一、“三三三”學案教學法的形成與解讀

從1984年9月至1987年7月，筆者使用中國科學院心理研究所盧仲衡教授編寫的《中學數(shù)學自學輔導教材》，按“啟、讀、練、知、結”五步進行教材與教法改革實驗。1987年9月至2003年7月，將“啟、讀、練、知、結”五步教學法移植到統(tǒng)編教材，形成了具有個性化的“啟、讀、議、練、結”五步教學法。在2003年9月至今任教高中數(shù)學以來，自己一直致力于高中數(shù)學教學改革，尤其是近三年間在高一的數(shù)學教學實踐中，基于落實數(shù)學核心素養(yǎng)的原則性要求，又將五步教學法發(fā)展為“三三三”學案教學法。

第一個“三”是：課堂教學有三個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)是“閱讀思考”，第二個環(huán)節(jié)是“探究新課”，第三個環(huán)節(jié)是“鞏固提升”。第二個“三”是：每個環(huán)節(jié)中，設計有梯度的三個問題，使之形成問題鏈。第三個“三”是：針對三類不同層次的學生提出不同的學習要求，即對于“閱讀思考”中的三個問題，要求所有學生在課前要認真閱讀教材，一般用15分鐘左右完成；對于“探究新課”中的三個問題，要求中等以上的學生全體達標,而學習有困難的學生只需部分達標即可。對于“鞏固提升”中的三個問題，要求成績優(yōu)秀學生達到目標,中等水平學生部分達標，其他學生不作要求。

關于學案中問題的設計,“閱讀思考”是以圍繞新知識點生長為主脈，一般有一個診斷性問題，它的作用是承前啟后，既復習了舊知識，又激發(fā)學生閱讀教材的動機和主動性。另外兩個問題最好是學生通過閱讀教材中部分段落后，從文本中就能找到，或者是教材練習中的相關問題，進而培養(yǎng)學生閱讀數(shù)學課本的能力。在教學進程中，一般通過提問的方式落實“閱讀思考”中的三個問題，教師從學生的回答當中積累素材，作適當?shù)狞c撥和講解。在設計“探究新課”中的三個問題時，盡量地將教材中的重、難點，設計成有層次的三個問題，通過師生共同探究，使學生掌握重、難點知識的形成和發(fā)展過程，明確注意點及解題方法。在設計“鞏固提升”的三個問題時，既有檢測本節(jié)課學生所學知識的相關性問題，也有綜合前面所學知識的問題，或者適當有超越課本內容的創(chuàng)新性問題。有時對最后這個問題可讓學生課后完成。在實施過程中，通過合作討論，師生互動，就是“三三三”學案教學法的目的所在。

二、“三三三”學案教學法的實施案例分解

1.方程的根與函數(shù)的零點的學案。

（1）閱讀思考。掌握函數(shù)零點的概念及沒有區(qū)間限制的函數(shù)零點的存在問題。

【問題1】閱讀教材P86至P88探究上面的內容，回答：

①方程x2-2x-3=0的根為 __________；

②函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的交點坐標為_____；

③函數(shù)y=x2-2x-3的零點為__________。

歸納：“方程 f（x）=0 的根”“函數(shù) y=f（x）圖像與 x軸的交點”與“函數(shù) y=f（x）的零點”可互相_______。

【問題 2】若函數(shù) f（x）=x+a 的零點為 2，則函數(shù) g（x）=x2-ax的零點為_______________。

【問題3】若函數(shù)y=x2-x+a存在零點，則實數(shù)a的取值范圍為____________________ ．

（2）探究新課。探究有區(qū)間限制的函數(shù)零點的存在問題。

【問題 4】觀察函數(shù) f（x）=x2-2x-3 的圖像，從中可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間［-2，1］上有零點嗎？其中滿足f（-2）·f（1）_______________；

其中也滿足 f（-2）·f（1）__________ ；

【問題 6】函數(shù) f（x）=3x-x2在區(qū)間（-1，0）上有零點嗎？你能說明理由嗎？

歸納函數(shù)零點存在定理：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］ 上的圖像是_______的一條曲線，且有_____，則函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。（3）鞏固提升。通過下列問題歸納函數(shù)零點的三種解題思路。

A 3 B 2 C 1 D 0

【問題 8】在下列區(qū)間中，函數(shù) f（x）=1nx+2x-6 的零點所在區(qū)間是（）。

A （0,1） B （1,2） C （2，3） D （3,4）

【問題 9】函數(shù) f（x）=ex-x3的零點個數(shù)為（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3

2.“閱讀思考”環(huán)節(jié)的教學實錄。

逐一提問三位學生回答“閱讀思考”中的三個問題。（注：學生1、2、3均為學困生）

學生 1：（1）3，-1；（2）（3，0），（-1，0）；（3）3，-1.

教師：你從問題1中的三個小問題中發(fā)現(xiàn)了什么？

學生 1： “方程 f（x）=0 的根”“函數(shù) y=f（x）圖像與x軸的交點”與“函數(shù) y=f（x）的零點”可互相轉化。（教師同時板書）

教師：函數(shù)的零點就是對應方程的根。

學生 2：0，-2。

教師：怎么求的？

學生3：根據題意得，x=2是方程x+a=0的根，求得a=-2，代入得方程x2+2x=0，解方程求得結果。

教師：這個問題反復利用函數(shù)的零點就是對應方程的根來求解。

教師：如何思考的？

學生3：根據題意得，函數(shù)y=x2-x+a圖像與a軸有公共點，利用根的判別式△=1-4a≥0可求得結果。

教師：這位同學是將“存在零點”轉化成“圖像與軸有公共點”，實際上，也可以轉化成“對應的方程有實數(shù)根”來思考。這道具體問題的解答，可幫助學生理解教材 P87中，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的實數(shù)根與二次函數(shù) y=ax2+bx+c=0（a≠0）與 x軸的交點，及函數(shù)零點問題的相互轉化。

3.“探究新課”環(huán)節(jié)的教學實錄。

逐一提問三位學生回答“教學新課”中的三個問題。（注：學生4、5、6均為中等生）

學生 4：有零點， f（-2）·f（1）=-20＜0。

教師：你是如何看出有零點的？請同學們看教材P87探究中的內容。

學生 4： 函數(shù) f （x）=x2-2x-3圖像在區(qū)間［-2，1］上與x軸有交點。

教師：函數(shù) f（x）=x2-2x-3 在區(qū)間［-2，1］上，滿足端點的函數(shù)值互異，即在x軸上方有圖像，在x軸下方也有圖像，并且穿越了x軸，自然有交點。

學生 5：沒有零點， f（-2）·f（1）=-2＜0。

教師：這里也滿足端點的函數(shù)值互異，怎么就沒有零點呢？

教師：若類似于問題 4、問題 5，先畫函數(shù) f（x）=3x-x2在區(qū)間（-1，0）上的圖像就難辦了，我們就只能用端點的函數(shù)值互異，且滿足在區(qū)間（-1，0）上函數(shù)有意義來判斷了，請你再填寫函數(shù)零點存在定理。

學生 6：若函數(shù) y=f（x）在區(qū)間［a，b］上圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且有 f（a）·f（b）＜0，則函數(shù) y=f（x）在區(qū)間上（a，b）有零點。（教師同時板書）

教師：也就是說函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間上有定義，且滿足端點的函數(shù)值互異，則在開區(qū)間上就有零點；但沒有回答有多少個零點，是不是只有一個呢？如果端點的函數(shù)值同號，是不是就沒有零點呢？請同學們課后去討論一下這兩個問題。

4.“鞏固提升”環(huán)節(jié)的教學實錄。

逐一提問三位學生回答“鞏固提升”中的三個問題．（注：學生 7、8、9 均為優(yōu)秀生）

學生 7：選 B。

教師：你是如何求解的？

學生7：當x≤0時，解方程x2+2x-3=0得x=-3或 x=1（舍去）；當 x＞0 時，解方程-2+1n x=0 得，x=e2。

教師：你能歸納一下本題的解題思路嗎？

學生7：通過解方程求零點。（教師同時板書）

教師：函數(shù)零點問題，首先是考慮通過解方程求零點；同學們課后可以畫出函數(shù)圖像，觀察其圖像與x軸交點的個數(shù)求解。

學生 8：選 C。

教師：你是如何求解的？

學生8：根據函數(shù)零點存在定理，計算端點的函數(shù)值，f（1）=-4＜0，f（2）=1n2-2＜0,f（3）=1n3＞0。

教師：你為什么不通過解方程求解呢？

學生8：方程1n x+2x-6=0解不了。

教師：我們把1n x+2x-6=0叫做超越方程（即超出我們能力范圍內的方程）；有同學會問，在其他區(qū)間內還可能有零點呀！請同學們看教材P88例1，教材中是通過列表分析函數(shù) f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上是單增的；實際上，y=1n x與 y=2x-6在（0，+∞）上均單增，由“和函數(shù)”的單調性可知 f（x）=1n x+2x-6 在（0，+∞）上也單增。本題的解題思路是：利用端點函數(shù)值互異，估計零點的范圍（常針對單調函數(shù)而言）。（教師同時板書）

學生9：好像是選B。

教師：你是如何思考的？能通過解方程求零點嗎？能利用端點函數(shù)值互異，估計零點的范圍嗎？

學生9：超越方程不能解，不是單調函數(shù)，不好估計零點的范圍。

教師：將方程ex-x3=0變形為ex=x3，方程實根的個數(shù)相當于函數(shù)y=ex與y=x3圖像交點的個數(shù)。請同學們動手在同一直角坐標系中畫這兩個函數(shù)的圖像。

學生畫圖，教師巡視。發(fā)現(xiàn)有些同學兩個圖像沒有交點，有些同學只有一個交點，只有少數(shù)同學有兩個交點，展示有兩個交點的同學的解法。

教師：注意當 x=3 時，ex＜x3；當 x=5 時，ex＞x3；且在后面函數(shù)y=ex是“爆炸式增長”，所以兩個圖像交點個數(shù)為2，正確選C。本題的解題思路是：分成兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖像交點個數(shù)得函數(shù)零點個數(shù)。