翟運(yùn)勝

【摘 要】數(shù)學(xué)的理解是根據(jù)學(xué)生的已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，并進(jìn)而獲得心理意義的過程。能否用語言來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，能否用畫圖來表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，能否實(shí)際運(yùn)用是數(shù)學(xué)理解的標(biāo)志。建立聯(lián)系、借助形象、突出本質(zhì)、加強(qiáng)對(duì)比、借助變式與反例等策略可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解；行為表征；策略

一、數(shù)學(xué)理解與外部行為表征

從建構(gòu)主義理論來看理解實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，并進(jìn)而獲得心理意義的過程。也就是建立相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種內(nèi)隱的心理學(xué)上的變化，必然帶來一些外顯特征的變化，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》附錄中這樣來解釋理解：描述對(duì)象的特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系，這個(gè)可以看作是理解外顯上的變化。怎樣具體判斷學(xué)生理解了所學(xué)的知識(shí)呢？

（一）能否用語言表述是衡量學(xué)生是否理解的基本標(biāo)志

1.能夠講清知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系與區(qū)別。比如數(shù)學(xué)上的角，學(xué)生能夠自己認(rèn)識(shí)到角是一種從一點(diǎn)引出兩條射線的平面圖形，不是指桌角、墻角的角。

2.能夠講清新知識(shí)與舊知識(shí)之間的聯(lián)系。把一些難以理解的知識(shí)放到情境中去理解，在實(shí)際背景中加深理解。比如小數(shù)乘小數(shù)，為什么以往是越乘越大，而現(xiàn)在則會(huì)出現(xiàn)越乘積越小的情況，把它們放到具體的情境中去幫助學(xué)生理解，打破學(xué)生的認(rèn)識(shí)局限，幫助學(xué)生重組認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。在復(fù)習(xí)時(shí)，能畫出概念間的關(guān)系網(wǎng)，能講清楚知識(shí)的來龍去脈。學(xué)習(xí)五年級(jí)下冊(cè)的“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”單元復(fù)習(xí)，學(xué)生要能進(jìn)行梳理總結(jié)，把分?jǐn)?shù)的意義歸納成“份數(shù)的意義、除法的意義、比的意義”，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，從而融會(huì)貫通。

3.學(xué)會(huì)講理，知道所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)是什么。數(shù)學(xué)是講“理”的科學(xué)，哪怕是一年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)也不例外。通過講理，學(xué)生能夠理解所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。通過各種看直尺、數(shù)軸圖等方式，學(xué)生認(rèn)識(shí)到小數(shù)其實(shí)質(zhì)是一種分母為10、100、1000等的特殊分?jǐn)?shù)。

4.用自己的語言表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的思考。從不同的角度對(duì)所學(xué)知識(shí)作出解釋，能根據(jù)概念舉出恰當(dāng)?shù)睦印１热缬械慕處熢诮虒W(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)小論文的形式來表達(dá)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。這種方式對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，擴(kuò)大信息量非常有效，因此促進(jìn)數(shù)學(xué)類信息的閱讀，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

（二）能否進(jìn)行實(shí)際畫圖、操作是衡量學(xué)生是否理解的重要標(biāo)志

學(xué)習(xí)了一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾，在考試中要求學(xué)生畫線段圖表示“美術(shù)組人數(shù)比舞蹈組少20%”，學(xué)生需要判斷把哪一種人數(shù)看作標(biāo)準(zhǔn)，平均分成多少份。

讓學(xué)生根據(jù)線段圖寫出數(shù)量之間的相等關(guān)系，如果學(xué)生能夠正確地畫圖并寫出相關(guān)的相等關(guān)系，說明學(xué)生真正理解了“美術(shù)組人數(shù)比舞蹈組少20%”的真正含義，否則很可能停留在機(jī)械模仿的解題階段。因?yàn)樽龅搅酥庇^上的理解才是真正的理解。

（三）能否具體運(yùn)用是衡量學(xué)生是否理解的關(guān)鍵標(biāo)志

在學(xué)習(xí)公倍數(shù)與公因數(shù)的時(shí)候，學(xué)生對(duì)于公倍數(shù)與公因數(shù)能否區(qū)別，關(guān)鍵看他們是否能夠正確應(yīng)用公倍數(shù)與公因數(shù)的知識(shí)解決一些實(shí)際問題。如能否解決下面的問題：把一張長(zhǎng)20厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙裁成同樣大小、面積盡可能大的正方形，紙沒有剩余，可以裁多少個(gè)？它是學(xué)生理解的標(biāo)志。

二、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的策略

（一）建立非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們?cè)趯?duì)客觀事物的感知和理解的基礎(chǔ)上頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)，是個(gè)體認(rèn)知活動(dòng)的產(chǎn)物。教師要想讓學(xué)生達(dá)到確切的理解，關(guān)鍵是要幫助學(xué)生準(zhǔn)備好已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便組織新概念。學(xué)生所學(xué)的新知識(shí)，與認(rèn)知結(jié)構(gòu)已有的適當(dāng)知識(shí)本身就存在某種固有聯(lián)系，這種聯(lián)系就是“非人為和實(shí)質(zhì)性的”，它們只是目前存在于不同的載體中，學(xué)生如果能把兩者原有的“非人為和實(shí)質(zhì)性聯(lián)系”認(rèn)識(shí)出來、建立起來，也就建立了非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。比如正方形是特殊長(zhǎng)方形，它們之間的聯(lián)系就是非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。建立了聯(lián)系，也就形成了結(jié)構(gòu)。組織認(rèn)知結(jié)構(gòu)有兩種方式，一是同化，二是順應(yīng)。例如根據(jù)長(zhǎng)方形的特征推理正方體的特征，這是一種同化，學(xué)生理解相對(duì)較簡(jiǎn)單。在教學(xué)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第二階段，原先是把一個(gè)物體平均分成若干份，其中一份是幾分之一，而現(xiàn)在是把一些物體看成一個(gè)整體平均分成若干份，其中一份中的個(gè)數(shù)是不固定的，這對(duì)于這個(gè)發(fā)展階段的學(xué)生來講是一種挑戰(zhàn)，需要打破原有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，順應(yīng)知識(shí)的形成。數(shù)學(xué)教育心理學(xué)相關(guān)研究認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大部分是順應(yīng)過程，這是數(shù)學(xué)難學(xué)的一個(gè)因素。

例如，教學(xué)平行四邊形的面積計(jì)算以后，課件出示下面的圖形：

師：平行四邊形的底和高正好是它的一組相鄰的底邊時(shí)，就成了長(zhǎng)方形或正方形。

師課件演示如下：

師：作為特殊的平行四邊形，長(zhǎng)方形與正方形的面積計(jì)算也可以用S=ah表示嗎？

生：長(zhǎng)方形的寬其實(shí)就是它的高，正方形的邊長(zhǎng)其實(shí)就是和底相等的高，也可以用S=ah來表示。

通過課件演示，分析異同，學(xué)生把長(zhǎng)方形與正方形的面積計(jì)算也“歸”到了平行四邊形的面積計(jì)算中去，建立了本質(zhì)聯(lián)系，完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)，加深了對(duì)這一公式的理解。

同樣，學(xué)生如果能把梯形與三角形的面積計(jì)算“歸”在一起，則學(xué)生對(duì)于這兩種圖形的面積計(jì)算就又上升到了一個(gè)新的等級(jí)。

（二）借助形象，促進(jìn)理解

數(shù)學(xué)家克萊因認(rèn)為：數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上；數(shù)學(xué)的直觀是對(duì)概念、證明的本質(zhì)把握。對(duì)于兒童來講，能夠做到直觀上的理解，才是真正的理解。通過形象加深對(duì)于問題本質(zhì)的觀照，尋找數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀促進(jìn)理解的重要環(huán)節(jié)。

【案例】教學(xué)公因數(shù)這節(jié)課，還可以這樣引入，更能使學(xué)生理解因數(shù)以及公因數(shù)。過去在教學(xué)中，由一個(gè)自然數(shù)的乘法算式，把其中的一個(gè)數(shù)叫作積的因數(shù)，學(xué)生往往鸚鵡學(xué)舌，其實(shí)并沒有真正理解因數(shù)。

教學(xué)公因數(shù)，教師可以通過直觀圖來加以深化。教師出示下面兩根彩帶。每2厘米一段，可以把18厘米與12厘米正好分完，沒有剩余。2既是18的因數(shù)，又是12的因數(shù)，2是18與12的公因數(shù)。

同理，12厘米與18厘米還可以分成1厘米、3厘米、6厘米同樣長(zhǎng)的一段，其中最長(zhǎng)6厘米，就是18與12的最大公因數(shù)。

（三）突出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)

著眼知識(shí)的本質(zhì)教學(xué)素材。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在開始階段，要注意突出知識(shí)的本質(zhì)屬性，使本質(zhì)屬性先入為主，得以強(qiáng)化。例如在“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”這節(jié)課中，教學(xué)中要直奔知識(shí)的本質(zhì)，才有助于理解?？梢栽卺斪影迳嫌美K子圍出長(zhǎng)方形、正方形等圖形，然后剪開測(cè)量，得出周長(zhǎng)。這個(gè)活動(dòng)有利于學(xué)生正確感知圖形的周長(zhǎng)，正確地理解周長(zhǎng)。作為教師來講，要盡可能地預(yù)先判知學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，暴露出學(xué)生的潛在意識(shí)，從而更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)。通過操作，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的理解。

例如，教學(xué)三角形的特征，三角形具有穩(wěn)定性，這里的穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)是指當(dāng)三角形的三邊確定了，那么三角形的形狀與大小就不會(huì)改變。而以往教學(xué)中，教師會(huì)讓學(xué)生去拉木條做成的三角形與平行四邊形，結(jié)果出現(xiàn)了把三角形與平行四邊形都拉變形的情況，誤導(dǎo)學(xué)生把三角形的穩(wěn)定性等同于“穩(wěn)固性”。一位教師在教學(xué)時(shí)是這樣借助操作教學(xué)三角形的穩(wěn)定性的。

師：三角形為什么不容易變形呢？你想知道這里面的奧秘嗎？下面我們來拼一拼。老師為每個(gè)人準(zhǔn)備了一個(gè)學(xué)具袋，大袋里裝的是這樣的四根小棒，小袋里裝的是這樣的三根小棒，請(qǐng)拿大袋的同學(xué)拼一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)拿小袋的同學(xué)拼一個(gè)三角形。（學(xué)生操作）

師：老師收集了一些作品，請(qǐng)大家觀察這些同學(xué)擺的平行四邊形和三角形，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：同樣的四根小棒可以拼成多種平行四邊形，而同樣的三根小棒只能拼成一種三角形。

師：請(qǐng)大家看屏幕，同樣的四根小棒可以拼成多種平行四邊形，而同樣的三根小棒只能拼成一種三角形，也就是說三條邊的長(zhǎng)度確定后，這個(gè)三角形的形狀和大小就不會(huì)改變，這就是三角形的穩(wěn)定性。

（四）加強(qiáng)對(duì)比，促進(jìn)理解

加強(qiáng)對(duì)比是溝通知識(shí)之間聯(lián)系的重要策略，通過對(duì)比能更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)涵，分辨知識(shí)的外延，促進(jìn)對(duì)于知識(shí)的理解。

例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“一一列舉”的解決問題的策略，在練習(xí)時(shí)教師安排如下對(duì)比練習(xí)。

小強(qiáng)沿著方格紙的格線畫長(zhǎng)方形。（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)都是1厘米）

（1）如果畫出的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米，有多少種不同的畫法？

（2）如果畫出的長(zhǎng)方形的面積是24平方厘米，有多少種不同的畫法？

在列舉求這個(gè)問題的答案時(shí)，學(xué)生往往因?yàn)楦悴磺逯荛L(zhǎng)與面積而列舉錯(cuò)誤，教師可以有意識(shí)地通過此題進(jìn)行對(duì)比，借助實(shí)際操作，理解列舉之前應(yīng)當(dāng)考慮什么因素，使學(xué)生真正理解怎樣列舉，如何列舉。

（五）借助變式與反例

所謂變式就是變更對(duì)象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。一句話，變式是指事物的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。 讓學(xué)生在變式中思維，可以使學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)屬性，哪些是事物的非本質(zhì)屬性，從而更好地掌握事物的本質(zhì)規(guī)律。

通過非標(biāo)準(zhǔn)變式，突出概念的本質(zhì)屬性， 促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。例如學(xué)習(xí)二年級(jí)下冊(cè)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí)，可以出示下面非標(biāo)準(zhǔn)變式圖形。

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的認(rèn)識(shí)有時(shí)要通過反例來促進(jìn)理解，因?yàn)榉蠢峁┝俗钣欣诒鎰e的信息，對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化具有非常重要的作用。例如教學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“比的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在揭示了比的概念以后，觀看足球賽視頻片段，引導(dǎo)學(xué)生辨析比分3∶0。為什么這里比的后項(xiàng)可以為0，這個(gè)比與我們今天所學(xué)的比表示的意思一樣嗎？學(xué)生從而認(rèn)識(shí)到足球、籃球等體育比賽中的比，不是表示相除關(guān)系的比。

數(shù)學(xué)理解是一個(gè)過程，數(shù)學(xué)理解是隨著年齡增長(zhǎng)而發(fā)展的，追求數(shù)學(xué)理解是一個(gè)過程，但是有些東西是需要學(xué)生達(dá)到一定年齡，心智成熟到一定水平才可能理解的，因此教學(xué)過程中有的時(shí)候?qū)W生一時(shí)不能理解，教師也不要因此而耿耿于懷，很多情況下數(shù)學(xué)的理解需要時(shí)間來鋪墊，需要?dú)q月來沉積。

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[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學(xué) 215028）