丁持坤

摘要：本文介紹了理論力學(xué)課程教材研究過(guò)程中，在總體把握教材、矢量積及矢量微分、空間曲線、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)、坐標(biāo)系和非慣性系動(dòng)力學(xué)等方面的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué)；教材研究；空間幾何；參考系

《理論力學(xué)》這門(mén)課程是在普通物理《力學(xué)》基礎(chǔ)上的進(jìn)一步理論深化，它既有基礎(chǔ)理論性質(zhì)又有應(yīng)用技術(shù)性質(zhì)，是很多物理專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程的基礎(chǔ)。這門(mén)課程的教學(xué)最大難處在于一個(gè)矢量方程中，包含了很多分量方程，尤其是涉及到多維的情況后。要學(xué)生能學(xué)會(huì)，關(guān)鍵在于教師首先要深入研究教材，總體把握教材各部分的聯(lián)系以及它和物理專(zhuān)業(yè)其它課程之間的聯(lián)系與區(qū)別。因此，作者將自己的一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)教材的研究把握情況寫(xiě)下來(lái)，供讀者參考。

一、教材總體把握?，F(xiàn)在大部分高校使用的理論力學(xué)教材為文獻(xiàn)[1]。教材[1]涉及的都是牛頓力學(xué)，而國(guó)外的力學(xué)教材包含的范圍更廣一些，如文獻(xiàn)[2，3]都包含了愛(ài)因斯坦力學(xué)——相對(duì)論性力學(xué)。所有力學(xué)現(xiàn)象都是在一定的時(shí)間和空間里發(fā)生的。牛頓力學(xué)以時(shí)間t為運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)，用三維空間幾何來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)；而愛(ài)因斯坦力學(xué)以間隔s為參數(shù)，用四維時(shí)空幾何來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)。四維愛(ài)因斯坦力學(xué)是三維牛頓力學(xué)的一個(gè)自然延拓?？梢?jiàn)，首先就要一定的幾何知識(shí)做基礎(chǔ)，而文獻(xiàn)[2]在第一、二章就專(zhuān)門(mén)講幾何知識(shí)。因此，教師要試圖灌輸一些幾何觀念。分析力學(xué)部分，包含了拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)，在后續(xù)課程《量子力學(xué)》、《電動(dòng)力學(xué)》等課程中有廣泛應(yīng)用。拉格朗日力學(xué)用r個(gè)自由坐標(biāo)（稱(chēng)為廣義坐標(biāo)，相應(yīng)為r維廣義空間）來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)，哈密頓力學(xué)用2r個(gè)坐標(biāo)（廣義坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的廣義共軛動(dòng)量，相應(yīng)為2r維相空間）來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)。2r維的哈密頓力學(xué)是r維拉格朗日力學(xué)的一個(gè)自然拓展。

二、矢量積及矢量微分。矢量叉積A=B×C的分量式：Ai=BjCk-BkCj，ijk對(duì)應(yīng)著123、231、312，如A2=B3C1-B1C3；又如J=r×p，則J1=x2p3-x3p2。矢量的雙重叉積J=A×（B×C）的分量式：可以構(gòu)建張量Tij=BiCj，T?A=∑TijAj，A?T=∑AjTji，則有J= T?A–A?T。矢量r的微分dr和d2r：這實(shí)際上就是微分幾何的知識(shí)了。對(duì)于把空間幾何結(jié)構(gòu)完全用數(shù)來(lái)描述，如點(diǎn)和數(shù)、線段和矢量、片段和二階矢量、體段和三階矢量等，讀者可參看文獻(xiàn)[2]。dr和d2r總可以分為兩部分，沿r的部分和與r垂直的部分。如果r=rer，則dr=drer+rdθeθ，d2r=[d2r–（rdθ）2]er +（2drdθ+rd2θ）eθ，式中θ為r繞其始端轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

三、空間曲線。主法線、副法線和切線：空間曲線的一點(diǎn)，總可以建立一個(gè)局域直角坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系的3個(gè)軸便是主法線、副法線和切線，和通常的xyz軸一樣，只是名稱(chēng)的不同而已。主法線就是z軸，切線就是y軸，副法線就是x軸。zx平面就是曲線的法平面，zy平面就是曲線的密切平面，而xy平面就是曲線的切平面。

四、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。Euler角：自轉(zhuǎn)角ψ和兩個(gè)確定自轉(zhuǎn)軸方向的角θ、φ。這里的θ和φ其實(shí)與球坐標(biāo)系下的兩個(gè)角是一樣的意義，完全沒(méi)必要為是章動(dòng)角或進(jìn)動(dòng)角的名稱(chēng)而苦惱。角速度 =dφ/dt沿空間的固定豎直軸， 沿剛體自轉(zhuǎn)軸， 垂直于前兩者構(gòu)成的平面。進(jìn)動(dòng)：自轉(zhuǎn)軸繞空間豎直軸或公轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)，地球進(jìn)動(dòng)周期為26000年。進(jìn)動(dòng)使地球北極指向的星星（北極星）不斷更換，5000年前是天龍座α星，5000年后將是仙王座α星，而現(xiàn)在是小熊座的α星。章動(dòng)：英文為nutation，點(diǎn)頭的意思。地球的自轉(zhuǎn)軸的“點(diǎn)頭”周期為18.6年，而我國(guó)古代歷法中將19年稱(chēng)為一章，因此將nutation翻譯為章動(dòng)是由來(lái)歷的。

五、坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)（x，y，z）的特點(diǎn)是它的單位矢量eiejek不隨時(shí)間變化，是固定矢量。此時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)方程為xi=xi（t），qα=qα（t），r=r（t）；速度為v= （t）=dr/dt，加速度為a= （t）=d2r/dt2。

自然坐標(biāo)系（et，en）的特點(diǎn)是它的單位矢量是隨時(shí)間和空間變化的變矢量，能很好的描述曲線的曲率。此時(shí)物體的速度為v=vet，速率v=ds/dt。加速度為a= et +v2/ρ en，其中ρ為軌跡的曲率半徑，s為軌跡上某段弧的長(zhǎng)度。

六、非慣性系動(dòng)力學(xué)。平動(dòng)參考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'，加速度a=a0+a'。加上慣性力F0=-ma0后，就滿足力學(xué)不變性原理（principle of equivalence，即在非慣性系中牛頓定律F'=F+（-ma0）=ma'仍然成立）。

轉(zhuǎn)動(dòng)參考系r=r0+r'中，速度v=v0+v'+ω×r'，加速度a=a0+a'+ ×r+ω×（ω×r'）+ 2ω×v'，式中v'=dr'/dter'，a'=dv'/dter'，ω為參考系轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。此時(shí)就要加上4個(gè)慣性力才滿足力學(xué)不變性原理（F'=F+F0+Fl+Fr+Fc=ma'）：F0=-ma0、慣性離心力Fl=-mω×（ω×r）、變速轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力Fr=-m ×r、Coriolis慣性力Fc=-2mω×v'。

另外，教材[1]中的動(dòng)量矩，應(yīng)當(dāng)改成角動(dòng)量，因?yàn)橹挥猩婕稗D(zhuǎn)動(dòng)情況時(shí)才會(huì)將線動(dòng)量去乘以距離。還有，書(shū)本的第232頁(yè)，不要詳細(xì)講勒讓德變換的數(shù)學(xué)過(guò)程，以免增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)。對(duì)于函數(shù)f（x，y），它的全微分df=udx+vdy。如果要變?yōu)橐評(píng)和y為變量的函數(shù)g（u，y）時(shí)，只需令g=f-ux，則有dg=xdu+vdy，就達(dá)到了目的。這是和熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理中的從內(nèi)能導(dǎo)出其它熱力學(xué)函數(shù)的過(guò)程一樣的，參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

結(jié)束語(yǔ)：教材研究是一個(gè)教師的基本功，首先對(duì)課程要有一個(gè)總體把握，抓住課程的綱。然后研究不同種類(lèi)的教材，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從不同角度去發(fā)現(xiàn)力學(xué)知識(shí)的構(gòu)建方法。要提高自己的教學(xué)能力，就要抓住主要的問(wèn)題，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周衍柏. 理論力學(xué)教程[M].北京： 高等教育出版社， 2007第三版.

[2]D. Hestenes. New Foundations for Classical Mechanics [M]. 科學(xué)出版社， 1999年第二版.

[3]H. Goldstein， C. Poole and J. Safko. Classical Mechanics [M]. 高等教育出版社， 2002年第三版.