【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；思維品質(zhì)；解題訓(xùn)練

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）43-0059-02

【作者簡介】秦國清，江蘇省白蒲高級中學(xué)（江蘇如皋，226511）教師，一級教師。

數(shù)學(xué)思維是從數(shù)學(xué)的角度來思考問題和解決問題的思維活動形式。教學(xué)中要立足數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括，會進行歸納、演繹和類比推理，能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系。

需要強調(diào)的是，學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的效果與思維的品質(zhì)有著直接的關(guān)系。數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要包括獨立性、靈活性、深刻性、辯證性、系統(tǒng)性、創(chuàng)造性、流暢性、發(fā)散性等。筆者結(jié)合自身教學(xué)實際，談一些做法和想法。

一、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性

具備數(shù)學(xué)思維的靈活性要求學(xué)生能夠順應(yīng)數(shù)學(xué)條件的變化及時改變思維路徑，尋找新的解決問題的方法。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生在解題時往往有“一眼看不到底”的經(jīng)歷，即不能從開始到結(jié)束都有明確的思路。不少學(xué)生遇到問題首先去想是否做過或有沒有明確思路，一旦不是熟悉的問題，就不自信，不能冷靜分析，這是思維缺乏靈活性的表現(xiàn)。為此，要提倡解題思維三步驟：寫出來看看，目標（結(jié)論）是什么，條件怎么用。換言之，有什么想法就不妨先寫出來，寫出來與寫不出來的思路都要去從解題目標的角度來審視，做出取舍；或者也可從已知條件出發(fā)，看看能得到哪些結(jié)論。只有這樣解題思路才會變得靈活、流暢。

教師要讓學(xué)生學(xué)會條件和結(jié)論的轉(zhuǎn)化，學(xué)生能把題目表述得更簡潔、流暢、好懂，與數(shù)學(xué)重要知識有關(guān)聯(lián)，這樣才能發(fā)揮學(xué)生的主體作用。通過學(xué)生大腦的思維活動不斷分析、“回味”待解決的問題，并形成新的長時記憶，不斷提高學(xué)生的解題能力。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性

中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性體現(xiàn)在對所學(xué)概念定義、法則、定理等的認識水平上。

從數(shù)學(xué)教育教學(xué)的角度看，解題的思維過程能夠反映學(xué)生思維的深刻性，從學(xué)生給出的解答過程可以看出學(xué)生思維的特征。通過對學(xué)生解答過程的梳理、回溯與講解，可以深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和嚴謹性。

如2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第 19題第2問：

如圖1，已知橢圓 +y2=1，A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，且直線AF1與直線BF2平行，AF1-BF2= ，求直線AF1的斜率。

在教學(xué)中對學(xué)生能想到的解題思路進行總結(jié)與對比。

思路1：利用已知條件AF1-BF2= ，就要先求出線段AF1，BF2的長度，而且還必須用所需要求的斜率來表示，這就要先用斜率表示出點的坐標，于是設(shè)出直線方程，采用聯(lián)立方程組的方法計算解決。

這種思路較為直接，體現(xiàn)出方程的思想，大部分學(xué)生都能想到，但能算出正確結(jié)果的寥寥無幾，其原因在于計算量太大。有學(xué)生在思考后發(fā)現(xiàn)AF1，BF2的長度不一定要算出來，得到思路2。

思路2：如圖2，A、B點都在橢圓上，AF1，BF2都是連接橢圓上一點到焦點的線段，可以想到利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義實現(xiàn)向準線距離的轉(zhuǎn)化，所以不需求的長度AF1，BF2只要聯(lián)立方程組，利用韋達定理，就能解決。

思路3：有學(xué)生能抓住橢圓的對稱性，如圖3，將BF2平移至B1F1，這樣，聯(lián)立一個方程組就可解決。

思路4：有學(xué)生認為無需向準線轉(zhuǎn)化，直接利用線段長度公式|AB|= |xA-xB|也能很好解決，即利用線段長度公式，將傾斜長度，轉(zhuǎn)化為水平距離。這同前面的利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義和對稱性實現(xiàn)轉(zhuǎn)化其本質(zhì)是一致的，都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。

除了上述4種思路之外，教師還可以根據(jù)學(xué)情介紹利用三角函數(shù)、參數(shù)方程、極坐標方程等工具進行解題的方法，讓每一位學(xué)生主動地回憶原有的知識和經(jīng)驗，結(jié)合自己的思維特征，積極參與到課堂中來。發(fā)揮思維方法的威力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“深刻性”。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的辯證性

矛盾沖突是事物發(fā)展的根本動力。教學(xué)時，要提高學(xué)生的辯證思維能力，全面地、系統(tǒng)地、聯(lián)系地分析問題、解決問題，在矛盾雙方對立統(tǒng)一的過程中把握其發(fā)展規(guī)律，克服極端化、片面化。 數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“辯證性”，主要訓(xùn)練學(xué)生看問題要客觀全面。研究“對立的”或者“關(guān)聯(lián)的”數(shù)學(xué)問題，學(xué)會解題前的預(yù)判和解題中的調(diào)整，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。

如2012年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷15題：

在△ABC中，已知 · =3 · 。（1）求證：tanB=3tanA；（2）若cosC= ，求A的值。

在解決第（2）問時，不少學(xué)生選擇用求“弦”值來求角，結(jié)果陷入繁雜計算的泥潭，無果而終。這是因為平時教師在教學(xué)時過分強調(diào)“逢切化弦”造成的。假如能細心觀察一下第一問的結(jié)論，辯證的選擇“弦化切”的策略，這樣運算就會簡潔、迅速。

教師要善于捕捉教學(xué)中發(fā)生的矛盾沖突，抓住契機，引導(dǎo)學(xué)生進行深入的討論、辨析、尋根、糾正，讓學(xué)生在“和而不同”的學(xué)術(shù)氛圍中，感受數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟原理、加深理解，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)得以進一步完善，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得以優(yōu)化，認知水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升。

總之，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)和學(xué)生一起置身于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中，對每一個數(shù)學(xué)問題、結(jié)論、方法，讓學(xué)生探究的時間要更長一些，探究的層次要更深一些。不僅要順利達成數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的顯性目標，更要能促進學(xué)生的思維生長、品質(zhì)素養(yǎng)的提升。要站在學(xué)生的立場，貼近學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)，點燃他們不斷發(fā)展的動力。