張 良, 海進(jìn)科

(1. 伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計分院, 新疆 伊寧 835000； 2. 青島大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 山東 青島 266071)

1 引言與預(yù)備知識

群的同態(tài)個數(shù)是群理論中的一個基本數(shù)量關(guān)系, 可以刻畫群的某些性質(zhì)和結(jié)構(gòu), 目前已有許多研究結(jié)果. 例如: Frobenius[1]給出了n階循環(huán)群Cn到有限群G的同態(tài)個數(shù)滿足

Hom(Cn,G)≡0(mod(n,|G|)),

其中(n,|G|)表示n和|G|的最大公因數(shù); Yoshida[2]推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果, 將循環(huán)群換成了有限交換群； Asai和Yoshida[3]猜想對任意有限群A和G, 均有Hom(A,G)≡0(mod(|A/A′|,|G|), 其中A′是A的換位子群, 并證明了在某些特殊情形該猜想成立. 文獻(xiàn)[4-5]計算了一些有限群到一般線性群的同態(tài)個數(shù); 文獻(xiàn)[6]計算了一些有限群到一些經(jīng)典群的同態(tài)個數(shù); 文獻(xiàn)[6-11]分別計算了二面體群、 四元數(shù)群和模群等有限群之間的同態(tài)個數(shù). 但對于一般亞循環(huán)群之間同態(tài)個數(shù)的研究目前尚未見相關(guān)文獻(xiàn). 設(shè)n是正整數(shù), 如果

(1)

則稱群Gn為4n階的亞循環(huán)群. 由文獻(xiàn)[12]知, 該類亞循環(huán)群存在. 本文計算該類亞循環(huán)群之間的同態(tài)個數(shù), 并驗證該類亞循環(huán)群滿足Asai和Yoshida猜想. 本文考慮的群均為有限群,m,n≥2是正整數(shù), 記Hom(Gm,Gn)是Gm到Gn的所有群同態(tài)構(gòu)成的集合, |Hom(Gm,Gn)|是Gm到Gn的所有群同態(tài)個數(shù)； 記d=(m,n),m=m′d,n=n′d, 其中(m,n)是m,n的最大公因數(shù),m′,n′是正整數(shù). [m,n]表示m,n的最小公倍數(shù). 其他記號參見文獻(xiàn)[12-13].

證明: 由群同態(tài)的定義及引理3可知結(jié)論顯然成立.

引理4設(shè)m,n≥2是正整數(shù), 記d=(m,n),m=m′d,n=n′d, 其中(m,n)是m,n的最大公因數(shù). 則(m′,n′)=1.

證明: 由最大公因數(shù)的性質(zhì)可知結(jié)論成立.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)m,n≥2是兩個奇數(shù), 則|Hom(Gm,Gn)|=2+2n(m,n).

定理2設(shè)m>1是奇數(shù),n是偶數(shù), 則:

1) 當(dāng)n≡2(mod 4)時, |Hom(Gm,Gn)|=8+2n(m,n);

2) 當(dāng)n≡0(mod 4)時, |Hom(Gm,Gn)|=16+2n(m,n).

證明: 1) 當(dāng)m是奇數(shù)且n≡2(mod 4)時, 分3步證明.

2) 當(dāng)m是奇數(shù)且n≡0(mod 4)時, 分3步證明.

綜上可知定理2成立.

定理3設(shè)m是偶數(shù),n≥1是奇數(shù), 則|Hom(Gm,Gn)|=4+4n(m,n).

定理4設(shè)m,n是兩個偶數(shù), 則:

1) 當(dāng)n≡2(mod 4)時, |Hom(Gm,Gn)|=16+4n(m,n)；

2) 當(dāng)n≡0(mod 4) 時, |Hom(Gm,Gn)|=32+4n(m,n).

證明: 1) 當(dāng)m為偶數(shù)且n≡2(mod 4)時, 分5步證明.

2) 當(dāng)m是偶數(shù)且n≡0(mod 4)時, 分7步證明.

綜上可知, 定理4成立.

由定理1和定理4直接可得該類亞循環(huán)群的自同態(tài)個數(shù)滿足下列結(jié)論.

推論1設(shè)m≥2是正整數(shù), 則:

1) 當(dāng)m是奇數(shù)時, |End(Gm)|=2+2m2；

2) 當(dāng)m≡2(mod 4)時, |End(Gm)|=16+4m2；

3) 當(dāng)m≡0(mod 4)時, |End(Gm)|=32+4m2.

最后驗證該類亞循環(huán)群滿足Asai和Yoshida猜想.

推論2設(shè)m,n是兩個正整數(shù),Gm,Gn分別為4m,4n階亞循環(huán)群, 則