李 曉， 包建東

(1. 南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094； 2. 南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引 言

根據(jù)形狀誤差的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)及國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)， 直線度誤差定義為被測(cè)實(shí)際直線相對(duì)于理想直線的偏差， 該理想直線應(yīng)符合最小條件[1]. 直線度的優(yōu)劣會(huì)影響產(chǎn)品的性能及壽命等指標(biāo)， 因此直線度誤差的評(píng)判是一個(gè)重要的課題. 目前， 深孔軸線直線度誤差評(píng)定的方法主要有： 端點(diǎn)連線法、 最小二乘法、 最小區(qū)域法. 其中前兩種方法屬于近似評(píng)定， 一般不能滿足最小條件. 為此， 國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了許多基于最小包容區(qū)域原則的方法： 計(jì)算點(diǎn)數(shù)較少時(shí)采用計(jì)算幾何評(píng)定方法如凸多邊形法、 極值搜索法等， 優(yōu)化方法如遺傳算法、 粒子群算法等， 以盡可能真實(shí)地反映直線的直線度誤差. 不同的評(píng)定方法對(duì)直線度誤差結(jié)果影響較大， 進(jìn)而影響對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的判斷， 故而有必要進(jìn)行深孔直線度誤差評(píng)定方法的研究[2].

1 評(píng)定方法

本文通過(guò)介紹幾種常見(jiàn)直線度誤差評(píng)定方法的原理， 并以深孔光電檢測(cè)實(shí)驗(yàn)采集的坐標(biāo)數(shù)據(jù)為例， 分別用5種方法對(duì)其進(jìn)行直線度評(píng)定， 并比較各方法優(yōu)劣和評(píng)定精度. 采用某實(shí)驗(yàn)中采集的3組深孔坐標(biāo)數(shù)據(jù)， 每組10個(gè)測(cè)量點(diǎn)， 將原始坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為偏心距， 轉(zhuǎn)化后的軸向位置x及偏心距y數(shù)據(jù)如表 1 所示.

表 1 偏心距數(shù)據(jù)

1.1 端點(diǎn)連線法

建立如圖 1 直角坐標(biāo)系xoy，x軸表示軸向位移，y軸表示光電坐標(biāo)偏心距.

圖 1 端點(diǎn)連線法原理示意圖Fig.1 Endpoint connection principle diagram

連接首末兩點(diǎn)， 直線L1方程為

(1)

式中：x0，y0為起點(diǎn)坐標(biāo)值；xe,ye為終點(diǎn)坐標(biāo)值.

計(jì)算誤差曲線上各點(diǎn)(xi,yi)到直線L1的偏差(有正負(fù))

εi=yi-fi

(2)

作包容所有點(diǎn)的L1的平行線， 那么兩平行線在y軸上的距離

p=εmax-εmin

(3)

即為直線度誤差值[3].

1.2 最小二乘法

根據(jù)表 1 數(shù)據(jù)計(jì)算最小二乘直線方程

f=ax+b,

(4)

圖 2 最小二乘法原理示意圖Fig.2 Least square method principle diagram

式中：n為測(cè)量點(diǎn)數(shù)；

(5)

(6)

計(jì)算誤差曲線上各點(diǎn)(xi,yi)到如圖 2 直線L2的偏差(有正負(fù))

εi=yi-fi.

(7)

求出εi中的最大值和最小值， 作包容所有點(diǎn)的L2的平行線， 那么兩平行線在y軸上的距離

p=εmax-εmin

(8)

即為直線度誤差值[4].

1.3 極值搜索法

計(jì)算最小包容區(qū)域主要是尋找到滿足條件的“低-高-低”或“高-低-高”3點(diǎn).

圖 3 極值搜索法原理示意圖Fig.3 Extreme search principle diagram

如圖 3， 以最小二乘擬合直線L為基線， 稱基線上側(cè)為高點(diǎn)區(qū)， 下側(cè)為低點(diǎn)區(qū)， 分別在兩側(cè)尋找滿足條件的平行包容線組， 計(jì)算其間距. 找出所有滿足條件的包容線間距ti(i=1,2,3……n)中的最小值tmin， 作為所求直線度誤差[5].

如圖 5(c) 對(duì)于第一組測(cè)量數(shù)據(jù)最小包容區(qū)域計(jì)算中， 低點(diǎn)連線為下包容線且滿足間距為最小值時(shí)， 下包容線方程為

0.11x-60y+37.97=0,

(9)

這對(duì)包容線L1h、L1l間的距離為t1=0.440 mm. 高點(diǎn)連線為上包容線且滿足間距為最小值時(shí)， 上包容線方程為

0.001x-45y+52.28=0.

(10)

這對(duì)包容線L2h、L2l間的距離為t2=0.521 mm. 則最小區(qū)域法直線度誤差即為tmin=0.440 mm.

1.4 分割逼近法

基于分割逼近法提取理想直線的思路是： 擬合最小二乘直線如式(4)， 并以此為起始直線進(jìn)行搜索， 在一定的角度范圍內(nèi)以最小二乘直線斜率的變化量δa為間隔進(jìn)行分割， 尋找滿足最小區(qū)域的理想基準(zhǔn)直線. 如圖 4 所示實(shí)線為最小二乘線， 虛線為

f′=(a±m(xù)·δa)x+b,

(11)

圖 4 分割逼近法原理示意圖Fig.4 Segmentation approach principle diagram

也即初始直線繞Q點(diǎn)逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)角度， 計(jì)算對(duì)應(yīng)于所設(shè)角度范圍內(nèi)所有分割線的直線度誤差值pi， 其中最小值min(pi)就是符合最小包容區(qū)域的直線度誤差值， 對(duì)應(yīng)于min(pi)的直線就是符合最小包容區(qū)域的理想直線[6].

本例中逆時(shí)針和順時(shí)針?biāo)O(shè)角度范圍θ分別為1.5°， 分割次數(shù)m分別為240， 那么對(duì)應(yīng)的角度增量或減量為0.37′,斜率變化量δa=1×10-4. 根據(jù)上述分割逼近原理， 得到如圖5(d)所示結(jié)果， 由于分割線較密集， 圖中僅展示5條分割線， 其中點(diǎn)劃線即為所得理想直線， 斜率為0.001 822， 實(shí)線表示初始直線.

1.5 遺傳算法

遺傳算法以生物進(jìn)化為理論基礎(chǔ)， 總體來(lái)說(shuō)是一個(gè)不斷迭代更新的過(guò)程. 首先提取出問(wèn)題的解對(duì)其進(jìn)行編碼構(gòu)成“染色體”， 作為種群中的個(gè)體. 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)得到適應(yīng)度函數(shù)， 由此算出個(gè)體的適應(yīng)度值， 通過(guò)選擇、 交叉、 變異一系列操作使種群完成新一代的進(jìn)化， 這樣一代一代不斷更新最終求得最優(yōu)解[7-8]. 算法步驟為：

1) 編碼構(gòu)成初始種群A0(t).

2) 計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度

h(k)=gmax-g(k),

(12)

式中：g(k)為目標(biāo)函數(shù)

3) 選擇操作， 根據(jù)適應(yīng)度大小得到n個(gè)新個(gè)體A1(t).

4) 交叉操作， 形成A2(t).

5) 變異操作， 形成新一代A3(t+1).

6) 檢查進(jìn)化代數(shù).

7) 保存適應(yīng)度最大的個(gè)體， 求出對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值即為直線度誤差.

評(píng)定過(guò)程中所需參數(shù)設(shè)置為： 種群規(guī)模n=50； 交叉概率pc=0.6； 變異概率pm=0.02； 最大進(jìn)化代數(shù)t=1 000. 算法運(yùn)行優(yōu)化迭代過(guò)程如圖5(e)所示.

根據(jù)表 1 偏心距數(shù)據(jù)， 采用計(jì)算機(jī)輔助工具對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真， 第一次測(cè)量數(shù)據(jù)的曲線圖分別如圖5(a)～圖 5(e) 所示.

圖 5 評(píng)定直線度曲線Fig.5 Assess the straightness curve

2 結(jié)果比較

對(duì)各方法3組結(jié)果求平均值， 最終結(jié)果如表 2 所示.

仿真結(jié)果表明， 端點(diǎn)連線法和最小二乘法評(píng)定結(jié)果最大； 極值搜索、 分割逼近和遺傳算法此3種方法評(píng)定出來(lái)的誤差較前兩種方法精度均有提高， 遺傳算法評(píng)定的直線度誤差比端點(diǎn)連線法提高約4.4%， 比最小二乘法提高約3.4%， 其精確度高， 理論上可以無(wú)限逼近真實(shí)值. 由此可以看出： 通過(guò)最小包容區(qū)域原則評(píng)定直線度的誤差是最小的. 此外， 本文采用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)一定程度上限制了評(píng)定精度， 實(shí)際應(yīng)用中可通過(guò)適當(dāng)增加采樣點(diǎn)， 或每輪采樣交錯(cuò)選取采樣點(diǎn)來(lái)進(jìn)一步提高直線度誤差評(píng)定精度.

表 2 各算法計(jì)算結(jié)果

表 3 結(jié)果比較

4 結(jié) 論

通過(guò)研究深孔軸線直線度誤差評(píng)定方法和進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)可知： 幾種方法均可對(duì)深孔直線度誤差進(jìn)行評(píng)估， 其中， 最小區(qū)域法直線度誤差值小精度高， 計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜， 但借助計(jì)算機(jī)程序容易實(shí)現(xiàn)， 而端點(diǎn)連線法和最小二乘法精度較低但計(jì)算簡(jiǎn)單. 實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)產(chǎn)品對(duì)象和精度要求選擇合適的評(píng)定方法， 或采用多種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行綜合評(píng)估.