海南省儋州市第一中學(xué)(571799) 謝明賢

在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中,常出現(xiàn)這樣一類問(wèn)題:根據(jù)題目已知的條件下,得出x1+λx2=0或y1+λy2=0和x1+λx2+μ=0或y1+λy2+μ=0等情形.對(duì)于此類問(wèn)題關(guān)鍵是抓住x1與x2或y1與y2的系數(shù)不平衡性(非對(duì)稱),通過(guò)“配方”或點(diǎn)在曲線上調(diào)整為對(duì)稱性.下面本文就這一類問(wèn)題的解決方法,結(jié)合下面的例題,談一下自己的看法.

例1設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為 60°,

(1)求橢圓C的離心率;

解 (1)方法一由已知設(shè)F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).直線l的方程為:將直線l的方程代入橢圓C的方程,整理得.(b2+3a2)x2+6a2cx+a2(3c2-b2)=0.所以恒成立.由已知

所以,2(x1+x2)2+x1x2+9(x1+x2)+9c2=0,所以

所以,4a6-17a4c2+22a2c4-9c6=0,方程兩邊同除以a6得,9e6-22e4+17e2-4=0,分解因式得,(9e2-4)(e2-1)2=0.因?yàn)?＜e＜1,所以

方法二由已知設(shè)F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).直線l的方程為:由已知因?yàn)辄c(diǎn)A,B在橢圓上,所以兩式相減得,化簡(jiǎn)得,結(jié)合x1+2x2=-3c.解得,代入直線l的方程為:所以又點(diǎn)A(x1,y1)在橢圓上,則有

化簡(jiǎn)得,4a6-17a4c2+22a2c4-9c6=0,方程兩邊同除以a6得,9e6-22e4+17e2-4=0,分解因式得,(9e2-4)(e2-1)2=0.因?yàn)?＜e＜1,所以

(2)略.

方法二:利用點(diǎn)在曲線上,后作差,把y1與y2的系數(shù)不對(duì)稱化為對(duì)稱,進(jìn)而代入曲線方程,解出即可.

例2已知橢圓的離心率長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)直線x=my+1與橢圓交于P,Q,直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S.試問(wèn):當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)S是否恒在一條直線上?若存在,請(qǐng)求出直線方程.

解(1)橢圓方程為:

(2)方法一:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),S(x,y).則直線直線聯(lián)立有,又因?yàn)閤1=my1+1,x2=my2+1.所以,y1(x+2)-4my1y2+(3x-6)y2=0.

方法二設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),S(x,y).則直線lA1P:直線于是,所以,方程兩邊平方得,

又因?yàn)镻,Q在橢圓上,所以,代入(*)則有,

當(dāng)m=0時(shí),當(dāng)時(shí),化簡(jiǎn)得,所以x=4.綜上,點(diǎn)S恒在直線x=4上.

方法二:利用點(diǎn)在曲線上,后平方,把x1與x2的系數(shù)不對(duì)稱化為對(duì)稱,進(jìn)而利用韋達(dá)定理,解出即可.

從以上分析不難看出,圓錐曲線對(duì)運(yùn)算能力的考察是分“層次”的,準(zhǔn)確、熟練是基本要求,計(jì)算的技能要快速.重點(diǎn)是“合理”,根據(jù)具體條件合理確定運(yùn)算途徑,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑.在圓錐曲線的解答題中,有些題目并沒(méi)有直接給出兩根之和或兩根之積,這樣就使得“設(shè)而不求”中應(yīng)用韋達(dá)定理造成了一定的困難.若按常規(guī)方法,一步一步按題的意思走,計(jì)算量偏大.通過(guò)以上的實(shí)例解答,筆者在這里提供了兩種思路,一是通過(guò)“配方”的形式,二是充分利用點(diǎn)在曲線上.化不對(duì)稱為對(duì)稱,進(jìn)一步使用韋達(dá)定理,減少計(jì)算量,從而提高計(jì)算速度與準(zhǔn)確性.