湖南省長沙市教育科學(xué)學(xué)院(410129) 唐亮

湖南省長沙市南雅中學(xué)(410129) 李波

湖南省長沙市明德天心中學(xué)(410129) 易山紅

核心素養(yǎng)是個(gè)體在解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題過程中表現(xiàn)出來的綜合性能力,它關(guān)注的是后天教育的結(jié)果,它有別于一個(gè)人潛在的能力.根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理,由一些已知量通過計(jì)算得出確定結(jié)果的過程,稱為運(yùn)算.不僅會(huì)根據(jù)法則、公式等正確的進(jìn)行運(yùn)算,而且理解運(yùn)算的算理,能根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑,稱為運(yùn)算能力.運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力,而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合.換言之,運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力,更是一種數(shù)學(xué)的思維能力.

當(dāng)代科學(xué)家波普爾說:“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素”.因此,糾正錯(cuò)誤,弄清楚錯(cuò)誤之處,回憶解決問題的結(jié)果和過程,找出錯(cuò)誤的根源,分析出錯(cuò)的原因,明確正確的解題思路和方法,這是培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性的重要途徑.

深入分析某錯(cuò)題誤解原因,如果是該錯(cuò)題所屬的知識點(diǎn)沒有掌握,則找出該知識點(diǎn)的所有習(xí)題;如果因?yàn)樵擃}型的解題方法沒掌握,則找出所有同類題型.錯(cuò)誤重復(fù)現(xiàn)象的主要原因是在糾正錯(cuò)誤后,沒有及時(shí)地補(bǔ)救性強(qiáng)化訓(xùn)練.通過同類題的練習(xí),以鞏固新的“認(rèn)知平衡”和“認(rèn)知框架”,達(dá)到徹底糾正錯(cuò)誤,減少錯(cuò)誤重復(fù)的現(xiàn)象.對于屢次出錯(cuò)的問題可嘗試讓學(xué)生按以下要求整理.

我們針對學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型加以分析研究,并給出了相應(yīng)的解題對策以及錯(cuò)題的相應(yīng)變式題.具體錯(cuò)誤類型可歸納如下:

1.概念模糊,缺乏抽象能力

沒有準(zhǔn)確掌握概念,或概念模糊,而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.概念是思維的細(xì)胞,是學(xué)生思維活動(dòng)的基礎(chǔ).要進(jìn)行計(jì)算,首先必須要弄清概念,概念掌握得正確與牢固是減少計(jì)算錯(cuò)誤的關(guān)鍵.但由于概念本身比較抽象、籠統(tǒng),中下段學(xué)生不易掌握.部分學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力即抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的能力還有待加強(qiáng).

例1下列運(yùn)算中,正確的是( )

A.7mn-n=7mB.6a+4b=10ab

C.3a3+2a3=5a6D.a2b-ba2=0

錯(cuò)解:C.

錯(cuò)因分析在給出的選項(xiàng)中,7mn和n,6a和4b都不是同類項(xiàng),所以不能合并;3a3和2a3是同類項(xiàng),但是結(jié)果中的字母指數(shù)發(fā)生了變化,結(jié)果應(yīng)為5a3;a2b和ba2都包含著字母a,b,且對應(yīng)的指數(shù)也都相等,所以應(yīng)選D.合并同類項(xiàng)的前提首先是幾個(gè)單項(xiàng)式必須是同類項(xiàng),其次是將同類項(xiàng)的系數(shù)相加作為結(jié)果的系數(shù),字母和字母的指數(shù)保持不變.若兩項(xiàng)不是同類項(xiàng),就不能進(jìn)行合并,應(yīng)保留原來形式.

正解:D.

變式題1下列式子中正確的是( )

A.5a+2b=7abB.7ab-7ba=0

C.4x2y-5xy2=-x2yD.3x2+5x3=8x5

對策:理解概念,掌握法則

掌握正確的概念和法則是正確計(jì)算的依據(jù).(1)從具體到抽象,講清概念、法則.學(xué)生只有知其所以然,才能杜絕此類錯(cuò)誤的產(chǎn)生.(2)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用法則、性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用法則進(jìn)行計(jì)算.如在學(xué)解一元一次方程和分式的加減時(shí),開始階段,要讓學(xué)生詳盡地講出思考和計(jì)算每一步過程的依據(jù).經(jīng)過一定時(shí)間的練習(xí)后,可要求學(xué)生計(jì)算時(shí)默想計(jì)算的每一步依據(jù)的法則或性質(zhì),邊想邊算.學(xué)生基本掌握法則或性質(zhì)后,可簡化中間的環(huán)節(jié)進(jìn)行計(jì)算.

2.法則或公式不清

在教整式乘法公式時(shí),我們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生常把(a-b)2錯(cuò)做成=a2-b2,把完全平方公式與平方差公式混為一談.常常是左邊是完全平方公式的左邊,而右邊是平方差公式的右邊,說明學(xué)生對這兩個(gè)公式?jīng)]有明確區(qū)別和掌握.因此法則或公式掌握得是否正確,直接影響計(jì)算的正確率.對數(shù)學(xué)的認(rèn)識信念:對數(shù)學(xué)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、價(jià)值的認(rèn)識傾向.

例2計(jì)算

錯(cuò)因分析①學(xué)生沒有理解完全平方公式的中間項(xiàng)“2ab”中2的意義,2y中的2表示首項(xiàng)的一部分,不是乘積的2倍.防止發(fā)生這樣錯(cuò)誤的關(guān)鍵是要將題目中項(xiàng)與公式中的項(xiàng)進(jìn)行對應(yīng),一定要找準(zhǔn)哪個(gè)代表字母a,哪個(gè)代表字母b.②學(xué)生常把(a-b)2錯(cuò)做成=a2-b2,把完全平方公式與平方差公式混為一談.常常是左邊是完全平方公式的左邊,而右邊是平方差公式的右邊,說明學(xué)生對這兩個(gè)公式?jīng)]有明確區(qū)別和掌握.

變式題2運(yùn)用乘法公式計(jì)算:

對策:了解學(xué)生的知識缺陷和學(xué)習(xí)中的困難,巧施釋疑排難.

平時(shí)數(shù)學(xué)教師要做一個(gè)有心人,不斷收集學(xué)生的錯(cuò)題,然后在教學(xué)中,對特別要容易混淆的基本概念和運(yùn)算法則、公式要努力教好,并在適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)階段把兩種容易混淆的概念、法則、公式加以對比教學(xué),使學(xué)生區(qū)別清楚,但不要一開始就比較,應(yīng)該等學(xué)生對兩種概念、公式都有了一定的理解后,再加以對比.

3.舊知缺乏,知識遷移能力欠缺

舊知識的積累儲存,不僅僅是為了滿足儲存信息,更重要的是能從這儲存中及時(shí)準(zhǔn)確地提取信息.在代數(shù)計(jì)算中,經(jīng)常需要舊知識的運(yùn)用(如整、小數(shù)的四則運(yùn)算;分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算;解方程的步驟依據(jù);分?jǐn)?shù)、分式的通分、約分;分小數(shù)的互化等)如果學(xué)生對舊知識儲存的錯(cuò)誤或缺乏舊知,就不能正確地提取儲存的信息,造成計(jì)算出現(xiàn)差錯(cuò).部分學(xué)生的合情推理能力即類比、歸納、直覺推理的能力有待提高.

例3解不等式:

錯(cuò)解:去分母,得:6x-(2x-5)＞7,去括號,得:6x-2x+5＞7,移項(xiàng),得:6x-2x＞7-5,合并同類項(xiàng),得:4x＞2,系數(shù)化為1,得:

錯(cuò)解分析去分母是解不等式時(shí)的常用步驟,其實(shí)質(zhì)就是通分的過程,注意每一項(xiàng)都要乘最小公倍數(shù),上面的解法中常數(shù)項(xiàng)忘記乘最小公倍數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò).

正解:去分母,得:6x-(2x-5)＞14,去括號,得:6x-2x+5＞14,移項(xiàng),得:6x-2x＞14-5,合并同類項(xiàng),得:4x＞9,系數(shù)化為1,得:

變式題3

對策:利用學(xué)生錯(cuò)誤,及時(shí)反饋訂正.

“錯(cuò)誤乃真理之母”,學(xué)生從錯(cuò)誤中頓悟比教師直接授以正確的解法印象深刻.數(shù)學(xué)教師要做好“用錯(cuò)引正”的工作,我采取的方法有:難點(diǎn)糾錯(cuò),正誤對比等.上課時(shí),有心讓解題錯(cuò)誤的學(xué)生上黑板板書,再讓下面的同學(xué)踴躍上來用紅色粉筆幫忙找錯(cuò)、改錯(cuò),做到不僅僅讓做錯(cuò)的學(xué)生知道錯(cuò)在哪,還讓其他學(xué)生引起足夠的重視.

4.“注意分配”和“無意錯(cuò)誤”產(chǎn)生的誤區(qū)

學(xué)生在計(jì)算時(shí),往往只感知符號本身而很少考慮事物間的聯(lián)系,因此對那些相近或相似的符號、數(shù)據(jù)因感知失真而發(fā)生錯(cuò)誤,這些錯(cuò)誤是指學(xué)生由于粗心大意,在不知不覺中產(chǎn)生的如看錯(cuò)題目、寫錯(cuò)數(shù)字、脫漏符號、把減法看成加法等錯(cuò)誤.數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品格即用數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度思考和處理問題的能力急需加強(qiáng).

例4計(jì)算:

錯(cuò)因分析解題時(shí),特別是計(jì)算題,符號問題是典型錯(cuò)誤,本題也不例外,本題的符號錯(cuò)誤主要是(-1)n與-1n的情況,兩個(gè)冪底數(shù)不同,(-1)n底數(shù)是-1,結(jié)果與n的奇偶性有關(guān),-1n的底數(shù)是1,結(jié)果與n無關(guān).

變式題4計(jì)算

對策:扎扎實(shí)實(shí)抓好計(jì)算基本功,對防止計(jì)算錯(cuò)誤有很大的作用.

我們老師可以在備課時(shí)精心準(zhǔn)備幾個(gè)容易錯(cuò)的計(jì)算題,在每節(jié)課的前5分鐘來個(gè)“數(shù)學(xué)操”;對于一些學(xué)困生,每天再可以準(zhǔn)備1-2題來隨時(shí)考查、反饋,及時(shí)鞏固已學(xué)知識,做到“堂堂清、天天清、周周清”.這是一個(gè)長期的過程,要持之以恒.

5.強(qiáng)成分因數(shù)的影響

在四則混合運(yùn)算中,教師較注意簡便運(yùn)算的教學(xué),因此學(xué)生往往受題目某些數(shù)據(jù)特點(diǎn)和某些符號等強(qiáng)成分因數(shù)的影響,產(chǎn)生心理錯(cuò)誤,從而引起計(jì)算錯(cuò)誤.如:學(xué)生受強(qiáng)成分因素的影響,想當(dāng)然:通過約分,計(jì)算結(jié)果為1.

例5計(jì)算

錯(cuò)因分析整式與分式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí),將整式看作分母為1的分?jǐn)?shù)形式進(jìn)行計(jì)算.上述錯(cuò)解由于弄錯(cuò)減去的整式是誰而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

6.固定思維的影響

例6求不等式的非負(fù)整數(shù)解.

錯(cuò)解:去分母,得3x+4-6≤14,移項(xiàng),得3x≤14-4+6,合并同類項(xiàng),得3x≤16,系數(shù)化為1,得

錯(cuò)因分析本題的錯(cuò)誤主要是審題不清,導(dǎo)致未看到求非負(fù)整數(shù)解,直接求出不等式的解就結(jié)束了.還有部分錯(cuò)誤是由于不理解非負(fù)整數(shù)的含義導(dǎo)致的.

正解:去分母,得3x+4-6≤14,移項(xiàng),得3x≤14-4+6,合并同類項(xiàng),得3x≤16,系數(shù)化為1,得所以,不等式的非負(fù)整數(shù)解為 0、1、2、3、4、5.

對策認(rèn)真批改作業(yè)是防止和糾正錯(cuò)誤的重要一環(huán).作業(yè)不僅是學(xué)生鞏固知識,提高能力的有效途徑,也被看成是課堂教學(xué)的一種延續(xù).這樣一來,它可以看作是師生交流互動(dòng)的又一方式.而課改強(qiáng)調(diào)對學(xué)生作業(yè)的批改不再只是簡單的甄別,更應(yīng)該突出作業(yè)批改的發(fā)展性功能.所以要求在給學(xué)生等第的同時(shí)給予有鼓勵(lì)、有意見的評語,讓學(xué)生體會(huì)關(guān)懷.使其認(rèn)識自我,促進(jìn)在原有水平上的提高.有時(shí)可根據(jù)錯(cuò)誤情況,在錯(cuò)題旁寫上帶有啟發(fā)性的提示:例如:“想想看,錯(cuò)在哪里?”“先復(fù)習(xí)課本第*頁,再把錯(cuò)誤訂正”、“先訂正錯(cuò)誤,再算下面幾題(根據(jù)錯(cuò)題再編題目)”等等.

7.學(xué)習(xí)習(xí)慣不良

良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是學(xué)生掌握知識、運(yùn)用知識的重要保證.在計(jì)算時(shí),學(xué)生都希望很快地算出結(jié)果.因此,當(dāng)遇到計(jì)算題目中數(shù)據(jù)較大,較為陌生,算式的外形顯得過繁時(shí),就會(huì)產(chǎn)生排斥心理,不能耐心審題,憑經(jīng)驗(yàn)思維草率完成,錯(cuò)誤率必定會(huì)升高.

對策:培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

分析一下學(xué)生計(jì)算中的錯(cuò)誤,就會(huì)發(fā)現(xiàn),不論學(xué)習(xí)成績較好的還是學(xué)習(xí)成績較差的學(xué)生,大量的錯(cuò)誤是由于不良學(xué)習(xí)習(xí)慣造成的,因此,具有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是提高計(jì)算能力的保證.

(1)規(guī)范書寫

要嚴(yán)格規(guī)范書寫要求,如數(shù)字和符號的書寫要正確、工整、清楚,行尾的數(shù)不要拆成兩瓣.甚至計(jì)算的草稿也要順次寫清楚,以便查核.

(2)認(rèn)真審題

(3)及時(shí)檢查

每算一步時(shí)回過頭自覺地檢查一下,看計(jì)算方法是否正確.計(jì)算好結(jié)果后看有沒有檢驗(yàn)正確與否的方法.老師要做到教會(huì)學(xué)生每一個(gè)計(jì)算題的檢驗(yàn)方法.

(4)有效訂正

計(jì)算錯(cuò)誤是在所難免的,當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),通常的方法是讓學(xué)生訂正(即再做一遍),有的學(xué)生甚至向其他同學(xué)照抄一遍.這樣的訂正即不能讓學(xué)生了解錯(cuò)誤的地方及原因,也不能杜絕此類錯(cuò)誤的再發(fā)生.因此,訂正時(shí)要讓學(xué)生做到“一圈、二找、三訂正”,“一圈”就是把錯(cuò)誤的地方圈出來,“二找”就是找出錯(cuò)誤的原因,“三訂正”就是訂正做錯(cuò)的題目.這樣才能使學(xué)生清晰地了解錯(cuò)誤之處及原因,盡量避免錯(cuò)誤的再次發(fā)生,使訂正具有實(shí)效.

從以上學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的原因分析中,我們可看到一些規(guī)律性的東西,了解這些規(guī)律的東西,對教師鉆研教材、備課有幫助,我們在備課時(shí),要抓住主要矛盾,重點(diǎn)講解,預(yù)先采取教學(xué)措施以防止和糾正學(xué)生發(fā)生這些錯(cuò)誤,這里有兩個(gè)問題:一個(gè)是防止錯(cuò)誤的發(fā)生,一個(gè)是錯(cuò)誤發(fā)生了怎樣去糾正它,這兩者是互相聯(lián)系的,兩者相比,要“防”重于“治”.

由上述可知:教師若能經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對做過的習(xí)題進(jìn)行反思、對比、歸納、提煉,學(xué)生的解題能力必將會(huì)提高.在平時(shí)的教學(xué)中我們可通過以下方面培養(yǎng)學(xué)生的反思品質(zhì).思規(guī)律:數(shù)學(xué)活動(dòng)后,引導(dǎo)學(xué)生反思,歸納和揭示活動(dòng)中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律.思體系:新知識形成后,引導(dǎo)學(xué)生比較新舊知識的聯(lián)系和區(qū)別,建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化,知識體系系統(tǒng)化.思因果:例題教學(xué)后,引導(dǎo)學(xué)生思考在解題過程中用了哪些知識點(diǎn),前后知識如何貫通,歸納其中用到的知識、解決問題的思路和方法、解題的基本步驟和書寫建議,形成正確的解題策略.思變通:鞏固練習(xí)后,對典型習(xí)題要適當(dāng)變化、引申、拓展,以拓寬思路,擴(kuò)大做習(xí)題的收獲.思多解:對用多種方法解決的問題,教師要引導(dǎo)學(xué)生分析比較各種方法的優(yōu)勢和特點(diǎn),總結(jié)解題方法,揭示解法的本質(zhì)、尋求最佳解法,使學(xué)生的發(fā)散思維得以收斂,張揚(yáng)的個(gè)性得以升華.提倡解題以后的數(shù)學(xué)思想方法的反思.養(yǎng)成反思習(xí)慣,特別從數(shù)學(xué)思想上進(jìn)行提煉和反思,這對提高數(shù)學(xué)能力有幫助.通過解題后改進(jìn)解題過程、探討知識聯(lián)系、知識整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng),讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔.錯(cuò)誤是極佳的學(xué)習(xí)契機(jī),教師既要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題過程中的錯(cuò)誤,讓學(xué)生提出不同解法并進(jìn)行比較,又要指出這種

錯(cuò)誤解題過程中的合理成分,使產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的學(xué)生在實(shí)事求是的激勵(lì)性下接受幫助.讓學(xué)生主動(dòng)參與找錯(cuò)、議錯(cuò)、評錯(cuò)、賞錯(cuò),對學(xué)生來講是一種可貴的成功體驗(yàn).有時(shí)課堂上的一些錯(cuò)誤反而會(huì)給課堂注入新的生命力.學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤是寶貴的教學(xué)資源,只有善待學(xué)生的錯(cuò)誤,給學(xué)生說理的機(jī)會(huì),才能充分挖掘錯(cuò)誤的根源,引領(lǐng)學(xué)生走向成功.這種教育的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于直接告訴學(xué)生一個(gè)正確的結(jié)論.