廣東省高州中學(xué)(525200) 李文聰 何忠賢

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思維、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任四個(gè)方面構(gòu)成且相互關(guān)聯(lián).較“三維目標(biāo)”有了進(jìn)一步的完善和提升.先進(jìn)理念的深入推廣的關(guān)鍵是落實(shí)和實(shí)踐,簡言之學(xué)科核心素養(yǎng)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該如何實(shí)踐是我們要解決的重要問題,也是本輪課改的重中之重.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,以“球”的教學(xué)為例,就“如何在課堂教學(xué)中踐行核心素養(yǎng)的教育”進(jìn)行反思與提煉,與同行交流分享.

教學(xué)過程(課堂實(shí)錄)

1.考試說明節(jié)選、考情分析、教學(xué)目標(biāo)展現(xiàn) (PPT展示)

2.考題重現(xiàn) (PPT展示)

(1)2011年全國卷.理.15

(2)2012年全國卷.理.11

(3)2013年全國新課標(biāo)1.理.6

(4)2015年全國新課標(biāo)1.理.11

(5)2015年全國新課標(biāo)2.理.9

(6)2016年全國新課標(biāo)1.理.6

教師:由此可見,該部分內(nèi)容是高考中的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題,?？汲Ｐ?本節(jié)課我們就一探究竟,看看如何爬上“球”這座山,山上有什么風(fēng)景.

3.探究發(fā)現(xiàn)

探究1人教A版P28練習(xí)2(回扣教材)

一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長是acm,求球的體積.

圖1

教師:解決球的體積問題的關(guān)鍵是什么?

學(xué)生1:球的半徑

教師:如何確定球的半徑?

學(xué)生2:球心O及球面上一點(diǎn)P的連線段PO.

教師:正方體的外接球的球心在什么位置?

學(xué)生3:正方體對(duì)角線的中點(diǎn)

教師:為什么球心在正方體對(duì)角線的中點(diǎn)?

學(xué)生4:正方體與球均是規(guī)則的對(duì)稱的空間幾何體,其中心(球心)重合.

教師:好!通過我們的探究,本題中球的體積是什么?

教師:很好!若將正方體改為長方體呢?請(qǐng)看探究2:

探究2長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別為3、4、5,若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則這個(gè)球的表面積是___.

圖2

學(xué)生5(搶先回答):與探究1相同處理,S球=4πR2=50π.教師:思路非常好!請(qǐng)?zhí)接懴旅娴奶骄?.

探究3一個(gè)四面體的所有棱長都為1,則其外接球的表面積為____.

圖3

教師:該幾何體有什么特點(diǎn)?

學(xué)生6:所有棱長相等,即為正四面體.

教師:能否利用一些已知模型來解決這個(gè)問題?

(話音剛落,學(xué)生進(jìn)入沉思之中,此時(shí)無聲勝有聲,班中個(gè)個(gè)奇思妙想,人人爭出絕招.)

學(xué)生7:老師,可以將該正四面體放回到一個(gè)正方體中.由探究1知該正方體有一個(gè)外接球,在該正方體中可以取到一個(gè)正四面體,正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也在這個(gè)球面上,該球也就是正四面體的外接球,易得

圖4

教師:很好,你很有想象力!請(qǐng)大家繼續(xù)探究:

探究4四面體ABCD中,則其外接球的表面積為____.

圖5

教師:該三棱錐與探究3中的三棱錐相比,有什么不同呢?

學(xué)生8:該三棱錐的最顯著特征是對(duì)棱相等,可以考慮將其放回到長方體中去考慮,從而將三棱錐外接球問題轉(zhuǎn)化成長方體外接球問題.可以利用探究3的方法、結(jié)論來幫助解決,S球=4πR2=14π.

圖6

教師:對(duì)!你很有創(chuàng)意!請(qǐng)看下面的探究:

探究5已知三棱錐P-ABC,PB⊥AB,PB⊥BC,BA⊥BC,且PB=2AB=2BC=2,則該三棱錐外接球的表面積為___.

圖7

學(xué)生思考:將三棱錐外接球問題轉(zhuǎn)化成長方體外接球問題.

(由于學(xué)生思路已打開,很多學(xué)生搶著回答S球=4πR2=6π.)

探究6請(qǐng)同學(xué)們將探究5中三棱錐的幾何條件改一改,看看能否得到一個(gè)新的問題?

圖8

(學(xué)生展開討論、思考,學(xué)生熱情高漲,躍躍欲試.)

學(xué)生9:老師,我有新發(fā)現(xiàn),原題可改為:如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥BC,且PA=2AB=2BC=2,則其外接球的體積為___.

教師:你是怎么想到的?說出來共同欣賞欣賞.

學(xué)生9:很簡單,探究5中的三棱錐的幾何特點(diǎn)是:底面是直角三角形,在底面直角處的側(cè)棱垂直底面(三者兩兩互相垂直).其實(shí)將該側(cè)棱平移到底面三角形形任意一頂點(diǎn)處都是一樣的.

教師:為什么都是一樣的?(老師故作驚訝)

學(xué)生(眾):不管怎么移動(dòng),都保持了這個(gè)三棱錐的幾何特征:底面是直角三角形,其中一條側(cè)棱垂直于底面,這樣的三棱錐始終是可以放回到長方體中去的.

教師:精辟!同學(xué)們總結(jié)的到位!

教師:請(qǐng)大家將探究3、4、5、6進(jìn)行總結(jié),我們可以通過補(bǔ)形來解決其外接球問題的三棱錐都包括了那些?

(此時(shí),課堂已經(jīng)異?；钴S.)

學(xué)生(眾):(1)正四面體;(2)對(duì)棱相等的三棱錐;(3)底面是直角三角形,其中一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐.上述三種類型的三棱錐都可以放回到長方體(正方體)中靈活解答.

教師:非常好!你們真了不起!

(此時(shí),學(xué)生們流露出一種大獲全勝的成功喜悅)

請(qǐng)繼續(xù)下面的探究:

探究7對(duì)于探究6中同學(xué)提出的問題我們能否不通過補(bǔ)形,而是直接確定球心的位置,從而求出半徑?

圖9

(面對(duì)探究7,學(xué)生思維卡殼.)

教師:我們能否將立幾問題(空間)聯(lián)想到平幾問題(平面)來處理?

(教師這一提點(diǎn),學(xué)生茅塞頓開,一會(huì)兒,學(xué)生舉手回答.)

學(xué)生10:回憶直線l與圓O相交,得到弦AB,取AB中點(diǎn)C,連結(jié)OC,則OC垂直AB,設(shè)OC=d,AB=2m,則R2=d2+m2,

圖10

類比直線和圓,如果用一個(gè)平面去截球O,得到的是一個(gè)圓面,取截面圓心O1,連結(jié)OO1,則OO1垂直截面圓,設(shè)OO1=d,圓O1的半徑為r,則R2=d2+r2.

圖11

教師:同學(xué)總結(jié)得很好!下面請(qǐng)同學(xué)們利用這個(gè)性質(zhì)來解決學(xué)生9提出的問題.

(學(xué)生沉思,人人爭出高招.)

學(xué)生11:因?yàn)椤鰽BC為直角三角形,所以球過△ABC的截面圓的圓心O1在AB的中點(diǎn),因?yàn)镻A⊥面ABC,所以面PAC⊥面ABC.在△PAC中,過O1作l垂直AC交PC于O,則OO1⊥面ABC,顯然O到P、A、B、C的距離相等,所以O(shè)為球心,所以

圖12

教師:同學(xué)們對(duì)以上過程有什么不同意見嗎?

(臺(tái)下同學(xué)竊竊私語,教師觀察細(xì)致.)

學(xué)生12:老師,我對(duì)上面的做法有一點(diǎn)疑問.O到P、A、B、C的距離相等是O為球心的必要條件而非充要條件,應(yīng)該改為:又因?yàn)镺為Rt△PBC的斜邊上的中點(diǎn),過O作直線l1垂直面PBC,則球心在直線l1上,l1與l的交點(diǎn)O為球心.

(同學(xué)們疑惑頓解,如釋重負(fù).)

教師:非常好!你的目光很敏銳!

教師:我們繼續(xù)下面的高考題,看誰有高見!請(qǐng)上黑板寫出來,讓大家欣賞欣賞.

1.(2012年全國卷理.11)(PPT展示題目)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2;則此棱錐的體積為( )

圖13

2.(2009年全國卷理.15)(PPT展示題目)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于____.

學(xué)生14:(黑板板書)如圖,O1,O2分別是△ABC,△A1B1C1的外心,由題意知球心O在O1O2的中點(diǎn),在△ABC中,由余弦定理得BC=在△AO1C中,由正弦定理得即O1C=2.

圖14

設(shè)球得半徑為R,在Rt△OO1C中,OO1=1,O1C=2,OC=R,又R2=1+4=5,所以球的表面積S=4πR2=20π.

教師:完全正確!你們有豐富的想象力!

(此時(shí)同學(xué)們臉上掛滿了笑容,品嘗到成功的快樂.)

課堂小結(jié):教師點(diǎn)撥,學(xué)生總結(jié)

課例點(diǎn)評(píng)適逢我校深入開展廣東省“十五”規(guī)劃課題《課堂觀察促進(jìn)教師成長的研究》(課題批號(hào)2017YQJK253)研究活動(dòng).課題組成員李文聰老師上了一節(jié)《簡單多面體外接球》示范課.筆者也有幸參加了觀課、議課,在課后的交流發(fā)言時(shí),筆者的題目是:

一節(jié)有數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)文化的高效課堂

1.有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)課堂

數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓,它是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略,是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)思想方法始終是一堂課的本質(zhì)內(nèi)容,是一堂數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)涵所在.如李老師在探究7中,利用化歸的數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)學(xué)生將空間問題類比平面問題,將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題解決,可謂山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村.又如李老師在探究1——6的教學(xué)過程中有效提問,面向全體學(xué)生,針對(duì)不同學(xué)生設(shè)計(jì)不同的問題,形成問題串,問在關(guān)鍵處,問在疑難處.經(jīng)過耐心的誘導(dǎo),促使學(xué)生積極思考,層層推進(jìn),逐步展開,讓課堂回歸本真,讓學(xué)生真學(xué),真思.學(xué)生主體地位切實(shí)落實(shí),教師的主導(dǎo)作用恰如其分,師生互動(dòng)、交流自然,和諧融洽.

2.有數(shù)學(xué)精神的有效課堂

可謂數(shù)學(xué)精神就是數(shù)學(xué)是科學(xué)的,講究求真求實(shí),嚴(yán)謹(jǐn)行事一絲不茍的認(rèn)真態(tài)度.教學(xué)中要將“求真、求實(shí)、誠實(shí)、守信”的教育浸潤其中,是數(shù)學(xué)育人的有效方式.如在探究7中,在學(xué)生11完成解答之后,李老師發(fā)現(xiàn)臺(tái)下學(xué)生竊竊私語,欲言又止,疑惑、不解現(xiàn)于色.有惑則解,李老師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生道出學(xué)生11解題的紕漏,培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的科學(xué)精神.又如李老師在探究7中,指出能否不通過補(bǔ)形而直接確定球心與半徑,引導(dǎo)學(xué)生回歸課本,用“通性通法”解題,并設(shè)置了兩道高考真題讓學(xué)生真練、真會(huì).再如李老師在教學(xué)過程的探究6中,引導(dǎo)學(xué)生自行提出問題,用數(shù)學(xué)態(tài)度和眼光分析解決問題,產(chǎn)生興趣,豐富想象,開啟心智,陶冶情操,從而獲得成功體驗(yàn).

3.有數(shù)學(xué)文化的高效課堂

這里“數(shù)學(xué)文化”泛指數(shù)學(xué)課中能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)“真、善、美”的教學(xué)行為與教學(xué)藝術(shù).讓學(xué)生在愉悅的環(huán)境下學(xué)習(xí)、理解、記憶所學(xué)知識(shí),是一種生動(dòng)活潑的教學(xué)形式.數(shù)學(xué)文化是銘記在人們頭腦中起永恒作用、數(shù)學(xué)作用的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷,對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中“真、善、美”的追求,是提高學(xué)生的思想境界和文化修養(yǎng),落實(shí)核心素養(yǎng)的一條有效途徑.如李老師在教學(xué)中以“真心、童心、耐心”的有效傾聽:傾聽學(xué)生的發(fā)問之音,傾聽學(xué)生的爭論之音,傾聽學(xué)生的答問之音,在教學(xué)中師生間心靈與心靈平等對(duì)話,是一種撥動(dòng)心扉的力量,是一種陶冶心靈的美,可以說是讓知識(shí)插上情感的翅膀,讓教學(xué)披上藝術(shù)的靈光,用情感去開啟每一葉心窗.讓學(xué)生放飛“想”,積極參與思維過程,讓學(xué)生盡情發(fā)揮,也是學(xué)生探索和創(chuàng)造的過程.有利于優(yōu)化思維品質(zhì),有效地培養(yǎng)了學(xué)生的開拓精神和探索精神,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力,切實(shí)踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué).

體會(huì)淺說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是簡單的知識(shí)或技能,它是以數(shù)學(xué)技能為基礎(chǔ),是整合了情感、態(tài)度或價(jià)值觀在內(nèi)的,能夠滿足特定現(xiàn)實(shí)需求的綜合性表現(xiàn).謹(jǐn)以“球”為路,且行且思,踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)正在路上創(chuàng)新前行.