邢 偉，高晉芳，顏七笙，周其華，楊志輝

(1.東華理工大學 理學院,江西 南昌 330013； 2.華東交通大學理工學院,江西 南昌 330013)

傳染病的傳播過程中會受到多種外界因素的影響,其中媒體報道的影響尤為重要,例如2009年爆發(fā)的H1N1流感病毒,當時國內感染該病毒的人數達到10.3萬,各大媒體紛紛對該病毒進行報道,公布感染者數量、死亡病例數量、疾病癥狀等如此一來,人們會選擇通過戴口罩,減少戶外活動等措施降低被感染的概率，相反,如果沒有媒體的報道,人們可能會缺乏對該流感病毒清晰的認識,不能夠采取及時的防護措施而被感染,甚至錯失治療的最佳時間，導致不能挽回的結果，所以媒體的報道會極大地影響傳染病的傳播規(guī)律。

1 模型的建立

考慮如下模型:

(1)

其中:S(t)代表t時刻的易感者數量,E(t)為t時刻的潛伏者數量,I(t)為t時刻的染病者數量,M(t)為媒體報道信息量,A為人口的輸入常數,ε為由潛伏到患病的轉換率,βf(S)I為傳染率,d為自然死亡率,α為因病死亡率,γ為染病者到易感者的恢復系數,μ為信息的貫徹率,μ0為媒體報道無效的耗散率,k為信息有效傳播率,假設f(0)=0,f′(S)>0,f″(S)<0,μ0>μ。

2 平衡點的存在性

令

(2)

由式(2)第3個等式，得

(3)

由第4個等式得

(4)

將式(3),(4)代入式(2)第2個方程得

將其代入式(2)第1個方程可得

令

因為

(5)

3 穩(wěn)定性分析

定理2當R>1時,若下列條件滿足

2)k<

則系統(tǒng)(1)的唯一地方疾病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的。

(6)

系統(tǒng)(6)在疾病平衡點P*的Jacobi矩陣為

J=

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0,

其中

A1=q+μ0+acI*+p>0,

A2=qμ0+(acI*+p)(q+μ0)+

ε(acI*-bc)=qμ0+p(q+μ0)+

(q+μ0)acI*+εacI*-εbc=

qμ0+p(q+μ0)+

A3=(acI*+p)qμ0+

(acI*+p)qμ0+εμ0(acI*-bc)-εμβbI*≥

(acI*+p)qμ0+εμ(acI*-bc)-εμβbI*=

A1A2-A3=(q+μ0+acI*+p)[qμ0+

(acI*+p)(q+μ0)+ε(acI*-bc)]-

(acI*+p)qμ0-

因此由Hurwitz判據可知,系統(tǒng)(6)地方疾病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的。

定理3當R>1時,模型(1)的地方疾病平衡點P*是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據文獻[14]中性質3.3,當R>1時易知系統(tǒng)(6)是一致持續(xù)的,因此在D內存在一個緊吸引子集K。

由上述分析可知，文獻[15]中定理3.3.7的假設(H1)和(H2)成立,關鍵證l<0,系統(tǒng)(6)在地方疾病平衡點P*的Jacobi矩陣為

J=

J[2]=

矩陣B=PfP-1+PJ[2]P-1可寫成分塊矩陣

其中

B11=-acI*-p-q,

B22=

令(u,v,w)∈R3,其范數‖·‖定義為

‖(u,v,w)‖=max{|u|,|v|+|w|},

相應于范數‖·‖的Lozinski測度是μ(B),μ(B)≤sup{g1,g2},其中

g1=μ1(B11)+|B12|,g2=μ1(B22)+|B21|。

|B12|,|B21|是相應于l1向量范數的矩陣范數,μ1是相應l1范數的Lozinski測度,

μ1(B11)=-acI-p-q,

下面計算μ1(B22),把B22的每一列的非對角元素取絕對值,然后加到對角元素得

由模型(1)，得

將其代入g1,g2，得

利用μ(B)≤sup{g1,g2},對所有滿足初值的(E(0),I(0),M(0))∈K,對t>t*,從而

4 結 論