張必勝

(貴州師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550025)

一提到“微分”和“積分”,多數(shù)人都知道是數(shù)學(xué)中重要的概念和內(nèi)容,是大學(xué)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課內(nèi)容,甚至“微積分”的基本概念和基本公式在高中就已經(jīng)接觸到了。顯然,“微積分”理論中包括兩個(gè)部分,一是“微分”理論,二是“積分”理論。就“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)的出現(xiàn),則可以追溯到中國(guó)古代。在中國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)注》中就出現(xiàn)了“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)。然而,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)分別表示了無(wú)限分割和無(wú)窮求和的意思。作為微積分理論中函數(shù)的無(wú)窮小運(yùn)算的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)則是由清末數(shù)學(xué)家李善蘭(1811—1882)在1859年和傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie,1815—1887)合譯《代微積拾級(jí)》(以下簡(jiǎn)稱《拾級(jí)》)中首次給出的,并且“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)一直沿用至今[1]。“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中早已出現(xiàn),而作為分析理論中的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)則是在清末譯著《拾級(jí)》中出現(xiàn),雖然這兩者同名,但是它們之間有著什么樣的相互聯(lián)系,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“微分”和“積分”概念與分析學(xué)中的“微分”和“積分”概念內(nèi)涵與外延的異同,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)和分析學(xué)中的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)有怎么樣的歷史淵源,下面即通過(guò)歷史文獻(xiàn)的分析對(duì)這些問(wèn)題試作研究。

1 微積分理論的中西發(fā)展簡(jiǎn)史

微積分思想在古代西方很早就已經(jīng)萌芽了,公元前7世紀(jì),測(cè)量學(xué)的鼻祖,數(shù)學(xué)家泰勒斯(Thales, 624 B.C.—546 B.C.)對(duì)于幾何圖形的面積和體積,以及曲線長(zhǎng)度等問(wèn)題的研究就已經(jīng)出現(xiàn)了樸素的微積分思想。到了公元前3世紀(jì),數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes, 287 B.C.—212 B.C.)利用窮竭法計(jì)算拋物線弓形、圓和橢圓等復(fù)雜幾何圖形的面積,計(jì)算出球和橢球等幾何體的體積,并且還得出了計(jì)算的一般性公式。而在中國(guó)傳統(tǒng)科學(xué)中,同樣很早就有了微積分思想的雛形,魏晉時(shí)期的杰出數(shù)學(xué)家劉徽(225—295)發(fā)明了著名的“割圓術(shù)”,他用無(wú)窮逼近的極限方法計(jì)算出了圓周長(zhǎng)和面積等數(shù)學(xué)問(wèn)題。南朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之(429—500)、祖暅(不詳)父子發(fā)展了劉徽的無(wú)限分割與求和的極限理論,得到了求解立體體積的高水平研究成果“祖暅原理”?？v觀古代中西方的微積分思想都是一直有著極限的思想,這就是無(wú)窮分割與無(wú)限求和的方法[2]。17世紀(jì),西方數(shù)學(xué)致力于解決物體運(yùn)動(dòng)的速率、函數(shù)的極值、函數(shù)曲線的切線、曲線圍成的面積等實(shí)際問(wèn)題,特別是描述運(yùn)動(dòng)和變化的一種關(guān)于無(wú)限小的算法取得了極大的發(fā)展。其中，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(René Descartes, 1596—1650)的代數(shù)方法對(duì)于微積分的產(chǎn)生起了極大的推動(dòng)作用,數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat,1601—1665)在求曲線的切線及函數(shù)的極值方面貢獻(xiàn)推動(dòng)了微積分理論誕生的進(jìn)程。17世紀(jì)下半葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家牛頓(Isaac Newton, 1642—1727)發(fā)明正流數(shù)術(shù),即微分,次年他又發(fā)明反流數(shù)術(shù)。在微分和積分的基礎(chǔ)上,又將流數(shù)術(shù)總結(jié)一起,最終寫出了《流數(shù)簡(jiǎn)論》,這一著作標(biāo)志著微積分理論作為一門學(xué)科正式誕生。就在同一時(shí)期,德國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716)也獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分理論,他在1684年發(fā)表的一篇名為《一種求極值和求切線的新方法》的學(xué)術(shù)論文中,定義了微分概念,這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。其實(shí)在牛頓和萊布尼茨之前,有很多數(shù)學(xué)家都已經(jīng)隱約發(fā)現(xiàn)分割和求和之間的相互關(guān)系,即微分和積分之間的內(nèi)在關(guān)系。然而最終都沒(méi)有找到這種相互關(guān)系,牛頓和萊布尼茨找到了這種相互關(guān)系,并且給出了著名的牛頓-萊布尼茨公式,將微分與積分互逆運(yùn)算聯(lián)系在一起,這一關(guān)系的揭示在數(shù)學(xué)上是非常重要的。需要特別說(shuō)明的是,牛頓和萊布尼茨在微積分方面的貢獻(xiàn)旗鼓相當(dāng)。二人創(chuàng)立了微積分理論,后來(lái)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格化,柯西(Cauchy,1789—1857)、魏爾斯特拉斯(Weierstrass,1815—1897)等數(shù)學(xué)家的工作,微積分才真正的完善起來(lái)。當(dāng)然,微積分理論發(fā)展史上不僅只是上述所提及的數(shù)學(xué)家,還有諸多的數(shù)學(xué)家為微積分發(fā)展做出了貢獻(xiàn)，如牛頓的老師巴羅(Isaac Barrow,1630—1677),在級(jí)數(shù)理論方面有所貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家麥克勞林(Colin Aclaurin,1698—1746)和泰勒(Brook Taylor,1685—1731),還有繼續(xù)發(fā)展微積分理論的,如歐拉(Leonhard Euler,1707—1783)的經(jīng)典著作《無(wú)窮小分析引論》(1748)、《微分學(xué)原理》(1755)、《積分學(xué)原理》(1768—1770);拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)的經(jīng)典著作《解析函數(shù)論》等都是早期關(guān)于微積分理論的經(jīng)典著作。

我國(guó)早在春秋時(shí)期就有了極限思想的萌芽,到了兩漢時(shí)期極限思想有所發(fā)展。特別是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一些關(guān)于極限的思想,已經(jīng)可以求解一些復(fù)雜的求和問(wèn)題。后來(lái)劉徽在其《九章算術(shù)注》中給出了更為合理的解釋。雖然,《九章算術(shù)注》里面大量采用了“微分”和“積分”這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)，但此時(shí)的“微分”和“積分”概念還不是對(duì)應(yīng)西方分析學(xué)理論中的“differential”和“integral”二概念?！毒耪滤阈g(shù)注》是數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的注釋?！毒耪滤阈g(shù)注》這一經(jīng)典著作中所蘊(yùn)涵的分割與求和的極限思想是很深邃的。劉徽是在這個(gè)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中探尋和集合各數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀思想方法,同時(shí)并加以創(chuàng)新,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于實(shí)踐研究。通過(guò)這一做法,這就使得數(shù)學(xué)在其思想和方法上發(fā)生了變化,特別是其中提出的面積和體積理論?！皠⒒赵怼敝械拿娣e和體積計(jì)算理論就出現(xiàn)了微分和積分思想的雛形。分析學(xué)意義下的“微分”和“積分”概念,即對(duì)應(yīng)西方分析理論中的“differential”和“integral”則是出現(xiàn)在19世紀(jì)中葉,中國(guó)數(shù)學(xué)家李善蘭在微積分方面有了很重要的結(jié)果,他在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)一系列成果的基礎(chǔ)上完成了著作《方圓闡幽》,其中給出無(wú)限分割與求和的極限思想,同時(shí)還零星地給出了幾個(gè)微積分公式,遺憾的是沒(méi)有給出微積分基本公式。但這也是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在微積分領(lǐng)域的最高成就了,其理論性最接近牛頓和萊布尼茨的微積分理論。1859年,李善蘭和偉烈亞力通過(guò)“口述——筆譯”的方式共同翻譯了《拾級(jí)》,這標(biāo)準(zhǔn)著西方微積分理論正式傳入我國(guó),并一直影響著我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

2 “微分”一詞的歷史記錄

“微分”一詞在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中很早就有了描述,在《九章算術(shù)注》中就有了這一術(shù)語(yǔ)。而中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展到了清末,李善蘭在其著作《方圓闡幽》中給出了幾個(gè)微積分公式,明確地給出了“微分”這一概念,并且對(duì)“微分”進(jìn)行了深入的解釋。1859年李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級(jí)》時(shí),用“微分”翻譯了底本中的“differential”一詞。從此,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“微分”一詞,衍生為近代西方分析學(xué)中的“微分”一詞。

2.1 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“微分”一詞

中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中很早就有了“無(wú)限”、“無(wú)形”、“無(wú)窮”、“微”、“細(xì)”、“ 少”、“分”、“窮”、“分割”等概念,表達(dá)的是較小、很小、變小等意思。時(shí)間較早的著作中,如《淮南子》、《莊子》中就已經(jīng)有了這些思想的萌芽?！肚f子·秋水》中所提出的“至精無(wú)形”和“夫精粗者,期于有形者也;而無(wú)形者,數(shù)之所不能分也;不可圍者,數(shù)之所不能窮也?！盵2]《淮南子·要略》中所記錄的“至微之論之無(wú)形也?！t無(wú)形”[2]等這一系列早期記錄中的“形”、“無(wú)形”、“分”、“圍”、“數(shù)”、“窮”、“微”等概念都是表達(dá)同樣的無(wú)窮分割的思想,并且這些概念都說(shuō)明了無(wú)限分割求和的極限思想與劉徽的割圓術(shù)在思想上是完全相同的。劉徽主張的“割之彌細(xì),所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失也。”[3]劉徽的這種思想特別重要的地方就是其強(qiáng)調(diào)的是一種無(wú)窮的分割下去,分割為無(wú)窮多無(wú)窮小,再疊加,最后求和。這種思想是無(wú)窮小分割和求和思想的集大成者。

2.2 李善蘭著作中的“微分”一詞

李善蘭在分割與求和的極限理論方面的工作主要體現(xiàn)在其傳統(tǒng)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《方圓闡幽》之中,該著作是李善蘭在1845年完成的,是在李善蘭翻譯出版西方微積分理論之前十年完成的著作。該著作主要的數(shù)學(xué)思想是分割和求和,特別是著作中給出的獨(dú)創(chuàng)“尖錐術(shù)”是李善蘭創(chuàng)造出來(lái)的一種求解幾何體面積或體積的一般性算法,同時(shí),通過(guò)這種方法可以得到更多的應(yīng)用和結(jié)論,比如可以進(jìn)一步用來(lái)解決對(duì)數(shù)計(jì)算,可以解決計(jì)算中的一些問(wèn)題,還可以解決級(jí)數(shù)展開等問(wèn)題。這種方法,李善蘭稱之為“尖錐求積術(shù)”,現(xiàn)簡(jiǎn)稱為“尖錐術(shù)”,這是一種分割求和的極限算法[4]。

李善蘭在其著作《方圓闡幽》里面列出了十個(gè)基礎(chǔ)性的“當(dāng)知”,每個(gè)“當(dāng)知”就是給出一個(gè)原則或者法則。特別是在第一個(gè)當(dāng)知給出了這樣的描述“今試以墨作一點(diǎn)于紙上,細(xì)如微塵此形之至校者也,然非。”[4]這一解釋非常形象和具體,一滴墨是固定的,讓其放在一張紙上,展開的面積越寬,就分得越細(xì),這個(gè)“細(xì)”字就是微分的意思。同時(shí),李善蘭認(rèn)為“體面線點(diǎn)”這些元素之間有著相互的聯(lián)系,這些元素都是有實(shí)體的,只是在其形狀大小上有所不同,并且還指出“點(diǎn)者體之小兒微者也,線者體之長(zhǎng)而細(xì)者也,面者體之闊而薄者也。”[4]指出了它們之間可以相互轉(zhuǎn)變,但是其原來(lái)的長(zhǎng)度、面積、體積的值是不變的,這種元素就是單位微元,即就是微積分中的微分微元。

2.3 譯著《拾級(jí)》中的“微分”一詞

李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級(jí)》時(shí)，二人選用的翻譯底本是美國(guó)著名數(shù)學(xué)家E·羅密士(Elias Loomis，1811—1889)在1851至1852年期間出版的微積分理論方面的經(jīng)典教材名為Elementsofanalyticalgeometryanddifferentialandintegralcalculus《解析幾何與微積分基礎(chǔ)》[5]。由于當(dāng)時(shí)所處的時(shí)代背景,李善蘭之前沒(méi)有接觸過(guò)西方分析學(xué)理論,這次接觸底本也是他初次見識(shí)西方系統(tǒng)的分析學(xué)理論。在共同翻譯的過(guò)程中,李善蘭把底本中原來(lái)的術(shù)語(yǔ)“analytical geometry”翻譯成為“代”,即在譯著中李善蘭指出的“代數(shù)幾何”。這里的“代數(shù)幾何”即“解析幾何”,是由笛卡爾、費(fèi)馬等數(shù)學(xué)家創(chuàng)立并發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分支。它是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的一門幾何學(xué)分支。解析幾何的誕生,特別是將變量引入數(shù)學(xué)研究,這就是數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。把“differential and integral calculus”翻譯成“微積”,二者合在一起即為“微積分”[6]。李善蘭考慮到全書的難易程度,以及學(xué)者學(xué)習(xí)起來(lái)很困難,故而把譯者取名為《代微積拾級(jí)》,其中的“拾級(jí)”,即為“拾級(jí)而上”的意思,“拾級(jí)”一詞形象地說(shuō)明了其內(nèi)容逐漸加難。二人在翻譯時(shí),很正確地表述了“微分”這譯概念。李善蘭在譯著的自序中指出“凡線、面、體皆設(shè)為由小漸大,一剎那中所增之積,即微分也?！史e分逐層分之為無(wú)數(shù)微分,合無(wú)數(shù)微分仍為積分?！盵7]同時(shí),偉烈亞力也在《拾級(jí)》中給的另一個(gè)序言中認(rèn)為“微分不過(guò)求變幾何最小變率之較耳?！盵7]李善蘭翻譯數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的時(shí)候,非常重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化,盡量在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想中去找尋對(duì)應(yīng)的術(shù)語(yǔ)并將其改造和擴(kuò)展[8]。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中“細(xì)”、“微”、“微小”、“窮”、“微分”、“微數(shù)”等都是微小的數(shù)值,很小的數(shù),是微小的奇零部分,即就是微小的分?jǐn)?shù),它與近代西方分析學(xué)中的“微分”所表達(dá)的自變量的無(wú)窮小變化量是不相同的。但是,究其思想和本質(zhì)卻有相近之處。劉徽所說(shuō)的“微則無(wú)形”,就是無(wú)窮小變化量,并且與分析學(xué)中的“微分”一詞意義更為接近。李善蘭在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展了這些概念的含義,他在著作《方圓闡幽》給出了無(wú)窮小疊加中的微小、微元等,說(shuō)明李善蘭完全理解了微分的本質(zhì),結(jié)合傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)含義和自己對(duì)微分理論的理解，采用了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論中的“微分”一詞,賦予其新的含義。同時(shí),通過(guò)賦予新的含義后,李善蘭使用的“微分”與近代西方微積分學(xué)中的“differential”在本質(zhì)上是一致的。

3 “積分”一詞的歷史記錄

“積分”一詞在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中很早就有了描述,在《算數(shù)書》、《九章算術(shù)》和《九章算術(shù)注》等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作中就有“積分”或與其意義相近的含有“積”字術(shù)語(yǔ)的大量描述。同樣,中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展到了清末,李善蘭在其著作《方圓闡幽》中創(chuàng)造了一種“尖錐術(shù)”，且給出了幾個(gè)微積分公式,明確地給出了“積分”這一概念,并且對(duì)“積分”進(jìn)行了深入的解釋。1859年李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級(jí)》時(shí),用“積分”翻譯了底本中的“integral” 一詞。從此,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“積分”一詞,衍生為近代西方分析學(xué)中的“積分”一詞。

3.1 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“積分”一詞

“積分”一詞出現(xiàn)在中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中比“微分”一詞較多,《九章算術(shù)注》中用到“積分”的地方比“微分”要多。主要是從分?jǐn)?shù)運(yùn)算、長(zhǎng)度、面積和體積的求解等幾個(gè)方面來(lái)分析?！端銛?shù)書》、《九章算術(shù)》等經(jīng)典傳統(tǒng)數(shù)學(xué)典籍中都有“少?gòu)V術(shù)”。其中在《算數(shù)書》、《九章算術(shù)》中的“少?gòu)V術(shù)”都一致使用了“積分”這一術(shù)語(yǔ)。在《算數(shù)書》中有這樣的表述“先直廣,……下有若干步,……積分以盡所救分同之以為法,……以為積步,除積步如法得從一步。……以法命其分。”[3]而在《九章算術(shù)》中的描述為“置全步及分母子,……并之為法。置所求步數(shù),以全步積分乘之為實(shí)?！盵3]這里的“積分”就是所有的分之積。在《九章算術(shù)注》的商功章李也有這樣的描述“假令以三除周,……通分內(nèi)子,即為徑之積分。……令自乘,以高乘之,為三方錐之積分?！盵3]然而,這里的兩個(gè)“積分”其表示的意義卻是不同的,其中,第一個(gè)“積分”的意義與《九章算術(shù)》的“積分”意思相同,都是表示長(zhǎng)度的分之積。即微元之求和的運(yùn)算,并且得到一個(gè)值。第二個(gè)“積分”則是關(guān)于體積的求和運(yùn)算及其獲得的數(shù)值。雖然在《九章算術(shù)》開方術(shù)中沒(méi)有使用“積分”這一術(shù)語(yǔ),但是劉徽在對(duì)其進(jìn)行注釋的過(guò)程中大量用到“積分”這一術(shù)語(yǔ),如有“術(shù)或有以借算加定法而命分者,……凡開積為方,方之自乘當(dāng)還復(fù)其積分。令不加借算而命分,……則又微多。”[3]《九章算術(shù)注》中還有“……令二出門相乘,故為半方邑自乘,居一隅之積分。……即得四隅之積分。”[3]可以看出這里的“積分”也是面積分?jǐn)?shù)的積累。雖然《九章算術(shù)》中沒(méi)有出現(xiàn)“積分”這一術(shù)語(yǔ),但是,其中大量出現(xiàn)了諸如“積”、“積步”、“積里”和“積尺”等概念。如果要深刻地理解《九章算術(shù)注》中“積分”的內(nèi)涵,那么可以進(jìn)一步分析與“積分”同類的“積”、“積步”、“積里”和“積尺”等概念。在《九章算術(shù)》原始文獻(xiàn)中“積步”也多次出現(xiàn),其中有一系列的表述“廣從步數(shù)相乘得積步?！胫馨霃较喑说梅e步?！詮匠酥?為積步?！富コ俗?通全步,內(nèi)分子。……徑亦通分內(nèi)子,以乘周為密實(shí)?！疄榉e步,余,積步之分?！盵3]劉徽在注釋時(shí)指出“按半廣乘從,以取中平之?dāng)?shù),故廣從相乘為積步?！霃綖閺V,故廣從相乘為積步也?！富コ俗诱?為中、外周俱有分,故以互乘齊其子。……故令周、徑分母相乘而連除之,即得積步?！盵3]劉徽在少?gòu)V術(shù)的注釋中認(rèn)為“一畝積步為實(shí)”。在《九章算術(shù)》中,還使用了“積里”這一概念。方田章有“廣從里數(shù)相乘得積里”。 劉徽《九章算術(shù)注》又指出“此術(shù)廣從里數(shù)相乘得積里。”該“積里”概念就是平方里的積累。與積步類似,都是面積問(wèn)題中的。在《九章算術(shù)》計(jì)算體積問(wèn)題中沒(méi)有使用“積分”,而在《九章算術(shù)注》商功章關(guān)于體積問(wèn)題中卻使用了術(shù)語(yǔ)“積分”?！凹倭钊s上下周,俱不盡,還通之,……又各自乘,并,以高乘之,為三方亭之積分?！盵3]《九章算術(shù)》及劉徽的《九章算術(shù)注》中出現(xiàn)了“積尺’一詞還多,比如還有“……置積尺數(shù)。并上下廣而半之,……又以裹乘之,即積尺?！昧?shí)之積,故為積尺。……以積尺為實(shí),程功尺數(shù)為法?！テ湮宸种?余為法。以溝積尺為實(shí)。……以塹積尺為實(shí)。實(shí)如法而一,即用徒人數(shù)?！∑涠ü?乃通分內(nèi)子以為法。以分母乘積尺為實(shí)者。……以分母乘溝積尺實(shí)者,法里有分,實(shí)里通之,……此以一人之積尺除其眾尺,故用徒人數(shù)不盡者,等數(shù)約之而命分也。……故三而一,得積尺。”[3]等關(guān)于“積尺”這一概念的一系列表述。數(shù)學(xué)史專家郭書春先生曾對(duì)中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“積”、“積步”、“積尺”、“積里”、“積分”等名詞進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作中的“積”、“積尺”、“積步”、“積分”等表示的是尺或立方尺的積累,是平方步的積累,具有更小的分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)的積累,這與近代西方微積分學(xué)中的“積分”也有所不同,但,都表示了一種積累,就是一種求和的方法運(yùn)算,故在數(shù)學(xué)思想上也是一致的。

3.2 李善蘭著作中的“積分”一詞

在繼承中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,李善蘭在無(wú)限求和方面進(jìn)一步做出了深入的研究,并且獲得了一系列成果。李善蘭在繼承前人的基礎(chǔ)上于1845年撰寫出經(jīng)典著作《方圓闡幽》,該著作深入地研究了無(wú)限分割與求和的理論。在這著作中,他認(rèn)為一個(gè)平面所圍成的面積是由無(wú)數(shù)的線段疊加而得到,體積是由無(wú)數(shù)的平面疊加而得到。其核心思想的描述為“盈尺之書由迭紙而得,盈丈之絹由積絲而成”。這中間的“積”字,就是積累的意思,就是求和運(yùn)算。李善蘭認(rèn)為,“點(diǎn)線面體”這四者都是有形的和具體的，只是其形狀大小不同而已。李善蘭在該著作中主要?jiǎng)?chuàng)立了一種分割求和的極限方法，名為“尖錐術(shù)”,并且通過(guò)尖錐術(shù)得到了冪函數(shù)積分公式。他提出的無(wú)窮疊加理論,又把極限思想與其結(jié)合起來(lái),得到求積分,這與西方微積分早期時(shí)候的做法是相同的。在李善蘭在《方圓闡幽》中得出幾個(gè)積分公式,如冪函數(shù)的積分公式:

同時(shí),李善蘭還給出了逐項(xiàng)積分公式:

李善蘭的《方圓闡幽》中的十個(gè)“當(dāng)知”實(shí)際上是給極限一個(gè)全面的定義,通過(guò)這個(gè)定義獲得了一些微積分結(jié)論。

3.3 譯著《拾級(jí)》中的“積分”一詞

李善蘭在和偉烈亞力在翻譯時(shí),正確地表述了“積分”這一概念。李善蘭在譯著自序中指出，“凡線、面、體皆設(shè)為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也。故積分逐層分之為無(wú)數(shù)微分,合無(wú)數(shù)微分仍為積分?！盵7]同時(shí),偉烈亞力在序言中認(rèn)為，“微分不過(guò)求變幾何最小變率之較耳,積分者,合無(wú)數(shù)微分全之積也?！盵7]二人不僅說(shuō)出了積分是求和的概念,還說(shuō)明了“積分”和“微分”之間的關(guān)系。即積分可以無(wú)窮分割成為無(wú)窮多的無(wú)窮小,這些無(wú)窮多的無(wú)窮小就是微分,而無(wú)窮多無(wú)窮分割的無(wú)窮小之和就是積分，即就是偉烈亞力指出的“積分者,合無(wú)數(shù)微分全之積也。”[7]分析學(xué)理論中,積分的最基本思想就是無(wú)窮的求和運(yùn)算,將需要所求量無(wú)窮多地分割下去,通過(guò)建立數(shù)學(xué)關(guān)系式,再把這些所謂的“小部分”合起來(lái),最后求和運(yùn)算。實(shí)際上,integral在英語(yǔ)中就含有“整個(gè)”的意思,那么無(wú)窮多的“小部分”,再求和運(yùn)算,得到的就是一個(gè)“整個(gè)”。李善蘭不僅是對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“求和”理論非常熟悉,同時(shí),他還繼承和發(fā)展了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的這個(gè)“小部分”,所以他選用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)“微分”一詞翻譯“integral”?？梢?李善蘭也是賦予了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中“積分”一詞新的含義。同時(shí),通過(guò)賦予新的含義后,李善蘭使用的“積分”與微積分學(xué)中的“integral”在本質(zhì)上是一致的。

4 “微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)的影響

李善蘭把譯名應(yīng)用到了微積分理論的運(yùn)算和表述中,這能看出李善蘭對(duì)微積分的徹底理解,只有在這種深入理解和研究的基礎(chǔ)上,才能做出這種表示方法。這些表述方法都非常形象和生動(dòng)地表達(dá)其本意,也利于時(shí)人理解微積分理論。李善蘭的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)隨著《拾級(jí)》傳到了日本,對(duì)日本的微積分理論有著一定的影響[12]。李善蘭的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)在李善蘭之后的清末微積分著作中,一直被采用，并延續(xù)使用至今。可以說(shuō),“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)是李善蘭翻譯西方科學(xué)著作中非常有科學(xué)性和文化氛圍的兩個(gè)名詞術(shù)語(yǔ),他與李善蘭自身在微積分理論方面的貢獻(xiàn)密不可分[13]。從翻譯史的角度來(lái)看,這是李善蘭創(chuàng)譯近代西方科學(xué)名詞術(shù)語(yǔ)的代表性成果。

5 李善蘭翻譯術(shù)語(yǔ)的貢獻(xiàn)

李善蘭的翻譯活動(dòng)正處于西方科學(xué)傳入我國(guó)的高潮時(shí)期,而他又是這個(gè)高潮時(shí)期的集大成者[14]。正如當(dāng)代翻譯學(xué)專家許鈞指出，如果要進(jìn)行一項(xiàng)翻譯活動(dòng),其中一定離不開與翻譯活動(dòng)相關(guān)的三個(gè)要素：第一是翻譯的客體,即被翻譯的對(duì)象和載體;第二是翻譯的主體,即從事翻譯活動(dòng)的人;第三是作用于主體和客體之間的翻譯工具。其中特別需要指出的是，唯一能作用于翻譯客體和翻譯主體之間的就是人的思維,人的思維在翻譯活動(dòng)中有著重要的作用,這就是說(shuō)翻譯的主體通過(guò)借助于人的思維作用于翻譯客體從而來(lái)進(jìn)行翻譯活動(dòng)的[15]?？梢娎钌铺m的翻譯無(wú)疑是思維的活動(dòng),而且這種思想更多的是科學(xué)思維。李善蘭在數(shù)學(xué)理論上有著較高的科學(xué)思維,正是因?yàn)檫@種高層次的思維促進(jìn)了他的翻譯活動(dòng)。這也使得李善蘭的翻譯活動(dòng)不再停留在語(yǔ)義層次上,而變成一種學(xué)術(shù)活動(dòng)。這就符合了翻譯的規(guī)律,即人的思維活動(dòng)是整個(gè)翻譯活動(dòng)的最為基礎(chǔ)的層次,而對(duì)于語(yǔ)義層次則是整個(gè)翻譯活動(dòng)的必要層次,即必不可少的的過(guò)程,這二者是充分和必要的邏輯關(guān)系,不能沒(méi)有基礎(chǔ)層次,更不能沒(méi)有必要層次。同時(shí),這兩個(gè)層次的活動(dòng)都要受到思維規(guī)律,即人的思想活動(dòng),以及語(yǔ)言規(guī)律和言語(yǔ)規(guī)律的約束,即要符合語(yǔ)言翻譯的本身特點(diǎn)和性質(zhì)。只有這樣兼顧二層次,才能共同完成一項(xiàng)翻譯活動(dòng)[15]。也有當(dāng)代學(xué)者認(rèn)為這一時(shí)期的翻譯方式已經(jīng)發(fā)生了變化,由“洋譯華述”逐漸過(guò)渡到“漢人自主翻譯”的模式了。其中涌現(xiàn)出像李善蘭、王韜(1828—1897)、徐壽(1818—1884)、華蘅芳(1833—1902)、徐建寅(1845—1901)等杰出翻譯家[16]。當(dāng)然,這一時(shí)期的翻譯,中國(guó)學(xué)者不再是被動(dòng)的接受,而是主動(dòng)地參與翻譯活動(dòng)中[17]。李善蘭翻譯“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ),其準(zhǔn)確性可以看出,他認(rèn)可了中西方對(duì)微積分理論的貢獻(xiàn)。微積分理論的傳入就是要讓國(guó)人在了解“歸納邏輯體系”的基礎(chǔ)上,又要懂得西方的演繹“邏輯思維模式”[18]。同時(shí),李善蘭結(jié)合中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想,深刻理解了近代西方微積分理論后,進(jìn)行創(chuàng)譯微積分的術(shù)語(yǔ),這是很科學(xué)的,符合科學(xué)的本質(zhì)特征。正如當(dāng)代學(xué)者所說(shuō)，“翻譯家及其譯著的影響,既是歷史的,同時(shí)也是現(xiàn)實(shí)的。這對(duì)國(guó)家、社會(huì)、乃至個(gè)人的影響無(wú)處不在,科學(xué)技術(shù)、文學(xué)藝術(shù)等無(wú)不受外來(lái)影響。[16]”李善蘭的翻譯活動(dòng)及其譯著,影響著清末的科學(xué)研究和科學(xué)教育,并且一直影響到當(dāng)代。其中特別有利于清末數(shù)學(xué)研究者職業(yè)化的培養(yǎng),以及數(shù)學(xué)專業(yè)化人才的培養(yǎng)[19]。同時(shí),加快了我國(guó)數(shù)學(xué)的西化和近代化的進(jìn)程[20]。今天的中學(xué)教育中有微積分,大學(xué)教育中有微積分?？梢哉f(shuō)“微分”和“積分”這兩個(gè)概念幾乎都會(huì)深入到每一個(gè)公民的心里,然而,當(dāng)論述了“微分”和“積分”的來(lái)龍去脈后,對(duì)照分析《拾級(jí)》的底本和譯本就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯微積分理論時(shí)候用了一種科學(xué)思維的術(shù)語(yǔ)翻譯模式[21]。同時(shí),從科學(xué)傳播史的角度來(lái)說(shuō),既獲得了更多的中國(guó)傳統(tǒng)科學(xué)文化知識(shí),又是對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)科學(xué)文明的傳承和發(fā)展。

6 結(jié) 語(yǔ)

縱觀“微分”和“積分”二概念的演變歷史,從中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“無(wú)限”、“無(wú)形”、“無(wú)窮”、“微”、“細(xì)”、“ 少”、“分”、“窮”、“分割”、“微分”等和中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“積”、“積步”、“積尺”、“積里”、“積分”等到李善蘭著作《方圓闡幽》中的“微分”和“積分”概念,最后再到《拾級(jí)》中分析學(xué)理論下的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)，可以看出，“微分”和“積分”首先從中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中與之意義相近的詞語(yǔ)演變而來(lái),在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中于是出現(xiàn)了“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ),到了清末,李善蘭繼承了中國(guó)古代的極限理論,沿用了“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ),還得到了幾個(gè)微積分公式,可以說(shuō)到這時(shí)的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)要接近分析理論下的“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)的數(shù)學(xué)含義。到了《拾級(jí)》中的譯名“微分”和“積分”則是完全表示分析下的數(shù)學(xué)概念,與之對(duì)應(yīng)的是“differential”和“integral”。李善蘭將“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)的傳統(tǒng)含義進(jìn)行外擴(kuò),賦予其新的數(shù)學(xué)含義,即從樸素的極限思想到其著作中的分割求和的極限思想,再到分析學(xué)下的無(wú)窮小運(yùn)算的思想,使之與近代西方數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)本意相吻合，擴(kuò)大了“微分”和“積分”的外延與內(nèi)涵,從而得到科學(xué)的譯名。其中，尋找適當(dāng)?shù)臐h字及其偏旁來(lái)表示數(shù)學(xué)運(yùn)算及符號(hào)。李善蘭采用“微”字的雙人旁“ㄔ”來(lái)表示微分符號(hào),和用“積”字的偏旁“禾”來(lái)表示積分符號(hào)。這兩個(gè)符號(hào)不僅恰到好處地表示出了積分的運(yùn)算,還進(jìn)一步反映出了微積分的本質(zhì)。“微分”和“積分”二術(shù)語(yǔ)從中國(guó)古代一直到1859年,表示的是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的分割與求和,而“微分”和“積分”二譯名,從1859年后,則表示的是西方分析學(xué)理論中的函數(shù)的無(wú)窮小分割與求和,是函數(shù)的無(wú)窮小運(yùn)算,即函數(shù)的微分和積分,并且到至今仍然一直被采用,可以得出其創(chuàng)譯的科學(xué)性,同時(shí)也是譯名創(chuàng)造的典范。