陳小星

（第七一五研究所，杭州，310023）

拖曳線列陣聲吶具有孔徑大、可變深、拖船噪聲干擾小等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛使用。但在拖船回轉(zhuǎn)及減速過(guò)程中其陣形姿態(tài)變化很大，對(duì)其安全使用操作帶來(lái)一定的困難。本文以Ablow[1]和Milinazzo[2]提出的纜索運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，對(duì)拖線陣的回轉(zhuǎn)及減速過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。

1 纜索運(yùn)動(dòng)模型

拖線陣一般由3段不同的纜索組成，分別為拖纜、線陣、尾繩。為簡(jiǎn)化計(jì)算，將纜索視為細(xì)長(zhǎng)、柔性的圓截面纜；不考慮纜索的伸長(zhǎng)；只承受拉力而不考慮扭轉(zhuǎn)、彎曲等因素。

1.1 坐標(biāo)系變換

如圖1所示，設(shè)固定坐標(biāo)系為(x,y,z)，x表示初始航行方向，z表示垂向方向。纜索坐標(biāo)系為(t,n,b)，t、n、b互相垂直，t表示纜索的切向方向，沿拖船方向?yàn)檎?，n為纜索的法向法向，b平行于x-y平面。

圖1 拖線陣拖曳狀態(tài)圖

兩個(gè)坐標(biāo)系之間通過(guò)歐拉角(α,β,γ)相互關(guān)聯(lián)。令β=π/2，則兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換矩陣為

其相互轉(zhuǎn)換公式為

按照Ablow和Milinazzo的纜索模型,建立纜索的動(dòng)力學(xué)以及運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可用如下的方程表示：

上述公式中，T為纜索張力；Vt、Vn、Vb為纜索在局部坐標(biāo)系(t,n,b)下的速度；α為纜索的偏航角，γ為纜索的縱傾角；m為單位長(zhǎng)度纜索的質(zhì)量；m1為單位長(zhǎng)度纜索的虛擬質(zhì)量；d為纜索的直徑；w為單位長(zhǎng)度纜索的水中重量，ρ為流場(chǎng)的密度；Ct和Cn分別為纜索的切向和法向阻力系數(shù)。

1.2 邊界條件

纜索的首端邊界條件為速度和拖船一致，拖船速度Vx、Vy、Vz為已知量。根據(jù)式（1）可得

纜索尾端點(diǎn)為自由端，該點(diǎn)處纜張力為 0，歐拉角α、γ對(duì)弧長(zhǎng)的變化率為0，可得三個(gè)方程，即：

2 數(shù)值計(jì)算

數(shù)值計(jì)算采用有限差分法[3]對(duì)纜索方程進(jìn)行離散。將纜索的總長(zhǎng)S劃分成任意的N段，單段長(zhǎng)度為Δs。從ti變化至ti+1的每一時(shí)間步長(zhǎng)Δt=ti+1-ti。

下標(biāo)1表示纜索節(jié)點(diǎn)，下標(biāo)2表示纜索下一節(jié)點(diǎn)，下標(biāo)0表示ti時(shí)刻，下標(biāo)無(wú)0表示ti+l時(shí)刻。則差分方程可表示為

共計(jì)6N個(gè)方程，加上首端點(diǎn)（式3）、尾端點(diǎn)（式4）的6個(gè)方程，方程總數(shù)為6(N+1)。未知數(shù)為N+1個(gè)纜索節(jié)點(diǎn)的Y值，共6(N+1)個(gè)，方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)一致，可以求解。

本文用牛頓迭代法對(duì)以上的非線性方程組進(jìn)行求解。已知穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的初值為Yi，下一時(shí)刻待求解的為Yi+1。求解出的下一時(shí)刻的解作為下一時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的初值，重復(fù)計(jì)算則可以求解出整個(gè)時(shí)間段內(nèi)的Y值。記Xi=[Y01,Y02,…Y0N+1]為初始時(shí)刻纜上各節(jié)點(diǎn)的Yi，Xi+1=[Y1,Y2,…YN+1]為下一時(shí)刻纜上各節(jié)點(diǎn)的Yi+1。對(duì)于單個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，求解非線性方程組變?yōu)?/p>

按牛頓迭代法求解有

F'()是方程組（6）的Jacobi矩陣，具體如下：

這樣，非線性方程組就變?yōu)閷?duì)線性方程組關(guān)于ΔX的求解。

采用列選主元高斯消去法對(duì)式（8）進(jìn)行求解，解出ΔX，得到Xi+1。然后用Xi+1作為初值，繼續(xù)進(jìn)行多次迭代計(jì)算，直到ΔX絕對(duì)值小于預(yù)先給定的小量eps時(shí)，當(dāng)前時(shí)間步計(jì)算完成。

纜索在固定坐標(biāo)系中位置由下列公式給出：

求解出各節(jié)點(diǎn)的Y值后，按照式（10）沿纜長(zhǎng)進(jìn)行積分，即可得到纜索的空間位置。

3 計(jì)算結(jié)果分析

本文選用表1中的數(shù)值作為纜索的計(jì)算參數(shù)。拖船航速為8 kn，回轉(zhuǎn)直徑780 m，拖船在300 s后進(jìn)入直航狀態(tài)。倒車航速?gòu)?8 kn降到4 kn后穩(wěn)定航行，倒車時(shí)間180 s，纜長(zhǎng)600 m。其回轉(zhuǎn)狀態(tài)陣首、陣尾點(diǎn)的仿真值和陣尾實(shí)測(cè)深度值的比較見圖2～6。倒車減速狀態(tài)尾端點(diǎn)的實(shí)測(cè)深度值和仿真值的比較見圖7。從圖中可知，短纜時(shí)(纜長(zhǎng)小于600 m)，線陣基本沒(méi)有下沉，隨著纜長(zhǎng)增加線陣會(huì)先下沉后上浮，越長(zhǎng)下沉深度越多，最大下沉點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間越晚，線陣穩(wěn)定時(shí)間越長(zhǎng)。觀察線陣的深度變化，陣首比陣尾先下沉，增加纜長(zhǎng)后，陣首和陣尾的下沉深度趨向一致。

表1 纜索的具體參數(shù)

圖2 400 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖3 600 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖4 800 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖5 1 000 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖6 1 500 m纜回轉(zhuǎn)180°深度變化圖

圖7 18 kn倒車至4 kn尾端點(diǎn)深度變化圖

4 結(jié)論

本文通過(guò)纜索運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型對(duì)拖線陣在回轉(zhuǎn)及減速工況下的陣形姿態(tài)進(jìn)行了仿真計(jì)算，并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行了比對(duì)，該方法可以用于指導(dǎo)拖線陣的安全使用。由于實(shí)船回轉(zhuǎn)存在一定的速降，實(shí)測(cè)值的上浮時(shí)間比仿真計(jì)算時(shí)間偏長(zhǎng)。同時(shí)，由于實(shí)際使用中存在海流等影響因素，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)值存在一定的偏差。后續(xù)需進(jìn)一步研究考慮速降及海流的影響，進(jìn)一步提高模型計(jì)算精度。