丁強

摘要：當學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到失敗時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在失敗中反思，提升思維能力，從而使學(xué)生成為主動學(xué)習(xí)者。新授課中，反思式教學(xué)是極為有效的方式之一，它能較好地體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。展開反思式學(xué)習(xí)，能培養(yǎng)學(xué)生的批判意識，增強學(xué)生的目標意識，強化學(xué)生的歸納意識。

關(guān)鍵詞：失敗；反思；提升

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）17-069-2

在解題中遭遇失敗是難免的。如何在失敗中吸取教訓(xùn)，尋找正確因素，分析失敗原因，應(yīng)當成為每個解題者的自覺行動。作為教師，我們更應(yīng)當在這方面為學(xué)生做些引導(dǎo)性工作，引領(lǐng)學(xué)生在失敗中進行反思，學(xué)會調(diào)整修正，提升思維能力，培養(yǎng)學(xué)生提高解題分析和解題智慧的自覺性。筆者在兩角和的余弦公式的證明教學(xué)中，嘗試讓學(xué)生自覺反思，逐漸體悟解題思路的調(diào)整過程，提升思維能力，效果明顯?，F(xiàn)寫出來與大家共同探討，并請大家指教。

一、案例呈現(xiàn)

《兩角和差的余弦》教學(xué)片段——公式的發(fā)現(xiàn)與證明

師：任意兩角α，β之和α+β的余弦cos（α+β）=？

生：cos（α+β）=cosα+cosβ（大膽猜想）

師：你能證明或舉出反例嗎？（激發(fā)反思）

生：cos60°=cos（30°+30°）=12，但cos30°+cos30°=3，顯然不對。

師：同學(xué)們能根據(jù)一些特殊值重新猜想cos（α+β）嗎？

生：cos60°=12，cos30°=32，sin30°=12，而12=32·32-12·12，我猜想為cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ（修正猜想）。

師：你能證明你的結(jié)論嗎？

學(xué)生自主證明中出現(xiàn)下面一種“錯誤”證明（如右圖）：

在△P1OP3和△AOP2中，因為OA=OP1=OP2=OP3=1，∠AOP2=∠P1OP3，所以△P1OP3≌△AOP2，所以P1P3=AP2，所以[cos（α+β）-cosα]2+[sin（α+β）-sinα]2=（cosβ-1）2+sin2β，化簡得2-2cosβ=2-2cos（α+β）cosα-2sin（α+β）sinα，

所以cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα①

這時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)沒能證出cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，于是又調(diào)整用△AOP1≌△P2OP3所得的AP1=P2P3，同理證得：cosα=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ，又失敗了！

（學(xué)生已處于困頓與憤悱的狀態(tài)，急待引領(lǐng)反思）

師：對①而言，你認為證明中成功在哪里？失敗在哪里？你想要什么？

（一般性提問，激起反思，進一步明確目標，引導(dǎo)修正）

生：成功在所需要的角α，β，α+β都出現(xiàn)了；失敗在α+β出現(xiàn)了sin（α+β），β中的sinβ沒有出現(xiàn)，我想要cos（α+β）單獨出現(xiàn)一次不與cosα混在一起。

師：有角的三角函數(shù)單獨出現(xiàn)的嗎？它為什么能單獨出現(xiàn)？對你有啟發(fā)嗎？（一般性提問，誘導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)）

生：cosβ單獨出現(xiàn)，因為P2（cosβ，sinβ）與A（1，0）形成距離，sinβ被sin2β+cos2β消去了。（頓悟）如果我也將P3（cos（α+β），sin（α+β））與A（1，0）形成距離就能達到目的了。（完成修正）

生（繼續(xù)探究）：要尋找一個與△AOP3全等，且用到α，β夾角為α+β的三角形，于是便有圖1，利用AP3=P1P4，證明如課本；圖2，利用AP3=P2P5同樣證明可得。（證明略）

在反思過程中，還有學(xué)生從另一個角度反思①式，認為β=（α+β）-α，故可形成兩角差的余弦公式cosβ=cos[（α+β）-a]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，若令α+β=γ，則β=γ-α，上式即為cos（γ-α）=cosγcosα+sinγsinα。

二、對案例的感悟

兩角和的余弦公式的再現(xiàn)和證明一直是教學(xué)的難點，歷年來教師講授的效果都不太理想。在教學(xué)中采用上文的方法，讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)，遭遇失敗，尤其注重用一般性啟發(fā)式問句，幫助學(xué)生從學(xué)習(xí)解題策略的高度去思考，而不斤斤計較于解題技巧，從而具備了一般的方法論意義。著重培養(yǎng)學(xué)生在失敗中反思，分析錯誤，提升能力，自主建構(gòu)，成為學(xué)習(xí)的主動者。教學(xué)中學(xué)生能分析失誤原因，在失敗中尋找正確因素作為借鑒，學(xué)會抓住問題的主要矛盾，學(xué)會選擇策略（數(shù)或點的組合），使思維由無序變有序，效果明顯。

三、對組織反思式學(xué)習(xí)的思考

人是自我組織的復(fù)雜系統(tǒng)，學(xué)習(xí)是一個認識的過程。只有積極主動的學(xué)習(xí)，才是最有效的學(xué)習(xí)，反思是學(xué)習(xí)的主動形式，反思式學(xué)習(xí)是最有意義的主動學(xué)習(xí)。它對培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)、科學(xué)精神有著極為重要的價值。

展開反思式學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生批判意識。通過對解題可能途徑的反思比較，選擇相對簡潔明了的可行方案。這樣，學(xué)生在認為思維目標恰當，思維策略適宜的情況下，更容易調(diào)