艾合買提?卡斯木 熱娜?阿斯哈爾

摘要：簡要介紹了Ms.Excel自帶的與復(fù)變函數(shù)有關(guān)的內(nèi)置函數(shù)。通過Ms.Excel的畫圖功能演示復(fù)變函數(shù)確定的映射，詳細展示了Ms.Excel教學(xué)模板的設(shè)計和制作全過程與方法，初步討論Ms.Excel在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。為復(fù)變函數(shù)教學(xué)輔助工具提供了一種簡單、直觀、高效的方法。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；Ms.Excel；映射；教學(xué)模板

一、 引言

復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)各專業(yè)的必修課，不僅對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，而且對理工類專業(yè)學(xué)生來說都是十分必要的。復(fù)變函數(shù)的許多理論都可以通過它的幾何解釋深入的理解，然而，有時候由于自身的復(fù)雜性很多內(nèi)容不能夠完美地表示它們的幾何解釋。此時，如果與多媒體教學(xué)結(jié)合的話，可以得到較好的教學(xué)效果。雖然有許多功能強大、界面友好的數(shù)學(xué)軟件幫助我們得到想要的結(jié)果（如matlab，Mathematica，Maple等），但是這些數(shù)學(xué)軟件對使用者的要求較高，需要進行專門培訓(xùn)、學(xué)習(xí)才能掌握。當(dāng)前普遍性較高、入門容易、操作簡單的Ms.Excel軟件的基本操作已為廣大師生熟悉而且功能直觀、數(shù)據(jù)輸入界面簡便，使用者易于接受、便于掌握其功能。此外，它不僅可以作為日常文檔使用，更重要的是它具有較強的繪制圖像可視化功能，合理正確地使用Ms.Excel的這些功能可以提高復(fù)變函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量并可以直觀、形象、生動地闡述復(fù)變函數(shù)中那些抽象、深奧、難懂的概念及其相應(yīng)的幾何解釋。本文首先簡單介紹Ms.Excel中自帶的與復(fù)變函數(shù)有關(guān)的內(nèi)置函數(shù)，然后以復(fù)變函數(shù)的幾何解釋—映照為例詳細展示Ms.Excel在復(fù)變函數(shù)以及教學(xué)中的應(yīng)用。

二、 在Excel中復(fù)數(shù)的表示及運算有關(guān)的命令

在Ms.Excel中復(fù)數(shù)z=x+yi的表示格

式為：COMPLEX（x，y）；比如在Ms.Excel中輸入復(fù)數(shù)z=3+2i。

方法一：在單元格D2中輸入3，單元格E2中輸入2，然后單元格F2中輸入=COMPLEX（D2，E2）確認就可以。如圖1（a）所示。

方法二：選擇空單元格輸入：=COMPLEX（3，2）確認就可以，如圖1（b）所示。

（a）（b）

設(shè)z=x+yi是一個復(fù)數(shù)，在Ms.Excel中常用的復(fù)數(shù)運算有關(guān)的內(nèi)置函數(shù)的命令格式如下：

IMREAL（z），返回復(fù)數(shù)的實部；

IMAGINARY（z），返回復(fù)數(shù)的實部；

IMCONJUGATE（z），返回復(fù)數(shù)的共軛；

IMCONJUGATE（z），返回以弧度表示的輻角；

ISUM（z1，z2），返回兩個復(fù)數(shù)的和；

IMSUB（z1，z2），返回兩個復(fù)數(shù)的差；

IMPRODUCT（z1，z2），返回兩個復(fù)數(shù)的乘積；

IMDIV（z1，z2），返回兩個復(fù)數(shù)的商；

IMSQRT（z），返回復(fù)數(shù)的平方根；

IMEXP（z），返回復(fù)數(shù)的指數(shù)值；

IMPOWER（z，n），返回復(fù)數(shù)的n次方整數(shù)冪；

IMSIN（z），返回復(fù)數(shù)的正玄值；

IMCOS（z），返回兩個復(fù)數(shù)的余弦值；

IMLN（z），返回兩個復(fù)數(shù)的自然對數(shù)；

三、 Ms.Excel在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

我們常用幾何圖形來表示函數(shù)，為了表述復(fù)變函數(shù)的幾何意義，取兩張復(fù)平面，分別稱為ω平面和z平面；如果在z平面上函數(shù)ω=f（z）的定義域E內(nèi)取一點z0，通過ω=f（z）在ω平面上有相應(yīng)的點ω0與之對應(yīng)，當(dāng)z取遍點集E時，在ω平面上就有相應(yīng)的點集F與之對應(yīng)。因此，從幾何上來講，復(fù)變函數(shù)ω=f（z）代表的是z平面上點集E到ω平面上的點集F之間的一種變換，即一種映照。

下面舉一個實例用Excel演示這種z平面到ω平面的映射。

復(fù)變函數(shù)ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R映照成ω平面上的什么圖形。

（一） 函數(shù)關(guān)系說明

首先我們用復(fù)變函數(shù)知識說明復(fù)變函數(shù)ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R映照成ω平面上的什么圖形。圓周|z|=R，可表示成z=Reiθ，則

ω=Reiθ+1Reiθ

=（R+1R）cosθ+i（R-1R）sinθ

若設(shè)ω=u+iv，u=acosθ，u=acosθ，

其中a=（R+1R），b=（R-1R）。顯然，當(dāng)R≠1時，u2a2+v2b2=1。這說明映照ω=z+1z將z平面上的圓周|z|=R（R≠1），映照成ω平面上長軸為2a，短軸為2|b|的橢圓線。當(dāng)R=1時，ω=2cosθ，即上述映照將單位圓映照成ω平面上實軸的一段-2≤u≤0。

（二） Ms.Excel演示

用Excel演示這種z平面到ω平面的映射關(guān)系。

1. 復(fù)數(shù)z的計算

z平面上的圓周z=Reiθ在直角坐標(biāo)內(nèi)可寫成

x=Rcosθ

y=Rsinθ0≤θ≤2π。

第一步，打開Ms.Excel工作做窗口，輸入訂制半徑R=3，即選單元格B1輸入3；

第二步，創(chuàng)建θ的值為0°至360°，以10°為增量；即先A4單元格內(nèi)輸入0，A5單元格內(nèi)輸入=A4+10，得值20。確保選中A5后將鼠標(biāo)指針移動到填充柄（單元格右下角的粗加號）上，單擊并向下拖動，直到顯示從A4到A40的單元格。

第三步，利用A4和B1的值，單擊B4單元格，輸入=$B$1*COS（$A$4*PI（）/180）返回復(fù)數(shù)的實部x，然后將填充柄向下拖動到B40為止。

第四步，在C4單元格中輸入=$B$1*SIN（$A$3*PI（）/180）返回復(fù)數(shù)的虛部y，同上步驟將填充柄向下拖動到C40為止。

第五步，用B4和C4的值生成復(fù)數(shù)，在單元格D4中輸入=COMPLEX（B3，C3），再將填充柄向下拖動到D40為止，如圖2所示。

2. 復(fù)數(shù)ω的計算

第一步，利用ω=z+1z公式來找出

另一個復(fù)數(shù)ω=u+iv，即首先利用單元格D4的值，單擊E4，E4單元格內(nèi)輸入函數(shù)=IMSUM（D3，IMDIV（COMPLEX（1，0），D3））按確定按鈕，將填充柄向下拖動到E40為止。

第二步，在F4中輸入=IMREAL（E4），在G4中輸入=IMAGINARY（E3）分別得到復(fù)數(shù)ω的實部u與虛部v，然后確保選中F4和G4將填充柄向下拖動到F40與G40。

3. z平面與ω平面的可視化

在Excel2016中選擇“插入”∣“圖表”組中單擊∣“插入散點圖（X，Y）或氣泡圖”∣在“散點圖”選項中選擇“帶平劃線和數(shù)據(jù)標(biāo)記的散點圖”，之后出現(xiàn)空圖表區(qū)域內(nèi)單擊鼠標(biāo)的右鍵，選擇“選擇數(shù)據(jù)”出現(xiàn)的對話框內(nèi)單擊“添加”選項，會出現(xiàn)“編輯數(shù)據(jù)系列”表，圖表的每一個空格內(nèi)一一添加相應(yīng)的格式，即“系列名稱”內(nèi)填寫“z平面”，“x軸數(shù)據(jù)系列值”內(nèi)填寫選擇的數(shù)據(jù)區(qū)域（$B$4：$B$40），同樣“y軸數(shù)據(jù)系列值”內(nèi)填寫選擇的數(shù)據(jù)區(qū)域（$C$4：$C$40），按“確定”按鈕。最后在任意圖形上單擊鼠標(biāo)右鍵選擇“設(shè)置數(shù)據(jù)系列格式”對圖表進行修飾即可。按同樣的步驟畫出“ω平面”。

當(dāng)B1的值R=3時，z平面映射到ω平面形成長軸為3.33，短軸為2.88的橢圓，如圖3所示。

4. 模板使用說明

（1） 圓是非單位圓時，z平面的圓映射到ω平面的橢圓，比如當(dāng)B1的值為2時，映射成長軸為3.33，短軸為1.66的橢圓，如圖4所示。

（2） 圓是單位圓時，z平面的單位圓映射到ω平面實軸上的線段，即B1的值為1時，映射成ω平面端點為u=-2和u=2的線段，如圖5所示。

（3） 當(dāng)映射函數(shù)改成ω=ez（在E4單元格內(nèi)輸入函數(shù)=IMEXP（D4）即可）時，將圓|z|=3映射成如圖6所示的圖像。

總之在這個模板上映射函數(shù)改成任何一個函數(shù)可以觀察到圓映射成什么樣的圖像，有很好的擴展性。

四、 結(jié)語

從上面的實例看出，用Ms.Excel很容易展示較復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)的幾何意義。此外，由于操作的簡單性和直觀性，可以激發(fā)學(xué)生親自動手操作的欲望、加深學(xué)生對理論知識的理解、調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對于提高實變函數(shù)教學(xué)質(zhì)量具有積極意義。當(dāng)然Ms.Excel在復(fù)變函數(shù)教學(xué)方面除了以上用途外，還有很多用處。

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作者簡介：

艾合買提·卡斯木，熱娜·阿斯哈爾，新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市，新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院。