湖南省長沙市周南雨花中學 (郵編：410014)

話說有一天，余弦發(fā)起了牢騷：

首先，從性質(zhì)上講：

性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx(向左平移π2個單位)→余弦函數(shù)y=cosx單調(diào)增區(qū)間2kπ-π2,2kπ+π2 k∈Z 2kπ-π,2kπ k∈Z 單調(diào)減區(qū)間2kπ+π2,2kπ+3π2 k∈Z 2kπ,2kπ+π k∈Z 對稱軸 x=kπ+π2k∈Z x=kπk∈Z 對稱中心kπ,0 k∈Z kπ-π2,0 k∈Z

其次是化簡求函數(shù)解析式時，全部化為正弦的形式.

(I)求f(x)的最小正周期；

這是2017年北京高考文試題，也很簡單，很快捷吧！

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

我就不信利用我不行！

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

這是2017年浙江高考試題，用我余弦來解答也一樣方便快捷吧.

最可恨的是，連我和正弦的“二弦組合”形式，也變成只含有它正弦的形式，且其中的角還要由正切來確定，似乎與我余弦沒有一點兒的關(guān)系.

這個結(jié)論許多資料上稱為“輔助角公式”，也是許多老師和同學津津樂道的一個最常用的三角公式，然而，我發(fā)現(xiàn)了它的一個不足.

于是我將自己的怨恨和這個發(fā)現(xiàn)寫信給這個老師，沒有幾天就收到了他的回信：

親愛的余弦(函數(shù))：

首先感謝你指出的這個錯誤，確實過去我們一直使用這個結(jié)論，沒有注意到它是不嚴密的. 佩服你的鉆研和思考精神，希望你一如繼往，努力完善自己，多為社會做出貢獻，也為學生的學習做出表率.

同時更重要的是要向你說聲對不起，不是我“嫌棄”你，也不是我“拋棄”你. 而是因為學生的理解水平有限，讓他們死記硬背你，還不如類比聯(lián)想記憶你——緊扣你同“正弦”的形同特點——只需平移關(guān)系，這樣學生對你的印象不是削弱了，反而更加強了，感覺你更生動，更形象，更有活力了. 其實數(shù)學的學習過程也是一個類比聯(lián)想的過程，抓住知識點或數(shù)學概念之間的關(guān)聯(lián)，就綱舉目張，一通百通，舉一反三. 在三角函數(shù)大家庭里，你們?nèi)值?，是相互?lián)系的，血肉相連的，這一點從你們的定義和同角三角函數(shù)之間的關(guān)系也可以看出來，已知你們中的一個就可以求出另外一個，特別是你與正弦，更是唇齒相依的一衣帶水的關(guān)系——如果唇亡，則一定齒寒，在許多實際問題的解答中也是需要你們相互配合，緊密相扣的.

圖1

(1)設(shè)PN=x,將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)∠POB,將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；

(3)請你選用(1)或(2)中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值．

總結(jié)這里兩種選擇自變量的辦法，一是以邊長為自變量，二是以角度為自變量. 這兩種方法都是抓住直角三角形，利用勾股定理或三角函數(shù)的定義，將相關(guān)量用自變量來表示，然后再根據(jù)面積或周長來建立函數(shù)關(guān)系式，但一定要注意函數(shù)式的定義域. 三角函數(shù)式中，一定要利用三角公式化為一個三角函數(shù)式，才能求出最大值.

圖2

(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求S的最大值及相應θ的值．

圖3

解析(1)分別過點P,Q作OB的垂線，垂足分別為D、E,則四邊形QEDP是矩形(如圖3)．于是PD=sinθ,OD=cosθ.

這是個內(nèi)接平行四邊形，先利用直角三角形內(nèi)三角函數(shù)的定義求出平行四邊形的邊和高，將面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，再利用三角函數(shù)式來解決最值.

圖4

你看，這三個例題中離開了你余弦，能夠解答嗎？至少解答很不容易吧. 所以數(shù)學每個概念都是數(shù)學大廈的一塊基石，在人類建筑現(xiàn)代文明社會中都不可或缺.

余弦看后，滿臉慚愧，再也沒有抱怨了，它甘愿做正弦，不，做所有數(shù)學概念紅花的綠葉，為數(shù)學事業(yè)作出自己的貢獻.