安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (郵編：725000)

考題(2012年高考數(shù)學(xué)北京理科第19題)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).

(I)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(II)設(shè)m=4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A、G、N三點(diǎn)共線.

文[1]在解題分析本題第(Ⅱ)中，指出學(xué)生用以下常規(guī)方法：

如圖1，當(dāng)m=4，橢圓C:x2+2y2=8與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)A(0,2),B(0,-2).

設(shè)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),由

(*)

(**)

圖1

由于考題圖形具有“蝴蝶定理”的形式.文[1]利用蝴蝶定理給出新解法.對于利用蝴蝶定理證明命題，我們再進(jìn)行探討.

1 蝴蝶定理證明討論

圖2

1.1 考題的證明

如圖1，設(shè)直線對BM、AN相交于點(diǎn)G，直線PG交橢圓分別于點(diǎn)E、F，則由廣義蝴蝶定理推論，得到

(1)

此時，設(shè)直線PG的方程為y=kx+4,結(jié)合橢圓方程，得：

(2)

則

(3)

(4)

(5)

則由關(guān)系式(1)

(6)

結(jié)合(3)，得

(7)

于是點(diǎn)G的y坐標(biāo)滿足：

yG=kxG+4=-3+4=1，

(8)

即直線對BM、AN相交于直線y=1.于是命題獲得證明.

此方法的優(yōu)點(diǎn)在于，無需直線PMN的斜率k，依然可以獲得命題的證明.因此，此高考題可以修正為命題1.

命題1如圖1.過橢圓C:x2+2y2=8外一點(diǎn)P(0,4)引C的割線PMN，直線對AN和BM交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的軌跡是定直線y=1

1.2 命題1 切點(diǎn)討論

此時，設(shè)直線PMN方程為y=kx+4(k≠0)，結(jié)合橢圓方程，得

8k2?(1+2k2)y2-8y+16-8k2=0

(9)

(10)

則當(dāng)直線PMN與橢圓C:x2+2y2=8相切時，點(diǎn)G的y坐標(biāo)滿足：

(11)

即命題1的點(diǎn)G的軌跡(定直線y=1)經(jīng)過直線PMN與橢圓C:x2+2y2=8的切點(diǎn).

命題2如圖1.過橢圓C:x2+2y2=8外一點(diǎn)P(0,4)，引C的交線PMN，直線對AN和BM交于點(diǎn)G，當(dāng)交線PMN與橢圓C相切于點(diǎn)T1、T2，則點(diǎn)T1、G、T2共線于定直線y=1.

1.3 命題共點(diǎn)線的再討論

現(xiàn)在，進(jìn)一步討論直線對AM和BN交于點(diǎn)Q的位置.

如圖1.設(shè)直線y=1與橢圓C分別交于點(diǎn)E、F，交直線對AM、BN分別于點(diǎn)Q1、Q2，設(shè)直線AMQ1、BNQ2方程分別為y=k1x+2(k1>0),y=k2x-2(k2<0),則

(12)

由廣義蝴蝶定理，得

(13)

(14)

由直線對AN、BM方程：y=k3x+2(k3>0),y=k4x-2(k4<0),得

(15)

此時，由橢圓方程C,得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

即直線對AM、BN相交于直線y=1.于是有結(jié)論.

命題3如圖1，過橢圓C:x2+2y2=8外一點(diǎn)P(0,4)，引C的交線PMN，直線對AN和BM交于點(diǎn)G，直線對AM和BN交于點(diǎn)Q，當(dāng)交線PMN與橢圓C相切于點(diǎn)T1、T2，則點(diǎn)Q、T1、G、T2共線于定直線y=1.

當(dāng)然，對于命題1和命題3，也有簡單的初等證明.

2 初等證明研究

2.1 對于命題1的證明

如圖1，現(xiàn)設(shè)直線對AG、BM于點(diǎn)G，設(shè)直線PMN方程為y=kx+4,結(jié)合橢圓方程，得

(1+2k2)x2+16kx+24=0

(22)

則

(23)

對于共線的三點(diǎn)A、G、N和共線的三點(diǎn)B、G、M，有

(24)

(25)

(26)

(27)

即直線對BM、AN相交于直線y=1.命題1獲得證明.

2.2 對于命題3的證明

如圖1.直線對AM、BN分別交直線y=1于點(diǎn)Q1、Q2，設(shè)直線PMN方程為y=kx+4,

結(jié)合橢圓方程，得

(1+2k2)x2+16kx+24=0

(28)

則

(29)

設(shè)直線AMQ1、BNQ2方程分別為y=k1x+2(k1>0),y=k2x-2(k2<0),則

(30)

(31)

現(xiàn)在，假設(shè)xQ1=xQ2,則(30)中的k滿足

(32)

(33)

即直線對BM、AN相交于直線y=1.命題3獲得證明.

2.3 命題中的直線斜率關(guān)系

在命題證明中，看到直線中的斜率具有多種關(guān)系.

命題4如圖1.過橢圓C:x2+2y2=8外一點(diǎn)P(0,4)引C的交線PMN，直線對AN和BM交于點(diǎn)G，直線對AM和BN交于點(diǎn)Q.若設(shè)直線方程PMN為y=kx+4,直線方程PG為y=k′x+4,直線對AM和BN方程分別為y=k1x+2(k1>0),y=k2x-2(k2<0),直線對AN、BM方程為y=k3x+2(k3>0),y=k4x-2(k4<0),則直線斜率滿足關(guān)系：

證明(2)由直線對NA、MB的斜率k3、k4關(guān)系，得

(34)

則結(jié)合(**)，得

(35)

(36)

此結(jié)論是非常有趣，將斜率k3、k4換成斜率k1、k2,關(guān)系不變.即具有數(shù)學(xué)中的“不變量”關(guān)系.

(3)由直線對NA、MB的斜率k3、k4關(guān)系，得

(37)

(38)

(4)在(36)和(38)中，取k4=-3k3,則

(39)