楊春華

解題就是“解決問題”，即求出數(shù)學(xué)題的答案.這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫“解”.所以，數(shù)學(xué)解題就是找出數(shù)學(xué)題的解的思維過程.解題過程就是根據(jù)問題條件，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有計(jì)劃、有步驟、有目的地進(jìn)行邏輯推理活動(dòng).它通常有4個(gè)階段：理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思.要快速準(zhǔn)確地解題，選擇準(zhǔn)確的、科學(xué)的思維起點(diǎn)至關(guān)重要.為了便于同學(xué)們快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題，本文將以圓中的重點(diǎn)題型為例，對(duì)尋找初中數(shù)學(xué)解題思維起點(diǎn)的策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，以期對(duì)同學(xué)們有一定的啟迪與思考.

一、直接將題設(shè)條件作為思維起點(diǎn)

有同學(xué)在審題時(shí)不認(rèn)真，沒看清題目的條件，導(dǎo)致解題無(wú)從下手.防止這種情況出現(xiàn)的方法是，在閱讀時(shí)放慢速度，對(duì)每一個(gè)條件盡可能發(fā)散思維，思考由每個(gè)條件可以得到哪些結(jié)論，再將這些結(jié)論進(jìn)行融合，找到相互間的關(guān)聯(lián)，從而達(dá)到解決問題的目的.

例1如圖1，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD與⊙O相切于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若⊙O的半徑為4，BC=6，則PA的長(zhǎng)為（ ）.

圖1

【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)、三角形相似條件及性質(zhì)的相關(guān)知識(shí).本題要求線段PA的長(zhǎng)度，只需連接切點(diǎn)D與圓心O，則由切線性質(zhì)即得OD⊥PC，再結(jié)合BC⊥PC，得結(jié)論OD‖BC，利用△POD∽△PBC的對(duì)應(yīng)邊成比例求出線段PA長(zhǎng)度即可.有部分同學(xué)由于沒準(zhǔn)確提取條件“PD與⊙O相切于點(diǎn)D”中的“點(diǎn)D是切點(diǎn)”信息，而不能快速聯(lián)想“看切點(diǎn)，連圓心，得垂直”這一常見添加輔助線思路.

【解答】解：連接OD.∵PD切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥PC，

又∵BC⊥PC，

∴OD‖BC，

∴△POD∽△PBC，

解得：PA=4.

故答案選：A.

【點(diǎn)評(píng)】解決數(shù)學(xué)問題，常常借助條件作為思維的起點(diǎn).特別是數(shù)學(xué)中的幾何問題，可以采用邊閱讀邊在圖上標(biāo)記條件的方法，并將隨之而得的結(jié)論寫（畫）在圖形的旁邊，再將這些結(jié)論進(jìn)行融合，找到相互間的關(guān)聯(lián)，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，達(dá)到解決問題的目的.

二、挖掘題設(shè)中的隱含條件作為思維起點(diǎn)

有些數(shù)學(xué)問題常常需要挖掘題設(shè)中的隱含條件，而圓中的隱含條件往往是一些基本圖形.這就需要我們熟悉這些基本圖形，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本圖形的疊加.將這些隱含的基本圖形作為思維的起點(diǎn)，可以使題設(shè)條件明朗化、具體化，從而達(dá)到明晰解題方向、尋求最佳解題方案的目的.

例2如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.

（1）求證：△AFG∽ △DFC.

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=1，求⊙O的半徑.

圖2

【分析】本題考查了正方形的有關(guān)性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形相似條件及性質(zhì)、直角三角形勾股定理的相關(guān)知識(shí).第一小題欲證△AFG與△DFC相似.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及鄰補(bǔ)角概念，可得∠AGF=∠DCF，再利用垂直定義、正方形性質(zhì)、同角的余角相等的相關(guān)知識(shí)，可得∠GAF=∠CDF，從而第一問得證.第二小題欲求⊙O半徑，則可先求⊙O直徑，而借助第一問三角形相似及△AED中“母子三角形”相似所得對(duì)應(yīng)邊成比例，可得線段AG=AE=1，再由勾股定理求得圓的直徑而得半徑.有部分同學(xué)看不出隱含在題目圖形中的基本圖形：圓內(nèi)接四邊形及“母子三角形”，導(dǎo)致題設(shè)條件不明朗、不具體，不能達(dá)到明晰解題方向、快速尋求解題方案的目的.

【解答】證明：（1）因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠ADC=90°，

則∠CDF+∠ADF=90°，

∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠CDF=∠DAF.

∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠FCD+∠DGF=180°，

又∵∠FGA+∠DGF=180°，

∴∠FCD=∠FGA，

∴△AFG∽△DFC.

解：（2）如圖3，連接CG.

∵∠EAD=∠AFD=90°.

∠EDA=∠ADF，

∵在正方形ABCD中，DA=DC，

∴CG是⊙O的直徑.

圖3

【點(diǎn)評(píng)】利用平時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與積累，將一些圖形的性質(zhì)概括與抽象成一些易記的基本圖形，并提煉出復(fù)雜圖形中的基本圖形是熟練運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵.迅速地分析出復(fù)雜圖形中的基本圖形，需要平時(shí)概括歸納能力的培養(yǎng).

三、從問題的結(jié)論出發(fā)，確定思維的起點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)中有些問題的結(jié)論不僅是解題的終點(diǎn)，也是解題的起點(diǎn)，調(diào)控著解題的全部思維過程.解題中若能恰如其分地用好這些結(jié)論的特征，并以此為突破口來(lái)確定思維的起點(diǎn)，常常有意想不到的效果.

例3如圖4，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD⊥CD于點(diǎn)D，且AC平分∠DAB.求證：（1）直線DC是⊙O的切線；（2）AC2=2AD·AO.

圖4

【分析】本題考查了圓的切線的判定方法、相似三角形的判定及性質(zhì).

第一小題欲證直線DC是⊙O的切線，僅需連接OC，證明OC垂直于DC即可.

第二小題欲證AC2=2AD·AO，而AB=2AO，則僅需證AC2=AD·AB.將其轉(zhuǎn)化為比例式，再證△ADC∽△ACB即可.

【解答】證明：（1）如圖5.連接OC.

∵AD⊥CD于點(diǎn)D，

∴∠ADC=90°，

∵∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴∠OCA+∠ACD=90°，

即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴直線DC是⊙O的切線.

圖5

（2）如圖5.連接BC.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

又∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

則AC2=AD·AB，

∵AB=2AO，

∴AC2=AD·2AO=2AD·AO.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于第二題中線段等積式結(jié)論的證明，我們常常將此結(jié)論轉(zhuǎn)化為比例式作為思維的起點(diǎn)；然后對(duì)比例式上下（或左右）觀察，找出對(duì)應(yīng)三角形進(jìn)行相似證明；再結(jié)合題設(shè)條件，確定判定兩三角形相似的具體證明方法.這類題目常常會(huì)將一些線段的倍分關(guān)系摻雜其中，這就需要我們能夠根據(jù)題設(shè)條件將其轉(zhuǎn)換成具體線段.