黃海濤

一、借助圓內(nèi)接四邊形的外角、同弧所對(duì)的圓周角，可以將已知角轉(zhuǎn)化為其他的等角，利用直徑所對(duì)的圓周角、垂徑定理構(gòu)造直角三角形，是解決綜合三角函數(shù)類(lèi)題目的常用方法

例1（2018·江蘇無(wú)錫）如圖1，四邊形ABCD 內(nèi)接于圓 O，AB=17，CD=10，∠A=90°，，求AD的長(zhǎng).

圖1

【解析】考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形、三角函數(shù).四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，容易得到∠A=∠C=90°.如何把放在直角三角形中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.結(jié)合四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∠A=90°，容易想到構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形的外角，將∠B放到直角三角形中.

【解答】解：如圖2，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E.

圖2

∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，

∴∠A=∠DCB=90°，∠B=∠EDC.

∴在直角三角形EAB中，

在直角三角形ECD中，

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于圓結(jié)合三角函數(shù)類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注如何把已知的具體大小的角放入直角三角形中.

二、結(jié)合題目中的已知線(xiàn)段，利用同弧所對(duì)的圓周角、連接半徑形成的等腰三角形、圓內(nèi)接四邊形的外角等知識(shí)，發(fā)掘相似三角形，是解決圓與相似有關(guān)問(wèn)題的實(shí)用技巧

例2（2018·四川成都）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OF交AD于點(diǎn)G.

圖3

（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn).

（2）設(shè)AB=x，AF=y，試用含x，y的代數(shù)式表示線(xiàn)段AD的長(zhǎng).

【解析】考點(diǎn)：圓、相似三角形.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)D在圓上，因此，要證明圓的切線(xiàn)，只需連接半徑，證垂直即可.

（2）線(xiàn)段AB在△ABD和△ABC中，而線(xiàn)段AF不在直角三角形中，因此找△ABD的相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.結(jié)合上一問(wèn)得到的結(jié)論∠BAD=∠CAD，容易想到證明△ABD∽△ADF，此時(shí)只需證明∠ADF=∠B即可，要證∠ADF=∠B，只要用弧AF所對(duì)的圓周角∠AEF過(guò)渡一下，而連接EF后發(fā)現(xiàn)∠EFA=90°，易得EF‖AC，問(wèn)題得到解決.

【解答】證明：（1）如圖4，連接OD.

圖4

∵AD為∠BAC的角平分線(xiàn)，

∴∠BAD=∠CAD.

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，∴OD‖AC，

又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，

∴BC是⊙O的切線(xiàn).

解：（2）連接DF，EF.

∵AE是直徑，∴∠EFA=90°，

又∵∠C=90°，∴EF‖BC.

∴∠AEF=∠B，

∵在⊙O中，∠AEF與∠ADF對(duì)應(yīng)的弧相同，∴∠AEF=∠ADF，

∴∠ADF=∠B，

又∵∠BAD=∠CAD，

∴△ABD∽△ADF，

【點(diǎn)評(píng)】圓中線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系如不涉及具體數(shù)值的計(jì)算，利用相似發(fā)掘乘積關(guān)系是常用方法，根據(jù)具體線(xiàn)段找相似三角形是比較有效的技巧.

三、對(duì)于圓中和弦長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，借助垂徑定理，作弦心距，連半徑，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決線(xiàn)段的長(zhǎng)度問(wèn)題，是圓綜合勾股定理類(lèi)題目的主要解題策略

例3（2018·江蘇南京）如圖5，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD為直徑作⊙O.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD′與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為

圖5

【解析】考點(diǎn)：圓、勾股定理.如圖6，點(diǎn)E是⊙O的切點(diǎn)，連接OE，得到垂徑，而弦長(zhǎng)問(wèn)題往往又需要用垂徑定理來(lái)解決，OE垂直于A′B′，A′B′‖CD′正好巧妙地構(gòu)造了用勾股定理處理弦長(zhǎng)問(wèn)題所需的直角三角形，連接EO并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H，問(wèn)題得解.

【解答】解：連接EO并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H.

圖6

∵A′B′與⊙O相切于點(diǎn)E，

∴OE⊥A′B′，

又∵A′B′‖CD′，∴OH⊥CD′，

∴CH=HF.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類(lèi)弦長(zhǎng)問(wèn)題的切入點(diǎn)就是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形.而如果先作了垂直，連接了OE，是比較容易發(fā)現(xiàn)E、O、H三點(diǎn)共線(xiàn)的.雖然對(duì)于同學(xué)們而言證明三點(diǎn)共線(xiàn)不常見(jiàn)，但連好線(xiàn)后再仔細(xì)分析題目中的矩形對(duì)邊平行條件，是不難得到連接EO并延長(zhǎng)這個(gè)輔助線(xiàn)作法的.

四、解決圓與方程、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)融合的綜合題時(shí)，用圓中半徑相等、直角三角形的勾股定理建立數(shù)量間的等量關(guān)系，是解決問(wèn)題的必要途徑

例4（2018·山東濱州）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為P（x，y）的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2）且與x軸相切于點(diǎn)B.

圖7

（1）當(dāng)x=2時(shí)，求⊙P的半徑.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，請(qǐng)判斷此函數(shù)圖像的形狀，并在圖8中畫(huà)出此函數(shù)的圖像.

圖8

（3）請(qǐng)類(lèi)比圓的定義（圓可以看成是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合），給（2）中所得函數(shù)圖像進(jìn)行定義：此函數(shù)圖像可以看成是到_______的距離等于到_______的距離的所有點(diǎn)的集合.

（4）當(dāng)⊙P的半徑為1時(shí)，若⊙P與（2）中所得函數(shù)圖像相交于點(diǎn)C，D，其中交點(diǎn)D（m，n）在點(diǎn)C的右側(cè)，請(qǐng)利用圖8，求cos∠APD的大小.

【解析】考點(diǎn)：圓、勾股定理、二次函數(shù).

（1）由題意得到AP=PB，求出y的值，即為⊙P的半徑.

（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)AP=PB，確定出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)圖像即可.

（3）類(lèi)比圓的定義描述此函數(shù)定義即可.

（4）畫(huà)出相應(yīng)圖形，求出m的值，進(jìn)而確定出所求角的余弦值即可.

【解答】解：（1）如圖9，由x=2，得到P（2，y），連接AP，PB.

圖9

∵圓P與x軸相切，

∴PB⊥x軸，即PB=y，

（2）同（1），由AP=PB，

得到（x-1）2+（y-2）2=y2，

即y關(guān)于x的函數(shù)圖像為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖10所示；

圖10

（3）給（2）中所得函數(shù)圖像進(jìn)行定義：此函數(shù)圖像可以看成是到點(diǎn)A的距離等于到x軸的距離的所有點(diǎn)的集合.故答案為：點(diǎn)A；x軸.

（4）如圖11，連接CD，連接AP并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F.

圖11

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理，用勾股定理建立x，y的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

在解決與圓有關(guān)的綜合題時(shí)，除了要熟悉圓的基本概念、基本圖形，更應(yīng)該抓住圓中的一些隱含條件，如“同弧所對(duì)的圓周角相等”“半徑相等”等，注意知識(shí)點(diǎn)間的整合，滲透轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想、分類(lèi)討論的思想以及變化中的不變量等觀(guān)點(diǎn)，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.