倪有源，王 磊

(1.合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009;2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機(jī)及控制技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，合肥 230601)

0 引 言

永磁電機(jī)相比于傳統(tǒng)的電勵(lì)磁電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕及效率高等優(yōu)勢(shì)[1]，從而廣泛運(yùn)用在各種領(lǐng)域中。但是在一些特殊的領(lǐng)域中，要求轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)低。而轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)是永磁電機(jī)內(nèi)在的缺陷，會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲。轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)主要來(lái)源于齒槽轉(zhuǎn)矩，齒槽轉(zhuǎn)矩是由永磁體與電樞槽相互作用而產(chǎn)生的[2]。

研究齒槽轉(zhuǎn)矩具有重要的意義。國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了廣泛的研究，也提出了許多減小齒槽轉(zhuǎn)矩的方法，如采用槽數(shù)與極數(shù)的配合[3-4]，通過(guò)定子加輔助槽[5-6]，選取合適的極弧系數(shù)[6-7]，改變永磁體的形狀[8-9]以及利用轉(zhuǎn)子偏心的辦法[6,9]等。

齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算方法通常分為兩類(lèi)：有限元法和解析法。對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的研究大多采用的是有限元法，雖然計(jì)算結(jié)果精度高，但是需要大量的計(jì)算時(shí)間，而且不適合進(jìn)行優(yōu)化分析。解析法是一種快速得到齒槽轉(zhuǎn)矩的有效方法，并且從設(shè)計(jì)方面能直接得出影響齒槽轉(zhuǎn)矩的因素。解析法主要包括能量法[5,10-12]和麥克斯韋應(yīng)力張量法[13-16]。

本文分析了計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩的4種模型。其中模型A是利用理想化的氣隙磁密計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩的簡(jiǎn)化模型。模型B是通過(guò)先求解拉普拉斯方程和準(zhǔn)泊松方程，獲得氣隙磁密解析式，然后計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。模型C是先利用保角變換獲得不同位置處精確的相對(duì)磁導(dǎo)，再計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩，與利用能量法的其它模型相比，該模型得到的齒槽轉(zhuǎn)矩更接近于實(shí)際結(jié)果。模型D是運(yùn)用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。

1 解析模型分析

表貼式永磁電機(jī)的分析模型如圖1所示。圖1中Rs為定子內(nèi)半徑，Rr為永磁內(nèi)半徑，Rm為永磁體外半徑。本文分析齒槽轉(zhuǎn)矩的4種解析模型，是基于如下考慮：假設(shè)鐵心的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大；θ=0為永磁的中心位置處；永磁材料的磁導(dǎo)率與空氣相同，即μr=1；槽形為直角槽，且假設(shè)槽無(wú)限深。

圖1 永磁電機(jī)的結(jié)構(gòu)

1.1 模型A

模型A是利用能量法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。根據(jù)定義可知[2],齒槽轉(zhuǎn)矩是由于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電機(jī)中能量的變化而產(chǎn)生，且一般鐵心中能量的變化是可忽略的[13]。如果不考慮永磁的能量變化，齒槽轉(zhuǎn)矩波形的基本特性也不會(huì)改變。依據(jù)文獻(xiàn)[10]，可得齒槽轉(zhuǎn)矩：

(1)

式中：α為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的位置角度；W表示永磁電機(jī)的氣隙中儲(chǔ)存的能量；θ表示沿電機(jī)旋轉(zhuǎn)方向變化的角度；B(θ)為無(wú)槽電機(jī)的氣隙磁密；G(θ,α) 為氣隙的相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)。

圖2 理想的氣隙磁密分布

(2)

令β=0為一個(gè)槽中心的位置。假設(shè)磁密通過(guò)槽的路徑如圖3所示。磁密在槽中的路徑為四分之一圓，得到一個(gè)槽距下有效氣隙長(zhǎng)度：

圖3 磁密在槽中的理想路徑

(3)

式中：g為氣隙長(zhǎng)度；θ1為槽距角；θ0為槽口角。且θ0和θ1都用弧度。

(4)

再對(duì)其進(jìn)行傅里葉分解，得：

(5)

式中：Ns表示電機(jī)定子槽數(shù)。

考慮到槽與永磁的相對(duì)位置，得β=θ+α。于是得到：

(6)

(7)

將式(5)和式(2)代入式(1)，再利用三角函數(shù)的正交性，即式(8)，可得式(9)。

當(dāng)n≠m時(shí)，有：

(8)

(9)

式中：Lef為電機(jī)的軸向長(zhǎng)度；NL表示槽數(shù)與極數(shù)的最小公倍數(shù)。

模型A運(yùn)用的是能量法。由于對(duì)氣隙磁密進(jìn)行了簡(jiǎn)化，沒(méi)有考慮極間漏磁。且磁密在槽中的路徑也是理想化，沒(méi)有考慮槽漏磁，因此得到的結(jié)果與實(shí)際誤差較大。

1.2 模型B

在模型A中，氣隙磁密的波形是理想化的。實(shí)際上，精確的氣隙磁密解析式可以通過(guò)求解拉普拉斯方程和準(zhǔn)泊松方程得到[17]。當(dāng)定子為無(wú)槽結(jié)構(gòu)時(shí)，在氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ中，磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度分別滿(mǎn)足：

(10)

式中：BrⅠ,HrⅠ分別為空氣中的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；BrⅡ，HrⅡ分別是永磁中的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；M為永磁體的磁化強(qiáng)度。

在二維極坐標(biāo)下，磁化強(qiáng)度矢量可表示：

M=Mrr+Mθθ

(11)

式中：Mr和Mθ分別為永磁體磁化強(qiáng)度的徑向方向和切向方向的分量。

由于旋轉(zhuǎn)永磁電機(jī)的永磁體一般是徑向充磁的，一對(duì)磁極下的磁化強(qiáng)度分布可以寫(xiě)成分段函數(shù)：

(12)

對(duì)Mr和Mθ分別進(jìn)行傅里葉分解，得到：

(13)

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，對(duì)于標(biāo)量磁位φ，有：

(14)

對(duì)于圖1中的氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ，標(biāo)量磁位分別滿(mǎn)足拉普拉斯方程和準(zhǔn)泊松方程，得到：

(15)

(16)

再根據(jù)磁場(chǎng)的邊界條件，可得：

(17)

于是，氣隙區(qū)域Ⅰ磁密的徑向分量和切向分量分別：

(18)

式中：

令r=Rs，代入式(18)中的BrⅠ(r,θ)，得到式(1)中的B(θ)，對(duì)其平方，并計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，得到：

(19)

將式(19)和式(6)代入式(9)，得到該模型下的齒槽轉(zhuǎn)矩。與模型A相比，模型B也是運(yùn)用了能量法。但由于模型B考慮了永磁的極間漏磁，得到的氣隙磁密更接近實(shí)際情況，從而得到的齒槽轉(zhuǎn)矩更接近實(shí)際結(jié)果。但是磁密在槽中的路徑也為理想情況，因此得到的結(jié)果與實(shí)際情況還是存在一定的誤差。

1.3 模型C

在計(jì)算氣隙磁導(dǎo)時(shí)，模型A和模型B都認(rèn)為磁密通過(guò)槽中的路徑如圖3所示。這是為了計(jì)算方便，對(duì)路徑進(jìn)行理想化，但與實(shí)際存在誤差。因此模型C運(yùn)用保角變換的方法得到精確的相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)。

對(duì)于圖1的有槽結(jié)構(gòu)永磁電機(jī)，相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)由文獻(xiàn)[18]可以得出：

(20)

(21)

并且：

(22)

由電磁原理，得相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)：

(23)

將相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)寫(xiě)成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即：

(24)

然后令r=Rs并代入式(23)，求得相對(duì)磁導(dǎo)。對(duì)式(24)的兩邊平方，再對(duì)其展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)，得：

(25)

將式(19)和式(25)代入式(9)，于是可計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩，該模型也是運(yùn)用能量法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。與模型A和模型B相比，模型C運(yùn)用了保角變換計(jì)算相對(duì)磁導(dǎo)，而不是假設(shè)磁密通過(guò)槽的路徑為四分之一圓，于是得到相對(duì)磁導(dǎo)更加精確，從而獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩更接近實(shí)際情況。

1.4 模型D

除了采用能量法以外，還可以采用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算。運(yùn)用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩的基本條件，是已知?dú)庀洞琶艿膹较蚍至亢颓邢蚍至?。?18)已給出了表貼式無(wú)槽永磁電機(jī)的氣隙磁密，而有槽電機(jī)的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)在式(24)中給出，這里就不再贅述。

依據(jù)文獻(xiàn)[19]，有槽電機(jī)的氣隙磁密可以寫(xiě)成：

Bs(θ,α,r)=G(θ,r)Bmag(θ,α,r)

(26)

式中：Bmag(θ,α,r)為無(wú)槽電機(jī)的氣隙磁密，包括徑向分量和切向分量。

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法和文獻(xiàn)[13]，齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式：

(27)

式中：Bsr(r,θ)和Bsθ(r,θ)分別為氣隙磁密的徑向分量和切向分量。

為了便于計(jì)算，可將式(18)寫(xiě)成：

(28)

將式(27)和式(22)代入式(25)中，可得：

(29)

(30)

把式(29)和式(30)代入式(27)，可得：

cos(mNsθ)cos(hNsθ)dθ}

(31)

對(duì)于式(31)，利用三角函數(shù)的正交性，可得：

①如果kp+np-mNs=0，則：

sin[p(k+n)α]

(32)

②如果kp-np+mNs=0或kp-np-mNs=0，則：

sin [p(k-n)α]

(33)

③如果kp+np+mNs-hNs=0或kp+np-mNs+hNs=0或kp+np-mNs-hNs=0，則有：

Brn(r)Bθksin[(k+n)pα]

(34)

④如果kp-np+mNs+hNs=0或kp-np+mNs-hNs=0或kp-np-mNs+hNs=0或kp-np-mNs-hNs=0，則有：

Brn(r)Bθksin [(k-n)pα]

(35)

在式(32)至式(35)中的r，可以為氣隙中任意半徑處，但如果選擇的半徑太接近定子內(nèi)徑表面時(shí)，則計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。因?yàn)樵谶@個(gè)位置處，利用保角變換計(jì)算氣隙的相對(duì)磁導(dǎo)時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，可以得到氣隙的相對(duì)磁導(dǎo)為無(wú)窮大。為了避免造成相對(duì)磁導(dǎo)無(wú)窮大的問(wèn)題，半徑取為氣隙的中間位置。

2 解析法計(jì)算結(jié)果及有限元法驗(yàn)證

一臺(tái)3相、4極24槽表貼式永磁電機(jī)的主要參數(shù)如表1所示。永磁磁化方向?yàn)閺较颉＠蒙鲜鼋⒌母鞣N解析模型，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分析計(jì)算。

表1 永磁電機(jī)的主要參數(shù)

當(dāng)電機(jī)的極弧系數(shù)αp分別取0.7和0.9時(shí)，圖4給出了利用前述的4種模型以及有限元法分別計(jì)算得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形。從圖4中可以得到，解析模型A和解析模型B計(jì)算獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩波形與有限元法得到的結(jié)果誤差較大。模型C和模型D由于考慮了極間漏磁和槽漏磁，得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形更接近有限元法的計(jì)算結(jié)果。

(a) αp=0.7

(b) αp=0.9

在上述模型中，用能量法的模型，在計(jì)算氣隙磁密或相對(duì)磁導(dǎo)時(shí)，取的位置是在定子的內(nèi)表面。而利用麥克斯韋應(yīng)力張量法的模型，在計(jì)算電機(jī)的氣隙磁密時(shí)，半徑取在氣隙的中間處。實(shí)際上，在氣隙的不同位置處，得到電機(jī)的氣隙磁密波形顯然不同，但是得到的齒槽轉(zhuǎn)矩并沒(méi)有區(qū)別。為此，取氣隙中的不同位置，即r分別為Rs-0.1g和Rs-0.9g，得到電機(jī)的徑向氣隙磁密波形如圖5所示。

再取氣隙中的不同位置，即r分別為Rs-0.1g，Rs-0.5g以及Rs-0.9g，得到電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩波形如圖6所示。從圖6中可以看出，3個(gè)波形完全一致。因此，驗(yàn)證了齒槽轉(zhuǎn)矩與位置無(wú)關(guān)的正確性。

(a) r=Rs-0.1g

(b) r=Rs-0.9g

圖6 在氣隙中不同位置處的齒槽轉(zhuǎn)矩波形

3 結(jié) 語(yǔ)

本文比較分析了解析法計(jì)算表貼式永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩的4種模型。分別是利用能量法的模型A、模型B和模型C以及利用麥克斯韋應(yīng)力張量法的模型D。這4種模型都能計(jì)算表貼式永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。由于這些模型中考慮的因素不同，造成了齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算結(jié)果不同。與有限元法相比可知，模型C和模型D比模型A和模型B得到的齒槽轉(zhuǎn)矩結(jié)果更精確。相比于其它模型，模型D雖然計(jì)算量很大，但是精度較高。