劉林芽， 秦佳良， 雷曉燕, 劉全民， 宋 瑞,2

(1.華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013;2.南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程系，南昌 330029)

橋梁在列車動(dòng)載作用下會(huì)向周圍環(huán)境輻射噪聲，其中主要以20～200 Hz頻段的低頻噪聲為主[1]。這種低頻噪聲由于其波長較長，在傳播過程中不易衰減，而且采用傳統(tǒng)的聲屏障還難以有效控制這種低頻噪聲[2]，并且對(duì)人體健康還有較大的不利影響[3-4]。而且隨著我國軌道交通的不斷發(fā)展，軌道交通橋梁的應(yīng)用也越來越多，人們對(duì)軌道交通結(jié)構(gòu)低頻噪聲的投訴傾向也在增多[5]。因此，對(duì)軌道交通橋梁減振降噪的研究是一個(gè)亟待解決的問題。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)橋梁減振降噪做了大量的研究，Zhang等[6-7]基于車-線-橋耦合振動(dòng)理論和聲學(xué)邊界元理論，建立了箱梁結(jié)構(gòu)噪聲預(yù)測的混合有限元-邊界元法，分析得出增加板厚將使箱梁結(jié)構(gòu)噪聲降低，且增加頂板厚度最為有效。韓江龍等[8]采用模態(tài)疊加法求解列車-軌道-橋梁動(dòng)力響應(yīng)，再采用模態(tài)聲傳遞向量法求解橋梁結(jié)構(gòu)噪聲，分析了板厚和加肋對(duì)槽形梁結(jié)構(gòu)噪聲的影響。Bewes[9]對(duì)混凝土橋、鋼筋混凝土橋和鋼橋研究表明：增加橋梁某些結(jié)構(gòu)組件的厚度，可以降低這一組件的結(jié)構(gòu)噪聲，但同時(shí)會(huì)增加其它組件的結(jié)構(gòu)噪聲。

雖然國內(nèi)外學(xué)者對(duì)橋梁減振降噪做了大量的研究，但對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)最優(yōu)截面的研究卻很少，僅研究了單一板厚對(duì)結(jié)構(gòu)噪聲的影響。而且大多數(shù)都采用單一場點(diǎn)的聲壓級(jí)來評(píng)價(jià)橋梁降噪的效果，并不能體現(xiàn)出空間聲場的整體降噪效果。因?yàn)橥话寮?duì)不同場點(diǎn)的聲學(xué)貢獻(xiàn)量是不一樣的，有可能增加一個(gè)板件的厚度會(huì)降低某一個(gè)點(diǎn)的聲壓級(jí)，但卻會(huì)增加另一個(gè)點(diǎn)的聲壓級(jí)。所以本文將聲功率作為橋梁結(jié)構(gòu)噪聲優(yōu)化的評(píng)價(jià)指標(biāo)能避免這個(gè)問題。這是因?yàn)槁暪β时硎镜氖菃挝粫r(shí)間內(nèi)聲源向外輻射噪聲的能量多少，與距離聲源的遠(yuǎn)近無關(guān)，所以在優(yōu)化過程中不需要選取特定的場點(diǎn)。本文以軌道交通30 m簡支槽形梁為研究對(duì)象，將響應(yīng)面法和聲學(xué)響應(yīng)計(jì)算相結(jié)合，建立了以槽形梁結(jié)構(gòu)輻射噪聲的聲功率級(jí)為目標(biāo)及以槽形梁質(zhì)量為約束的聲學(xué)優(yōu)化模型，再利用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解，最終找出了槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)最優(yōu)的截面尺寸，為軌道交通槽形梁的減振降噪提供了一定的依據(jù)。

1 槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)響應(yīng)計(jì)算

1.1 輪軌激振力的獲取

首先利用有限元軟件ANSYS和多體動(dòng)力學(xué)軟件SIMPACK，建立精細(xì)化的車橋耦合空間動(dòng)力學(xué)分析模型。在SIMPACK中建立車輛分析模型，車輛系統(tǒng)的多體動(dòng)力學(xué)模型通過鉸接、剛體、力元、約束以及輪軌接觸模型等來形成一系列的動(dòng)力學(xué)方程。一節(jié)車輛可以認(rèn)為由一個(gè)車體、兩個(gè)轉(zhuǎn)向架、四個(gè)輪對(duì)等七個(gè)剛體構(gòu)成，其中連接這些剛體的部件還可分為一、二系彈簧、橫向減振器、垂向減振器，抗蛇行減振器、抗側(cè)滾扭桿、牽引拉桿、橫向止擋等。其中每個(gè)剛體考慮伸縮、橫擺、浮沉、點(diǎn)頭、側(cè)滾、搖頭6個(gè)自由度，由于左右輪上各有一個(gè)約束，所以車輛共34個(gè)自由度。

在ANSYS中建立橋梁模型，并對(duì)其進(jìn)行子結(jié)構(gòu)分析和模態(tài)分析處理，得到SIMPACK中有限元FEMBS可以識(shí)別的文件，再利用SIMPACK中柔性軌道模塊，實(shí)現(xiàn)車輛模型和橋梁模型的共同求解。其中，把車輛模型和橋梁模型分別作為兩個(gè)系統(tǒng)，它們之間通過輪軌接觸點(diǎn)實(shí)現(xiàn)力、位移等的交換。然后分別輪流迭代，最終計(jì)算出輪軌之間的相互作用力，實(shí)現(xiàn)車橋耦合分析模型的求解。本文只考慮2節(jié)地鐵A型車通過該槽形梁結(jié)構(gòu)。計(jì)算速度取為80 km/h，鋼軌不平順根據(jù)ISO3095—2013標(biāo)準(zhǔn)中的不平順限制譜生成。圖1所示為車橋耦合分析模型。

圖1 車橋耦合分析模型Fig.1 The model of vehicle-bridge coupling analysis

1.2 槽形梁振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算的有限元法

振動(dòng)是噪聲的來源，所以要計(jì)算槽形梁的結(jié)構(gòu)噪聲必須先計(jì)算出槽形梁的振動(dòng)響應(yīng)。本文采用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析也稱為時(shí)間歷程分析，其基本運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

在求解槽形梁振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，將列車在運(yùn)行過程中產(chǎn)生的連續(xù)的輪軌力簡化為一系列隨時(shí)間移動(dòng)的集中力荷載，采用節(jié)點(diǎn)加載的方式，將這些移動(dòng)的集中力荷載加載到軌道-槽形梁有限元模型中的鋼軌上，圖2所示為軌道-槽形梁的有限元模型。然后對(duì)其進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，即可計(jì)算出在列車荷載作用下槽形梁在時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)[10]。

圖2 軌道-槽形梁有限元模型Fig.2 Finite element model of track-trough girder

1.3 槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)響應(yīng)計(jì)算的邊界元法

理論上任意形狀的振動(dòng)結(jié)構(gòu)在外部流體介質(zhì)場Q中任意點(diǎn)P的穩(wěn)態(tài)聲壓p(r)可由Helmholtz積分公式計(jì)算得

(2)

槽形梁表面可以被認(rèn)為是具有小振幅運(yùn)動(dòng)的不滲透邊界，滿足Neumann邊界條件

?p/?n=-iωρv

(3)

式中：n為槽形梁表面邊界外法線向量；v為邊界表面的法向振動(dòng)速度向量；ρ為流體密度。

槽形梁結(jié)構(gòu)噪聲輻射在聲場無窮遠(yuǎn)處不存在反射波，因此還要滿足Sommerfield條件

(4)

式中：p為聲壓向量；r為聲場中場點(diǎn)距源點(diǎn)的距離；Γ為距離源點(diǎn)為r處的波陣面；SΓ為波陣面面積。利用加權(quán)殘值法，選用式(1)的基本解自由空間格林函數(shù)G(r,rS)，使用加權(quán)殘值法可求得：

(5)

式中：R=|r-rS|；k=ω/c為波數(shù)；c為流體介質(zhì)中的聲速。

當(dāng)式(2)中的r趨近于rS時(shí)，可得到Helmholtz表面積分方程：

(6)

其中：

C(rS)稱為表面角系數(shù)。

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率可通過下式求得：

(7)

式中：v*為的共軛復(fù)數(shù)。

在建立槽形梁聲學(xué)分析模型時(shí)，為準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)噪聲，在最小波長內(nèi)要有6個(gè)單元[11]，也就是最大單元的邊長要小于計(jì)算頻率最短波長的1/6。本文分析頻率為20～200 Hz，所以最大單元的邊長要滿足如下表達(dá)式

(8)

槽形梁的邊界元網(wǎng)格可以由有限元網(wǎng)格轉(zhuǎn)化得到，所以槽形梁的有限元網(wǎng)格劃分也應(yīng)該滿足式(8)。然后將列車荷載作用下軌道交通槽形梁在時(shí)域內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)，通過FFT將其變換為頻域內(nèi)的結(jié)果，再把頻域的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果作為聲學(xué)計(jì)算的邊界條件，導(dǎo)入到LMS Virtual.lab軟件中，采用邊界元法來計(jì)算軌道交通槽形梁結(jié)構(gòu)輻射噪聲的聲功率。

2 響應(yīng)面法介紹及原理

由于槽形梁的形狀是不規(guī)則的，所以很難用顯式表達(dá)式來計(jì)算槽形梁的輻射聲功率。而且結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化是一個(gè)反復(fù)迭代的過程，單次計(jì)算過程通常就需要花費(fèi)大量的計(jì)算資源和時(shí)間，需要多次調(diào)用仿真分析軟件。在優(yōu)化過程中，設(shè)計(jì)變量的變化可能導(dǎo)致單元計(jì)算產(chǎn)生問題，優(yōu)化迭代過程會(huì)因?yàn)閱未畏抡娴氖Ф拐麄€(gè)優(yōu)化過程無法進(jìn)行。針對(duì)以上問題，本文將響應(yīng)面法引入到槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中，用響應(yīng)面模型代替復(fù)雜的，具有多自由度的槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)仿真模型。

響應(yīng)面法可以采用多項(xiàng)式函數(shù)代替難以顯式化的狀態(tài)函數(shù)，通過多次迭代調(diào)整，一般都能滿足實(shí)際工程精度，具有較高的效率，很有使用價(jià)值，是一個(gè)很有發(fā)展前景的計(jì)算方法，也是處理優(yōu)化問題時(shí)常用的方法之一。華洪良等[12]就利用響應(yīng)面法對(duì)不同結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題做了研究。響應(yīng)面法是將合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)得到相關(guān)的數(shù)據(jù)采用回歸方程來擬合，得到設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)之間的近似函數(shù)關(guān)系。利用響應(yīng)面法來構(gòu)造近似模型時(shí)，首先要確定近似函數(shù)的形式，然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在空間內(nèi)選取足夠多的設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后確定響應(yīng)面模型多項(xiàng)式的次數(shù)，運(yùn)用最小二乘法原理對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)的結(jié)果進(jìn)行擬合得到響應(yīng)面模型。

結(jié)構(gòu)的性能值y關(guān)于變量x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式f(x)往往不能用顯式表達(dá)，但是只要給定了變量值就可以通過數(shù)值試驗(yàn)得到相應(yīng)的響應(yīng)值，那么就可以用擬合出來g(x)的去替代f(x)，即

y=f(x)≈g(x)

(9)

式中：g(x)表示的曲面為響應(yīng)表面。

由于性能響應(yīng)與變量之間函數(shù)關(guān)系未知，因此事先必須選擇函數(shù)g(x)的形式。選擇好的函數(shù)會(huì)使近似更精確，而且會(huì)使適合使用的設(shè)計(jì)空間域更寬廣。實(shí)際中根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，通常選取二次多項(xiàng)式的形式，其表達(dá)式為

(10)

式中：α0為常數(shù)項(xiàng)待定系數(shù)；αi為一次項(xiàng)待定系數(shù)；αij為二次項(xiàng)待定系數(shù)。

為了確定待定系數(shù)，需要做m次獨(dú)立試驗(yàn)，其中m≥k=(n+1)(n+2)/2，n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)。每次試驗(yàn)變量的取值不同，得到個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值y(i)(i=0, 1, …，m-1)，由最小二乘法原理可以得出

β=(XTX)-1XTy

(11)

其中

將試驗(yàn)設(shè)計(jì)的變量X和對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值y代入式(11)，即可求出響應(yīng)面模型中的待定系數(shù)，從而得到多項(xiàng)式的響應(yīng)面模型。

3 槽形梁聲學(xué)優(yōu)化的響應(yīng)面模型建立

3.1 設(shè)計(jì)變量及試驗(yàn)設(shè)計(jì)

城市軌道交通槽形梁的翼緣板的面積很小，槽形梁也主要由底板和腹板組成，而且槽形梁的結(jié)構(gòu)噪聲也主要由這兩部分引起的[8]，所以把槽形梁的底板厚度和腹板厚度作為響應(yīng)面法的設(shè)計(jì)變量，分別用和表示。根據(jù)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50157—2013)中的相關(guān)要求，底板厚度和腹板厚度的初始值及其變化范圍，如表1所示。

表1 槽形梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量初始值和變化范圍Tab.1 The initial value and the variation range of the design variables of trough girder

建立高精度響應(yīng)面模型較大程度上取決于對(duì)設(shè)計(jì)空間的采樣技術(shù)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)為利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與正交性原理，從大量試驗(yàn)點(diǎn)中選取合適的有代表性點(diǎn)。用正交表合理安排試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法。為保證響應(yīng)面模型的精度和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的次數(shù)，用中心組合設(shè)計(jì)法對(duì)設(shè)計(jì)空間采樣。聲功率表示的是結(jié)構(gòu)向外輻射噪聲的能力大小，所以把槽形梁輻射噪聲頻率在20～200 Hz內(nèi)的總聲功率級(jí)作為目標(biāo)響應(yīng)值，表2中列出了每次試驗(yàn)的變量取值及響應(yīng)值。

3.2 響應(yīng)面模型的建立及誤差分析

根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的結(jié)果，本文采用最小二乘法對(duì)設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值進(jìn)行擬合，得到槽形梁結(jié)構(gòu)輻射總聲功率級(jí)關(guān)于槽形梁底板厚度和腹板厚度的二次多項(xiàng)式函數(shù)，其表達(dá)式為：

表2 試驗(yàn)仿真次數(shù)和結(jié)果Tab.2 The simulation times and the resules

(12)

為了考察得到的槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化的響應(yīng)面模型能否用于后續(xù)的優(yōu)化分析，需要對(duì)其進(jìn)行誤差分析以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合精度。工程中常用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行檢驗(yàn)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。經(jīng)過計(jì)算得，復(fù)相關(guān)系數(shù)R2=0.955>0.9，顯著性檢驗(yàn)中的p=0.031<0.05，說明本文建立的響應(yīng)面模型的擬合精度高，擬合得到的響應(yīng)面模型是可靠的，可以用來后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4 槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化的結(jié)果

針對(duì)實(shí)際問題，為了保證優(yōu)化后的槽形梁具有足夠的剛度，并且考慮成本的因素，優(yōu)化后的槽形梁質(zhì)量應(yīng)該不高于初始質(zhì)量的15%，所以把槽形梁的質(zhì)量變化作為約束函數(shù)，則槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

(13)

式中：m0為槽形梁結(jié)構(gòu)的初始的質(zhì)量；Δm為在優(yōu)化過程中槽形梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量的改變量；其表達(dá)式為Δm=260.78x1+211.09x2-113.25。

由式(13)可知，該優(yōu)化問題屬于典型的不等式約束的非線性最小優(yōu)化問題，序列二次算法是求解這類優(yōu)化問題最有效的算法之一，編制相應(yīng)的算法程序，尋找槽形梁聲學(xué)最優(yōu)的截面尺寸，優(yōu)化后的結(jié)果如表3中所示。槽形梁的質(zhì)量從149.48 t增加到171.34 t，質(zhì)量增加了14.6%，滿足約束函數(shù)的條件。優(yōu)化后槽形梁輻射的總聲功率級(jí)為101.48 dB，而優(yōu)化前總聲功率級(jí)為104.92 dB，降低了3.44 dB，優(yōu)化結(jié)果表明有效的降低了槽形梁在列車荷載作用下向周圍環(huán)境輻射噪聲的總能量。

表3 設(shè)計(jì)變量取值Tab.3 Design variable value

為了驗(yàn)證響應(yīng)面模型優(yōu)化的正確性，把槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化后的底板和腹板厚度代入槽形梁結(jié)構(gòu)分析模型中，利用有限元法和邊界元法計(jì)算出槽形梁輻射噪聲頻率在20～200 Hz內(nèi)的總聲功率級(jí)，將響應(yīng)面模型與數(shù)值仿真的計(jì)算結(jié)果相對(duì)比，如表4所示。利用優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量計(jì)算出的總聲功率級(jí)為100.93 dB，與響應(yīng)面模型的優(yōu)化結(jié)果誤差僅為0.54%，這也說明槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)優(yōu)化的響應(yīng)面模型具有一定的準(zhǔn)確性。

表4 各模型計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculation results of each model

為分析槽形梁聲學(xué)優(yōu)化后的實(shí)際降噪效果，圖3和圖4分別給出了優(yōu)化前后在整個(gè)分析頻率范圍內(nèi)的槽形梁輻射聲功率級(jí)的頻譜圖和面聲場總體聲壓級(jí)的整體降噪效果圖。

圖3 優(yōu)化前后槽形梁輻射聲功率級(jí)Fig.3 Sound power level of trough girder before and after the optimization

圖4 優(yōu)化前后面聲場總體聲壓級(jí)差值Fig.4 The overall sound pressure level difference of surface sound field before and after the optimization

由圖3可知，在整個(gè)分析頻率范圍內(nèi)，槽形梁輻射噪聲的聲功率級(jí)都有不同程度的降低，說明優(yōu)化后槽形梁向外輻射噪聲的能量也減少了。而且由圖4可以發(fā)現(xiàn)，槽形梁經(jīng)過聲學(xué)優(yōu)化后，面聲場中各場點(diǎn)的總體聲壓級(jí)都有不同程度的降低，最大可降低4 dB左右。由此可知，把槽形梁輻射聲功率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)是可行的，因?yàn)椴坌瘟簝?yōu)化后面聲場總體聲壓級(jí)的降噪效果還是比較顯著。

5 結(jié) 論

本文基于車橋耦合分析模型，利用有限元法和邊界元法計(jì)算軌道交通30 m簡支槽形梁的輻射聲功率，將響應(yīng)面法與輻射聲功率計(jì)算相結(jié)合，建立了以槽形梁輻射結(jié)構(gòu)噪聲在分析頻率范圍內(nèi)的總聲功率級(jí)為目標(biāo)及以槽形梁質(zhì)量為約束的聲學(xué)優(yōu)化模型，再利用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解，最終找出了槽形梁結(jié)構(gòu)聲學(xué)最優(yōu)的截面尺寸。優(yōu)化后槽形梁底板厚度為0.34 m，腹板厚度為0.22 m。計(jì)算結(jié)果表明，利用響應(yīng)面法可以有效的對(duì)槽形梁進(jìn)行聲學(xué)優(yōu)化，而且優(yōu)化后的降噪效果還是比較顯著的。