劉燦昌， 鞏慶梅， 馬馳騁， 周繼磊， 姜瑞瑞， 周長城

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

近年來，隨著電子材料制造由二維降至一維，單原子鏈作為一種理想的一維導(dǎo)體，具有亞納米尺寸、量子化電導(dǎo)、高長寬比和彈性模量、特殊的光學(xué)和電磁響應(yīng)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于光學(xué)和電子學(xué)等納米器件的制造。單原子鏈還具有終極大的比表面積、電導(dǎo)開關(guān)和負(fù)微分電阻等特性[1-2]，是納米電子器件的重要組成部分[3]。

高頻納電子機(jī)械系統(tǒng)(Nano-Electromechanical System，NEMS)振蕩器的制備是十余年來極為活躍的研究課題。Rouke課題組[4]制備出超過十億赫茲的NEMS振蕩器。Chaste等[5]制成的碳納米管諧振器基頻達(dá)到了千兆赫茲。隨著碳納米管等新結(jié)構(gòu)出現(xiàn)，碳納米管振蕩器的基頻得到較大提高，由于碳納米管在生長上無法控制，難以批量制備，阻礙了在實(shí)際電路中的應(yīng)用[6]。目前，高頻振蕩器的核心部件納米結(jié)構(gòu)因存在尺寸效應(yīng)、量子效應(yīng)[7]和材料缺陷等原因限制了振蕩器性能的提高，制約電子技術(shù)的發(fā)展，因而，迫切需要一種新結(jié)構(gòu)以滿足高基頻、高品質(zhì)因數(shù)的需要。

近幾年來，科學(xué)工作者提出了許多單原子鏈制造方法并展開單原子鏈相關(guān)特性的研究。Ohnishi等[8]首先制造了金單原子鏈。通過移除石墨烯納米帶中的碳原子可以得到線性原子鏈[9-10]。直接利用電弧或用含有氫氣、液氮和氦氣的電弧可以在多層碳納米管內(nèi)合成碳鏈[11-12]。第一性原理已經(jīng)廣泛應(yīng)用于單原子鏈的電導(dǎo)特性、電子輸運(yùn)性能、吸附性能的研究[13-15]。Yu[16]利用遞歸關(guān)系方法研究了含有雜質(zhì)雙原子鏈動(dòng)量自相關(guān)函數(shù)。解憂等研究了扶手椅型石墨烯納米帶吸附金屬磁性Ni和非磁性Cu 單原子鏈的結(jié)構(gòu)、電子性質(zhì)和磁性[17]。華軍等[18]利用分子動(dòng)力學(xué)方法建立了硅離子輻照石墨烯和輻照后拉伸的數(shù)值模型。

單原子鏈的振動(dòng)研究引起了科技界的普遍重視。Hizhnyakov等[19]利用解析和數(shù)值方法研究垂直于單原子鏈方向和垂直石墨烯表面的非諧橫向振動(dòng)。Glushko等[20]運(yùn)用矩陣轉(zhuǎn)置法研究了單原子鏈色散與電子密度分布狀態(tài)的關(guān)系。Kosevich等[21]對含有四階空間導(dǎo)數(shù)的微分方程的適用條件進(jìn)行了分析，描述了原子鏈的長波振動(dòng)?？茖W(xué)家們在具有螺旋結(jié)構(gòu)的單原子錳鏈中發(fā)現(xiàn)了法諾共振現(xiàn)象[22]。Hoogeboom等[23]研究了單原子顆粒鏈離散呼吸子的存在、穩(wěn)定性與動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，并研制出了一整套系統(tǒng)性的檢測方法。然而，以上研究基于第一性原理的分子動(dòng)力學(xué)模擬，計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大，難以應(yīng)用于多原子結(jié)構(gòu)的計(jì)算。因此，在單原子鏈制作技術(shù)不斷提高的今天，亟須加強(qiáng)對單原子鏈橫向振動(dòng)的理論研究。

本文研究了考慮原子縱向位移時(shí)單原子鏈的橫向振動(dòng)，假設(shè)其橫向振動(dòng)模態(tài)為弦的振動(dòng)模態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律建立單原子鏈橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，研究了固有角頻率與納米線的壓電控制電壓、長度之間的關(guān)系。通過數(shù)值迭代法，結(jié)合單原子鏈的邊界條件與對稱性計(jì)算得到原子的縱向振動(dòng)位置坐標(biāo)，并給出單原子鏈納米線的固有角頻率的計(jì)算公式和壓電控制電壓的量子極限值。

1 單原子鏈的自由振動(dòng)

單原子鏈納米線橫向振動(dòng)壓電控制裝置包括單原子鏈納米線和壓電控制電路。如圖1所示，壓電控制電路由上壓電塊和下壓電塊串聯(lián)組成，壓電塊上表面和下表面鍍有一層金薄膜，通過導(dǎo)線與控制電壓源連接，組成閉合控制電路。調(diào)節(jié)控制電壓源的控制電壓，可以改變壓電塊軸向位移，單原子鏈沿著軸向位移變化改變軸向力的大小，實(shí)現(xiàn)軸向力的控制。

圖1 單原子鏈?zhǔn)疽鈭DFig.1 Monatomic chains diagram

單原子鏈中的原子由化學(xué)鍵連接，化學(xué)鍵的長度，即相鄰原子間的間距為非固定值，原子鏈橫向振動(dòng)時(shí)其所有原子整體振動(dòng)，因而可將單原子鏈的振動(dòng)模態(tài)視為弦的橫向振動(dòng)模態(tài)。納米線的熱振動(dòng)振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其橫向振動(dòng)振幅，因此可忽略不計(jì)。

圖2 原子的受力分析Fig.2 Forces analysis of the atoms

單原子鏈結(jié)構(gòu)具有連續(xù)性和離散性的特征，動(dòng)力學(xué)建模較為復(fù)雜。為簡化單原子鏈振動(dòng)模型，提出如下假設(shè)：

(1) 當(dāng)單原子鏈平衡時(shí)所有原子處于一條直線上。

(2) 單原子鏈振動(dòng)為納米線的振動(dòng)，其橫向振動(dòng)模型可視為弦振動(dòng)模態(tài)。本文還假設(shè)單原子鏈的橫向振動(dòng)為簡諧振動(dòng)，單原子鏈原子具有相同的振動(dòng)特征，即具有相同的固有角頻率。

(3) 單原子鏈納米線相鄰原子間的彈性剛度為固定常數(shù)，忽略原子間的彎曲剛度。

單原子鏈由N+1個(gè)原子組成，單個(gè)原子的質(zhì)量為mk(k為原子的編號(hào))，單原子鏈納米線的橫向振動(dòng)撓度可表示為

(1)

式中：wk表示單原子鏈納米線中第k個(gè)原子的振動(dòng)撓度;qki為第k個(gè)原子橫向振動(dòng)時(shí)的時(shí)域函數(shù);i是納米線振動(dòng)模態(tài)的模態(tài)數(shù);xk為第k個(gè)原子的位置坐標(biāo)。t為時(shí)間函數(shù);l則是單原子鏈納米線的長度。不失一般性，先研究單原子鏈納米線第i階模態(tài)振動(dòng)特性，其它模態(tài)振動(dòng)特性采取類似的研究方法。原子受力如圖2所示。

由牛頓第二定律可以得出

T2cosαk+1-T1cosαk-1=0

(2)

(3)

T2-T1=0

(4)

(5)

單原子鏈橫向振動(dòng)時(shí)，不同原子所在位置的轉(zhuǎn)角不同，導(dǎo)致受力不同，原子間距離因力的大小改變出現(xiàn)變化，因而研究單原子鏈橫向振動(dòng)時(shí)，需要考慮原子位置坐標(biāo)的變化。兩個(gè)相鄰原子間的撓度差值可寫為

(6)

(7)

第k-1與第k+1個(gè)原子的時(shí)域函數(shù)可寫為

(8)

(9)

將等式(8)、(9)與(1)代入式(5)中，得到單原子鏈納米線的振動(dòng)方程

(10)

由于單原子鏈橫向振動(dòng)原子的固有角頻率為正值，其平方根表達(dá)式為

(11)

壓電控制器軸向力可以表示為

(12)

壓電控制單原子鏈納米線橫向振動(dòng)固有角頻率可以表示為

(13)

式中：L為壓電片的長度;K為原子間力常數(shù);d為壓電片的厚度;d31為壓電片的壓電常數(shù);n為單原子鏈原子間隔數(shù);U為壓電塊控制電壓。

2 單原子鏈縱向位移計(jì)算

根據(jù)離散體的變形協(xié)調(diào)原則可知單原子鏈做橫向振動(dòng)時(shí)所有原子具有相同的固有角頻率，因而可以令相鄰原子的固有角頻率相等，得到

ωk=ωk+1,k=1,2,…,N-2

(14)

考慮單原子鏈的邊界條件和對稱條件，未知變量數(shù)等于方程組方程的個(gè)數(shù)，非線性方程組是可解的。

由于方程組是非線性方程組，因此難以得到方程組的解析解。通過牛頓迭代法可以計(jì)算出方程組的數(shù)值解。振動(dòng)頻率非線性方程組可寫為

(15)

式中：Z=[z1…z(N-1)/2z(N+1)/2zN-1]T(N為奇數(shù))，Z=[z1…zN/2zN/2+dzN-1]T(N為偶數(shù))。 振動(dòng)頻率非線性方程組迭代計(jì)算公式為

Z(j+1)=Z(j)-(F′(Z(j)))-1F(Z(j))

(16)

式中： (F′(Z(j)))-1是導(dǎo)數(shù)矩陣F(Z)中的逆矩陣。

3 振動(dòng)量子極限分析

近年來量子電子機(jī)械系統(tǒng)(Quantum-Electro Mechanical Systems, QEMS)成為研究的熱點(diǎn)問題，NEMS和QEMS一般按照無量綱“熱占有數(shù)”劃分

(17)

(18)

若應(yīng)力小于或等于ULimit， 單原子鏈振動(dòng)則屬于NEMS范疇；否則，則應(yīng)考慮單原子鏈振動(dòng)的量子效應(yīng)。將振動(dòng)模型量子化，其量子化能量可以表示

(19)

式中：M為單原子鏈振動(dòng)固有角頻率占有因數(shù)。

4 算例分析與討論

本文以單原子鏈納米線橫向振動(dòng)為研究實(shí)例進(jìn)行分析。單原子鏈兩相鄰碳原子的間距r0為1.282×10-10m，兩原子間鍵力剛度K為642 N/m，單原子鏈長度l=(N-1)(r0+T/K)，碳原子質(zhì)量為1.993×10-26kg[24]。算例中，奇數(shù)單原子鏈的原子個(gè)數(shù)分別為7，9和11，偶數(shù)單原子鏈的原子個(gè)數(shù)分別為8，10和12，研究第3個(gè)原子振動(dòng)頻率。以下算例僅以單原子鏈一階模態(tài)振動(dòng)為例展開分析。

碳單原子鏈納米線諧振動(dòng)軸向力控制電壓量子極限隨溫度的變化圖像如圖4所示。壓電塊長度為10 nm，厚度為2 nm，壓電常數(shù)為d31=123×10-12C/N。

圖4 碳單原子鏈控制電壓量子極限值隨溫度變化圖Fig.4 Axial force control quantum limitation voltage changing with temperature

表1 原子個(gè)數(shù)為7時(shí)的非線性方程組的迭代解Tab.1 Iterative solutions to the nonlinear equation groupfor a seven-atom chain

由圖4可知，當(dāng)單原子鏈納米線長度一定時(shí)，其諧振動(dòng)的軸向力控制電壓量子極限隨著溫度的升高而增大，溫度越高，軸向力控制電壓量子極限值越大。當(dāng)溫度一定時(shí)，單原子鏈納米線諧振動(dòng)的軸向力控制電壓量子極限隨著單原子鏈長度的變小而變小，長度越小，軸向力控制電壓量子極限值越小。

圖5表示碳單原子鏈固有角頻率與軸向力控制電壓的變化關(guān)系圖，圖中單原子鏈原子個(gè)數(shù)分別為7，9，11。由圖5可知，原子的軸向力控制電壓對固有角頻率的變化作用明顯。當(dāng)單原子鏈原子個(gè)數(shù)一定時(shí)，固有角頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大。當(dāng)軸向力控制電壓不變時(shí)，固有角頻率的固有值則隨原子鏈長度的縮短而增加。因此，通過改變單原子鏈納米線原子個(gè)數(shù)和軸向力控制電壓可以實(shí)現(xiàn)固有角頻率控制。當(dāng)單原子鏈諧振器受到的激勵(lì)頻率等于納米梁固有角頻率時(shí)，諧振器會(huì)發(fā)生共振，此時(shí)激勵(lì)頻率是共振頻率。圖6表示單原子鏈一階振動(dòng)模態(tài)共振頻率與軸向力控制電壓變化關(guān)系圖，圖中原子個(gè)數(shù)分別為7、9、11。共振頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大。當(dāng)軸向力控制電壓為常數(shù)時(shí)，共振頻率的數(shù)值隨原子鏈長度的縮短而增加。

圖7與圖8為碳單原子鏈固有角頻率與共振頻率與軸向力控制電壓的變化關(guān)系示意圖，單原子鏈原子個(gè)數(shù)分別為8，10與12。由圖可知，固有角頻率與共振頻率的數(shù)值則隨原子鏈長度的縮短而增加。當(dāng)單原子鏈長度為常數(shù)時(shí)，其固有角頻率與共振頻率隨納米線軸向力控制電壓的增加而增加。因此，通過改變單原子鏈納米線長度和軸向力控制電壓可以改變系統(tǒng)固有角頻率與共振頻率。

圖5 碳單原子鏈固有角頻率與軸向力控制電壓的關(guān)系圖Fig.5 Variation of the natural angular frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

圖6 碳單原子鏈共振頻率與軸向力控制電壓變化關(guān)系圖Fig.6 Variation of the resonant frequency of the carbon mo-natomic chain changing with control voltage

圖7 碳單原子鏈固有角頻率隨軸向力控制電壓變化圖Fig.7 Variation of the natural angular frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

圖8 碳單原子鏈共振頻率隨軸向力控制電壓的變化圖Fig.8 Variation of the resonant frequency of the carbon monatomic chain changing with control voltage

碳原子鏈的鍵破斷強(qiáng)度為2.6～13.4 nN[25]，壓電對單原子鏈軸向控制力的可控范圍較大，可通過選定適當(dāng)?shù)膲弘娍刂齐妷簛碚{(diào)諧固有角頻率值。利用單原子鏈納米線固有角頻率隨軸向張力改變的特性制造高頻諧振器，滿足納機(jī)電系統(tǒng)時(shí)鐘電路、調(diào)諧器等對高頻信號(hào)的需求，將極大推動(dòng)諧振器技術(shù)的發(fā)展。

5 結(jié) 論

本文基于弦振動(dòng)理論建立單原子鏈納米線的運(yùn)動(dòng)方程。通過設(shè)定恰當(dāng)?shù)妮S向力控制電壓與鏈長可設(shè)計(jì)出超高頻單原子鏈諧振器。

運(yùn)用迭代算法可以求出納米線原子縱向位移非線性方程組的迭代解，得到納米線橫向振動(dòng)原子的縱向位置坐標(biāo)值，迭代算法數(shù)值解收斂快。兩端固支單原子鏈納米線的振動(dòng)具有對稱性。

通過熱占有數(shù)可以區(qū)分NEMS和QEMS，得到量子極限時(shí)的壓電控制臨界電壓。單原子鏈納米線諧振動(dòng)的軸向力控制電壓量子極限值隨著溫度的升高而增大，隨著單原子鏈長度的變小而變小。改變環(huán)境溫度和單原子鏈的長度可以改變軸向力控制電壓量子極限值。

作用于單原子鏈的軸向力控制電壓能改變系統(tǒng)的固有角頻率。固有角頻率和共振頻率隨軸向力控制電壓的增大而增大，隨原子鏈長度的縮短而增加。通過改變單原子鏈納米線原子的軸向力控制電壓可以改變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)參數(shù)。