蔡佐威　黃立宏

摘 要 通過考慮需求函數(shù)和供給函數(shù)受到不連續(xù)因素的影響以及引進(jìn)切換型的控制策略，建立由右端不連續(xù)微分方程刻畫的非線性價(jià)格調(diào)整模型.利用微分包含理論和Lyapunov穩(wěn)定性方法分析不連續(xù)價(jià)格調(diào)整模型的有限時(shí)間穩(wěn)定化控制問題，并給出數(shù)值模擬實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證說明.最后，結(jié)合動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)建模提出數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞 應(yīng)用數(shù)學(xué)；有限時(shí)間穩(wěn)定化；Lyapunov函數(shù)法；動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號 O193； O231； F22 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Abstract By considering the influence of discontinuous factors on demand function and supply function and introducing the control strategy of switching type， a nonlinear price adjustment model described by discontinuous differential equation is established. By using differential inclusion theory and Lyapunov stability method， the finite time stabilization control problem of the discontinuous price adjustment model is analyzed. Moreover， the numerical simulation examples are given to verify the results. Finally， combining the mathematical modeling of dynamic economics， several suggestions on the teaching reform of mathematical modeling is put forward.

Key words applied mathematics； finite-time stabilization； Lyapunov function method； dynamic economics； mathematical modeling

1 引 言

數(shù)學(xué)建模無論在科學(xué)技術(shù)研究還是在國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中都起著尤為重要的作用.數(shù)學(xué)建模主要是利用數(shù)學(xué)語言對社會經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題和現(xiàn)象進(jìn)行描述，并通過對尋找變量之間的關(guān)系建立出由函數(shù)或方程刻畫的數(shù)學(xué)模型.經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為經(jīng)濟(jì)變量是動(dòng)態(tài)的，會隨著時(shí)間的變化而改變，所以對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和動(dòng)態(tài)分析是非常必要的.對經(jīng)濟(jì)

系統(tǒng)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析最早可追溯到20世紀(jì)30年代末，Samuelson （1939）[1]利用動(dòng)態(tài)分析理論對經(jīng)濟(jì)周期模型進(jìn)行了研究，并且指出如果經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究者沒有掌握一定的動(dòng)態(tài)分析理論，將會影響對現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的理解.Romer （1986）[2]對經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)增長問題進(jìn)行了研究，并掀起了動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究高潮.目前動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)重要的研究方向，并滲透到了宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的許多領(lǐng)域，動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的課程也在歐美很多高校進(jìn)行了開設(shè).此外，經(jīng)濟(jì)學(xué)與控制論是密切相關(guān)的，Sengupta和Fanchon（1997）[3]建立了LQG問題中的分離定理與控制論有密切的關(guān)系.在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模型引入政策變量和決策變量等控制變量對經(jīng)濟(jì)的宏觀調(diào)控能起到積極的指導(dǎo)作用，例如政府的支出、利率的調(diào)整、貨幣的發(fā)行、消費(fèi)策略等都可作為經(jīng)濟(jì)控制變量.關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)建模和動(dòng)力學(xué)分析需要用到一些新穎的工具和方法，例如，Akira （2001）[4]探討了非線性規(guī)劃、不確定性和最優(yōu)控制理論等經(jīng)濟(jì)學(xué)分析方法；王翼和王歆明（2006）[5]利用Matlab工具研究動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題；Filippov （1988）[6]闡述了微分包含理論；Clarke （1983）[7]介紹了非光滑分析方法；Forti等 （2006）[8]推廣了Lyapunov函數(shù)法.近年，關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)建模和動(dòng)力學(xué)分析有一些很好的結(jié)論.陳燕燕 （2017）[9]建立了基于金融混沌系統(tǒng)的線性控制模型，并實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制.徐玉華等 （2017）[10]利用動(dòng)力學(xué)原理建立經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，并研究了均衡解的穩(wěn)定性.總之，在高校研究生或大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)與實(shí)踐中，動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)建模與動(dòng)態(tài)分析是非常熱門的研究方向之一.對動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和動(dòng)態(tài)分析無論對高校學(xué)生邏輯推理、空間想象和科學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，還是對推動(dòng)科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展都起著尤為重要的指導(dǎo)作用.

2 動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)建模分析

2.1 動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)建模過程

動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)建模不但會運(yùn)用到數(shù)學(xué)理論知識和方法，例如常微分方程、泛函微分方程、線性代數(shù)、概率論、Lyapunov穩(wěn)定性方法等，還會用到經(jīng)濟(jì)學(xué)原理、現(xiàn)代控制理論和計(jì)算機(jī)軟件編程等相關(guān)專業(yè)的知識.眾所周知，產(chǎn)品的價(jià)格由市場供求來決定，當(dāng)產(chǎn)品供大于求時(shí)，產(chǎn)品的價(jià)格將會下降，而當(dāng)產(chǎn)品供不應(yīng)求時(shí)，產(chǎn)品價(jià)格就會上漲.這種產(chǎn)品價(jià)格的變化過程可近似由微分方程系統(tǒng)來描述.因?yàn)榻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)的，經(jīng)濟(jì)變量隨著時(shí)間的變化而改變.當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格的變化與供求差額成正比時(shí)，可得到如下由常微分方程描述的n種產(chǎn)品的非線性價(jià)格調(diào)整模型：

3 結(jié) 論

通過考慮需求函數(shù)和供給函數(shù)受到不連續(xù)因素的影響并引進(jìn)切換型的控制策略，對非線性價(jià)格調(diào)

整模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模與有限時(shí)間穩(wěn)定化控制分析.數(shù)學(xué)建模本身就與經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步密切聯(lián)系.在數(shù)學(xué)建模的研究和教學(xué)過程中應(yīng)利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論與方法進(jìn)行科學(xué)研究并解決經(jīng)濟(jì)生活中存在的問題.通過分析，對動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究和高校人才培養(yǎng)及數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革有如下幾點(diǎn)建議：（1）數(shù)學(xué)建模應(yīng)緊密聯(lián)系當(dāng)前的社會經(jīng)濟(jì)需求，特別是與前沿的經(jīng)濟(jì)科學(xué)問題緊密聯(lián)系.（2）加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中的專業(yè)性建設(shè)，提高高等學(xué)校專任教師及科研人員的綜合素質(zhì)，特別是加大對高層次跨學(xué)科人才的培養(yǎng).（3）在高校研究生與本科生相關(guān)專業(yè)的人才培養(yǎng)過程中，應(yīng)開展動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)建模和動(dòng)態(tài)分析研究.

參考文獻(xiàn)

[1] Samuelson P A. Interactions Between The Multiplier Analysis and The Principle of Acceleration [J]. The Review of Economics and Statistics， 1939（21）： 75-78.

[2] Romer P M. Increasing Returns and Long-run Growth [J]. Journal of Political Economy， 1986， 94（5）： 1002-1037.

[3] Sengupta J K， Fanchon P. Control Theory Methods in Economics [M]. New York： Kluwer Academic Publishers， 1997.

[4] Akira Takayama. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的分析方法[M]. 北京： 中國人民大學(xué)出版社， 2001.

[5] 王翼， 王歆明. Matlab在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 2006.

[6] Filippov A F. Differential Equations with Discontinuous Right-hand Side [M]. Boston， Kluwer Academic， 1988.

[7] Clarke F H. Optimization and Nonsmooth Analysis [M]. New York： Wiley， 1983.

[8] Forti M， Grazzini M， Nistri P， et al. Generalized Lyapunov Approach for Convergence of Neural Networks with Discontinuous or Non-Lipschitz Activations [J]. Physica D， 2006， 214： 88-89.

[9] 陳燕燕. 一類金融混沌系統(tǒng)的線性控制模型[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2017， 34（4）： 48-52.

[10]徐玉華， 克忠義， 杜明娟， 白雪寒. 基于動(dòng)力學(xué)視角的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)， 2017， 34（4）： 85-88.