陳楚天

[寧波市效實中學高三(2)班 浙江 寧波 315012]

關(guān)鍵字：陽光 影子 形變 幾何光學

陽光明媚的日子，如果仔細觀察，便會發(fā)現(xiàn)一種有趣的現(xiàn)象：當一個影子很靠近另一個影子的時候，會發(fā)現(xiàn)其中一個影子發(fā)生形變(如圖1所示，書角的影子發(fā)生明顯的形變)，并以比相離較遠時更快的趨勢接近另一個影子．主要表現(xiàn)如下：

(1)這種有趣的現(xiàn)象在影子相距很近(即將相接)時才會發(fā)生(圖1，僅很靠近窗框影的書影的角發(fā)生了這一現(xiàn)象)．

(2)此時，物移動相同距離，影子移動距離顯著大于相距較遠時．

(3)若影子邊線不互相平行，還將伴有明顯形變(圖1，書影的角部發(fā)生形變，明顯偏離直角)．

(4)離屏近的物的影改變較大，離屏遠的物的影幾乎不變(圖1，窗框影觀察不到明顯形變)．

圖1 書的直角影子(圖中左側(cè)影子)靠近窗框的直邊影子(圖中右側(cè)影子)的情形.其中書離屏近，窗框離屏遠

這一現(xiàn)象早已有人注意，但鮮有人給出正確分析．流行的解釋有兩種：

一是認為衍射使然．然而陽光的相干性并不太好，且陽光并非單色光，若是衍射使然，則不免發(fā)生色散，而實際觀察中屏上陽光只是整體變暗，并無色散．故仍應從幾何光學入手來解釋．

二是認為半影疊加使然．誠然，兩個物的半影交疊區(qū)是會變暗．但這一現(xiàn)象出現(xiàn)在我們所討論的現(xiàn)象出現(xiàn)之前，不在本文討論范圍之內(nèi)．我們觀察到并將在下文予以討論的是整個影區(qū)特別是全暗區(qū)域的扭曲變形，而非半影交疊區(qū)的簡單變暗(這并不能造成全暗區(qū)的變化)．另外，此解釋也無法說明上面提到的(4)中體現(xiàn)出的不對稱性．

其實如仔細觀察，更能發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的另一表現(xiàn)：

(5)在本文所討論現(xiàn)象發(fā)生的同時可以觀察到離屏近的物上有離屏遠的物的影．

僅就這表現(xiàn)我們就可以判斷，這一現(xiàn)象是一物進入另一物的半影區(qū)所造成的，由此也可解釋(4)中所體現(xiàn)出的不對稱性．

下面我們作具體分析．

現(xiàn)約定：

(1)稱日心到地表某點的連線為陽光光軸，由于日地距離極大，對該點附近的點，光軸方向可視為不變．

(2)陽光可視為由多組平行光組成，它們相對光軸有旋轉(zhuǎn)對稱性．將陽光與光軸的夾角記為θ．記陽光中與光軸夾角最大者夾角為θ0，此即太陽對地半張角．

(3)陽光完全照不到的區(qū)域稱為全暗區(qū)，其邊界稱為全暗線．

并進行以下理想化處理：

(1)遮擋物為兩個不透光且足夠大的半平面α和β；

(2)α和β與光屏平面γ平行，與γ間距分別為a和b(a>b)；

(3)陽光正入射，即光軸垂直于γ．

為解決這一問題，我們誠然可以計算γ上的光強分布，但計算繁復而無必要，我們只須考察全暗線的形狀即可．

情形Ⅰ，α和β邊線平行時，設(shè)參數(shù)如圖2所示．

圖2 情形Ⅰ

當β未進入α的半影區(qū)，即d>(a-b)tanθ0時，容易畫出其本影、半影區(qū)，不難得出A左與B右為全暗區(qū)，γ上影為α和β二者影的簡單相加，容易得到

(1)

(2)

而當β進入α的半影區(qū)，即d<(a-b)tanθ0時，如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)光線*成為極限光線，A左側(cè)，B′右側(cè)即成全暗區(qū)．

圖3 β進入α半影區(qū)后的側(cè)視圖

由圖示幾何關(guān)系有

(3)

(4)

即變化趨勢變大．同時我們發(fā)現(xiàn)A相對α位置并不改變，故(1)、(2)、(4)即得解釋．

情形Ⅱ，α和β邊線成δ角時[δ∈(0,π)]，設(shè)參數(shù)如圖4所示．

圖4 情形Ⅱ，γ面上投影圖

之前已經(jīng)說明，影區(qū)變化是由一個物體進入另一個物體的影區(qū)產(chǎn)生的，故額外的全暗區(qū)一定在兩個物體半影區(qū)的交疊區(qū)M區(qū)(即圖中陰影區(qū)域)內(nèi)．

設(shè)一與光軸夾角為θ[θ∈(0,θ0)]，在γ面上投影與la夾角為φ的光線n能照到該點上，則n與α，β所在平面的交點必在半徑分別為atanθ，btanθ的圓周上．為使n不被α，β遮擋，其交點必在α，β邊線之外．

將所有圖形投影到γ面上，則得圖5.

圖5 將所有圖形投影到γ面上得到的圖形

由幾何關(guān)系

(5)

同時為使n可存在，應有角度關(guān)系

∠1+∠2>π-δ

(6)

故有

(7)

式(7)表示的是一片包含C點即(0,0)點的區(qū)域(亮區(qū))，記該區(qū)域為Ω(θ)，其邊界為橢圓的一部分．可知Ω(θ)相互關(guān)于C點位似，位似比為tanθ．

可知θ取最大值θ0時，Ω(θ)范圍最大，故全暗線方程為

(8)

也可對式(8)兩側(cè)取余弦并移項平方，即可表達為另一形式

式(9)表現(xiàn)的是一個以C為中心的與la，lb相切于A，B的橢圓．因受式(10)的限制，只能取A和B間部分，這與直接用式(8)作圖結(jié)果相同．記此結(jié)果表示的全暗線為E．

按式(9)可算得A和B與O距離分別為btanθ0(cscδ+cotδ)，atanθ0(cscδ+cotδ)，并可使用MATLAB作出不同條件下曲線E的圖，如圖6所示．(為使我們能對角度大小有一直觀感受，下文δ在呈現(xiàn)時都改為采用角度制．)

圖6

最后，將理論計算得的E與實際拍攝結(jié)果進行比較．圖7和圖8所示為不同條件下實拍、曲線E的理論計算以及計算結(jié)果和分層設(shè)色(將灰度值一定范圍內(nèi)的像素改賦一定的顏色)后的實拍圖比較的情況．

圖7

圖8

可以發(fā)現(xiàn)，拍攝圖片和理論計算的擬合程度非常好，同時a=b的極限情況下，E為一段圓弧，和我們?nèi)粘＝?jīng)驗相符；這更驗證了本模型的正確性．

至此，所有現(xiàn)象均得到了解釋．