郭燦 胡龔高，2

（1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院 400045；2.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（重慶大學(xué)） 400045）

引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的剪滯模型最早由Cox［1］在1952年提出，該理論假定基體和纖維的接觸面是理想界面。之后很多的研究者將剪滯模型應(yīng)用到復(fù)合材料的應(yīng)力傳遞研究中。Shetty等［2］利用剪滯模型在分析單根纖維拔出試驗(yàn)時(shí)估算復(fù)合材料的界面應(yīng)力，劉永勝［3］在界面理想的情況時(shí)理論分析了復(fù)合材料的應(yīng)力傳遞，Gao［4］等研究了界面完全粘結(jié)時(shí)的基體及纖維的應(yīng)力分布。為了考慮界面的不完全粘結(jié)，使模型更加真實(shí)，有研究者在研究復(fù)合材料的過程中用不同的模型模擬界面，高慶等［5］在分析修正傳統(tǒng)剪滯模型時(shí)的界面應(yīng)力傳遞，通過有限元驗(yàn)證修正剪滯模型的必要性。王坎盛等［6］在經(jīng)典剪滯理論的基礎(chǔ)上利用內(nèi)聚力模型表征界面的力學(xué)行為得到復(fù)合材料的應(yīng)力傳遞。目前描述復(fù)合材料的界面的力學(xué)行為主要有線性材料模型［7］、三相材料模型［8］和內(nèi)聚力模型［9］，其中內(nèi)聚力模型是研究復(fù)合材料界面的主要手段，它表征的是基體與纖維的分離量與界面應(yīng)力的關(guān)系，模擬了界面的硬化，軟化，直至破壞的過程，能較好地模擬纖維與基體間界面的力學(xué)行為，因而在研究短纖維復(fù)合材料上得到廣泛的應(yīng)用。目前的內(nèi)聚力模型主要有雙線性應(yīng)力位移法［10］、梯形應(yīng)力位移法［11］、多項(xiàng)式型應(yīng)力位移法［12］三種。其中雙線性應(yīng)力位移法能夠較好地模擬界面的力學(xué)性能，已有人利用該模型模擬了纖維拔出，宗要武等［13］在有限元分析中引入內(nèi)聚力模型模擬了鋼纖維增強(qiáng)水泥基材料的界面荷載傳遞。本文在考慮基體正應(yīng)力的情況下，利用剪滯理論，引入雙線性應(yīng)力應(yīng)變位移法模擬界面的滑移關(guān)系，推導(dǎo)出纖維應(yīng)力分布與界面剛度及材料參數(shù)的關(guān)系。最后從理論上討論界面剛度對纖維應(yīng)力分布的影響；利用試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，求得界面剛度，通過與王坎盛等［6］的結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)基體正應(yīng)力對預(yù)測界面剛度的影響較大。

1 界面應(yīng)力傳遞的理論推導(dǎo)

1.1 雙線性cohesive模型

線性張開應(yīng)力位移法則最初是由Mi等［14］提出的一種簡單而有效的內(nèi)聚力模型，雙線性模型被普遍應(yīng)用于有限元分析軟件中進(jìn)行計(jì)算分析，與其他張開位移關(guān)系相比，雙線性張開位移關(guān)系模型簡單有效，能較好地與有限元算法相適應(yīng)。本文應(yīng)用該模型模擬基體與纖維之間界面的力學(xué)行為，其界面切向應(yīng)力與分離量的關(guān)系如圖1所示。

圖1 雙線性模型Fig.1 Bilinearcohesivezonemodel

對于雙線性應(yīng)力位移關(guān)系，切應(yīng)力達(dá)到最大值之前，切應(yīng)力隨著分離量線性增長，即在材料未達(dá)到其自身的開裂強(qiáng)度之前，材料仍處于線彈性階段。隨之當(dāng)張開應(yīng)力超過最大值之后（δ0≤δ≤δf），材料出現(xiàn)損傷，隨張開位移的增大而線性減小，直到τ趨于0，材料完全破壞。本文只考慮線彈性部分。

1.2 剪滯模型

建立如圖2所示的應(yīng)力傳遞的簡化圖，其中xoyz為空間坐標(biāo)系，該模型長度為L，纖維所在位置長度為2Lt，半徑為a，受到應(yīng)力荷載為σ，該模型在空間上為軸對稱模型。

圖2 應(yīng)力傳遞分析模型Fig.2 Modeloftransferanalysisforstress

在代表性單元中，采用柱坐標(biāo)系，其平衡方程為：

根據(jù)文獻(xiàn)［4］可知纖維與基體的正應(yīng)力滿足方程式：

1.3 引用雙線性cohesive模型

在工程實(shí)際中，由于在制作纖維復(fù)合材料的過程中，纖維與基體之間難免會有各種缺陷使得界面不完全粘結(jié)，而cohesive模型已被許多學(xué)者用來模擬復(fù)合材料界面的不完全粘結(jié)，即基體和纖維在界面（－Lt≤z≤Lt，ρ＝a）上存在分離量δ：

對式（6）兩邊求導(dǎo)得到纖維與基體在界面上的應(yīng)變關(guān)系：

由于纖維只受軸向應(yīng)力的作用，可得在r＝a處的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式：

又因?yàn)槔w維的橫截面積很小，界面上的正應(yīng)力可以用平均正應(yīng)力取代，把式（8）代入式（7）得到基體與纖維在r＝a處的正應(yīng)力關(guān)系：

然后對式（4）求導(dǎo)可得：

將式（9）、式（10）代入式（5）得到有關(guān)纖維正應(yīng)力滿足的方程：

由式（11）求得纖維的平均正應(yīng)力：

再把式（12）代入式（4）得到纖維在ρ＝a處的切應(yīng)力：

在這里沿用文獻(xiàn)［6］的假定，假定纖維末端沒有應(yīng)力傳遞，因而有邊界條件＝0 代入式（12）得到c1、c2：

將c1、c2代入式（12）、式（13）得到：

把式（15）、式（16）代入式（9）得到：

最后把式（17）、式（15）、式（3）代入式（2）可以得到有關(guān)基體正應(yīng)力的表達(dá)式為：

由式（15）、式（16）可以求得纖維正應(yīng)力的最大值在z＝0處，而纖維切應(yīng)力的最大值在z＝Lt處，纖維的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力分別為：

文獻(xiàn)［6］計(jì)算了不考慮基體正應(yīng)力的纖維應(yīng)力分布，式（19）、式（20）是通過考慮基體正應(yīng)力所得到的纖維正應(yīng)力分布最大值，下面對比分析兩者所預(yù)測的界面剛度的區(qū)別。

界面剛度取文獻(xiàn)［6］中K＝1855.35MPa／mm。材料為亞麻纖維和環(huán)氧樹脂，參數(shù)如下所示［16］：a＝0.15mm，b＝1mm，Ef＝10000MPa，Em＝3322MPa，νm＝0.39，σ＝33.22MPa。所得結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 纖維軸向正應(yīng)力的最大值隨纖維長度的變化Fig.3 Maximum of axial stress for fiber to the length of fiber

圖4 界面切應(yīng)力最大值隨纖維長度的變化Fig.4 Maximum of interfacial shear stress for fiber to the length of fiber

由圖3、圖4可知，在界面剛度為K＝1855.35MPa／mm時(shí)，在不同的粘結(jié)長度下，根據(jù)式（19）所求得的纖維正應(yīng)力最大值較文獻(xiàn)［6］的小，差別在10%以下；根據(jù)式（20）求得的界面切應(yīng)力較文獻(xiàn)［6］的大，差別也在10%以下。

2 分析與討論

2.1 界面剛度對纖維應(yīng)力分布的影響

取不同界面剛度K，2Lt＝10mm，根據(jù)式（15）、式（16），分別得到纖維正應(yīng)力、纖維切應(yīng)力沿纖維軸向分布的情況，如圖5、圖6所示。在不同的界面剛度K的影響下，得到纖維應(yīng)力分布的曲線，K＝∞時(shí)，纖維基體理想粘結(jié)。顯然，當(dāng)K較小時(shí)，纖維正應(yīng)力和纖維切應(yīng)力的分布變化受到K值的影響明顯，且纖維正應(yīng)力隨纖維長度的增大而減小，在z＝0時(shí)，纖維正應(yīng)力最大，在z＝Lt時(shí)，纖維正應(yīng)力為0，即滿＝0；纖維切應(yīng)力剛好相反，且在z＝0時(shí)，纖維切應(yīng)力為0。由圖6可知，隨著K值的增大，纖維正應(yīng)力也相應(yīng)增大。所給相同的外界荷載，在任意的纖維位置，理想粘結(jié)時(shí)的纖維正應(yīng)力大于非理想粘結(jié)時(shí)的纖維正應(yīng)力。

圖5 不同剛度下纖維的切應(yīng)力分布Fig.5 Distribution of shear stress of interface with different interface stiffness

圖6 不同剛度下纖維的軸向正應(yīng)力分布Fig.6 Distribution of axial stress of fiber with different interface stiffness

2.2 纖維長度對極限應(yīng)力的影響

在單絲斷裂試驗(yàn)［15］中，發(fā)現(xiàn)纖維中部首先發(fā)生斷裂，之后隨著外加應(yīng)力荷載的增大，纖維多次發(fā)生斷裂。為了從理論上驗(yàn)證該現(xiàn)象，假定當(dāng)纖維應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)，纖維發(fā)生斷裂，即在同一根纖維中，復(fù)合材料受單向拉伸時(shí)，纖維最先斷裂在纖維中間（因?yàn)槔w維正應(yīng)力最大值在纖維中間）。利用文獻(xiàn)［16］的參數(shù)：纖維的極限應(yīng)力＝191MPa。把纖維長度作為橫坐標(biāo)，外加極限應(yīng)力作為縱坐標(biāo)，取不同的界面剛度，根據(jù)式（19）得到外加極限應(yīng)力與纖維長度的曲線關(guān)系如圖7所示。

圖7 外加極限應(yīng)力隨纖維長度的變化關(guān)系Fig.7 Change of the exert ultimate stress with fiber lengths

由圖7可知當(dāng)確定纖維的極限應(yīng)力時(shí)，外界給的極限應(yīng)力隨纖維長度的增大而減小，當(dāng)界面剛度越小時(shí)，這種變化越明顯；纖維首次斷裂在纖維的中部，之后隨著纖維長度減小，應(yīng)力重新開始分布，直到下一段纖維的應(yīng)力達(dá)到極限值時(shí)，纖維繼續(xù)出現(xiàn)斷點(diǎn)；而當(dāng)纖維長度減小到一定值時(shí)，纖維越難斷裂，這從理論上解釋了單絲斷裂試驗(yàn)［16］過程中的現(xiàn)象。

2.3 界面剛度的確定

單絲斷裂試驗(yàn)［15］即纖維在纖維正應(yīng)力最大值時(shí)首先發(fā)生斷裂，之后隨著應(yīng)變荷載的增加，纖維逐段斷裂，在每一次纖維發(fā)生斷裂后，斷點(diǎn)附近應(yīng)力值突減，軸向最大應(yīng)力值也相應(yīng)減小，纖維中的應(yīng)力重新分布。繼續(xù)加載過程中，纖維軸向應(yīng)力才會增大，直到發(fā)生新的斷裂。運(yùn)用式（15）預(yù)測了文獻(xiàn)［16］實(shí)驗(yàn)中的界面剛度。參數(shù)同2.2節(jié)所示，纖維長度2Lt＝10mm，在實(shí)驗(yàn)中當(dāng)外界施加應(yīng)變達(dá)到2.1%時(shí)纖維首次發(fā)生斷裂。代入式（19）求得β＝0.74，繼而得到K＝408MPa／mm；如果不考慮基體正應(yīng)力影響，K＝1855.35MPa／mm［6］，由此可知，是否考慮基體正應(yīng)力，對所預(yù)測的界面剛度K的影響較大。

3 結(jié)論

1.利用剪滯理論，考慮基體正應(yīng)力的同時(shí)，引入雙線性cohesive模型分析纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的界面應(yīng)力傳遞，得到纖維軸向正應(yīng)力分布及切應(yīng)力分布。

2.討論了界面剛度對復(fù)合材料的纖維應(yīng)力分布的影響，發(fā)現(xiàn)隨著K值的增大，纖維正應(yīng)力也相應(yīng)增大；外加極限荷載隨長度的變化而變化，且在長度較小時(shí)，這種變化更加明顯。

3.利用單絲拉拔實(shí)驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，預(yù)測了該復(fù)合材料的界面剛度，通過與其他未考慮基體正應(yīng)力的模型比較，發(fā)現(xiàn)是否考慮基體正應(yīng)力對預(yù)測的界面剛度影響較大。