陳小勇

【摘要】本文介紹高中代數(shù)“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思，旨在指導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué).

【關(guān)鍵詞】余弦定理；教學(xué)目標(biāo)；教學(xué)重難點(diǎn)；教學(xué)過(guò)程

一、教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并推證余弦定理，且能簡(jiǎn)單運(yùn)用余弦定理解三角形.

能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和觀察與思維能力，利用數(shù)形結(jié)合將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.

情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等、和諧的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流與合作，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究和證明余弦定理的過(guò)程；理解和掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對(duì)余弦定理進(jìn)行應(yīng)用.

難點(diǎn)：理解勾股定理和余弦定理之間的特殊關(guān)系，并以直角三角形為突破口證明余弦定理；對(duì)余弦定理的熟練應(yīng)用.

三、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)引入

師：正弦定理的內(nèi)容是什么？你能用這個(gè)定理解決哪些類型的問(wèn)題？

（學(xué)生回答，教師板書）

師：如圖1所示，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)這座山的長(zhǎng)度.技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肅，量出C到山腳A，B的距離，再利用經(jīng)緯儀測(cè)出角C的度數(shù)，那么你能算出BC的長(zhǎng)度嗎？

生：如果∠C=90°用勾股定理就可以算出.

師：對(duì)，∠C=90°時(shí)，可以算出AB的長(zhǎng)度，那么∠C≠90°時(shí)，AB的長(zhǎng)度是不是應(yīng)該是固定的？

生：AB的長(zhǎng)度是固定的，因?yàn)閮蛇吋皟蛇叺膴A角確定了，這個(gè)三角形就確定了，所以AB應(yīng)該是唯一確定的.

師：在△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，有c2=a2+b2.若a，b不變，∠C的大小變化時(shí)，c2與a2+b2的大小關(guān)系如何呢？

教師鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題，學(xué)生回答，借助于多媒體動(dòng)畫演示結(jié)果.

如圖2所示，若∠C<90°時(shí)，AC與BC的長(zhǎng)度不變時(shí)，AB的長(zhǎng)度明顯變短，有c2

如圖3所示，當(dāng)∠C>90°時(shí)，AC與BC的長(zhǎng)度不變時(shí)，AB的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，有c2>a2+b2.

學(xué)生得到結(jié)論：當(dāng)∠C≠90°時(shí)，c2≠a2+b2.

師：我們已經(jīng)知道，當(dāng)∠C≠90°時(shí)，c2≠a2+b2.那么c2與a2+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究.

教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，教師也參與各個(gè)小組討論，拿出其中兩個(gè)小組比較，將比較好的證明和同學(xué)一起分享，并讓學(xué)生代表上講臺(tái)講解.

生1：在△ABC中，a，b的長(zhǎng)度不變，∠C的大小變化，我就把C點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，AC放在坐標(biāo)軸的正半軸上，這樣A點(diǎn)坐標(biāo)就是（b，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（acosC，asinC），這樣可以利用兩點(diǎn)間的距離公式算出AB的長(zhǎng)度，過(guò)程是：

從以上分析過(guò)程，我們對(duì)c2=a2+b2-2abcosC有更清醒的認(rèn)識(shí)，勾股定理是余弦定理的特殊情況，在推出余弦定理中我們就是利用直角三角形到斜三角形的一般到特殊的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的方法.

四、教學(xué)反思

1.本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程.

2.余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，運(yùn)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3.余弦定理表述了三角形的邊與角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例.用這個(gè)定理可以解決“已知三角形的兩邊及夾角求第三邊”和“已知三角形的三邊求內(nèi)角”的兩類問(wèn)題.