◎張紅梅

高中數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，實(shí)數(shù)具有實(shí)在感.復(fù)數(shù)的情形卻不一樣，是純理論的創(chuàng)造。新課程中復(fù)數(shù)內(nèi)容突出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了復(fù)數(shù)的幾何意義.它的內(nèi)容是分層設(shè)計(jì)的：先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對(duì)，再把復(fù)數(shù)看成是直角坐標(biāo)系下平面上的點(diǎn)或向量，最后介紹復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.同時(shí)，復(fù)數(shù)的幾何意義，也為我們用代數(shù)的方法解決幾何問題提供了新的工具和方法，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想?？季V中對(duì)復(fù)數(shù)的考查要求是①理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.②了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.③能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.從近幾年的高考題型來看，考察復(fù)數(shù)的除法較多，因此教學(xué)中常常不費(fèi)筆墨。在教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容很感興趣，概念容易理解，計(jì)算容易上手，很快增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心，這部分知識(shí)和很多內(nèi)容都有交匯，有些以復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)，意在考察其他知識(shí)，不妨濃墨重彩地研習(xí)一番，提高學(xué)生的思維能力。

一、復(fù)數(shù)與集合“輕度交匯”

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的相等，與集合的運(yùn)算、集合的包含關(guān)系、元素和集合的關(guān)系相交匯。

例1（2013江西高考1）：已知集合 M＝｛1，2，zi｝，i為虛數(shù)單位 N＝｛3，4｝，M∩ N＝｛4｝，則復(fù)數(shù) z＝（ ）

A.－2i B.2i C.－4i D.4i

本題很好的考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與集合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，小巧精致。

二、復(fù)數(shù)與簡(jiǎn)易邏輯“完美融合”

例2：已知 a，b∈R，則a＝b是（a－b）＋（a＋b）i為純虛數(shù)的（ ）

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

例3：（2012陜西卷，3）設(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

以上兩題一方面考查了復(fù)數(shù)的概念，另一方面難點(diǎn)卻在對(duì)充要條件的理解上，學(xué)生解完不覺叫好！

三、復(fù)數(shù)與真假命題聯(lián)手

例4：（2013陜西，6）設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中是假命題的是（ ）

A.若 ｜z1－z2｜＝0，則1＝2

B.若 z1＝2，則1＝z2

B.若 ｜z1｜＝｜z2｜，則 z1·1＝z2·2

D.若 ｜z1｜＝｜z2｜，則＝

四、復(fù)數(shù)與不等式“不期而遇”

例5：（2010浙江，5）對(duì)任意復(fù)數(shù) z＝x＋yi，（x，y∈ R），i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（ ）

此類題目以復(fù)數(shù)的模為包裝，去除包裝之后就會(huì)化為一般的不等式問題，熟知不等式性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，恰當(dāng)放縮是難點(diǎn)，此類題目若能借助數(shù)形結(jié)合，往往可以收到意想不到的效果，如選項(xiàng)D，根據(jù)｜z｜的幾何意義為＝（x，y）的模，不難得到 ｜z｜≤｜x｜＋｜y｜。

（1）｜z｜的最大值和最小值；

（2）｜z－1｜2＋｜z＋1｜2的最大值和最小值。

∴｜z｜min＝2－1＝1，｜z｜max＝2＋1＝3

（2）｜z－1｜2＋｜z＋1｜2＝2｜z｜2＋2

∴｜z－1｜2＋｜z＋1｜2的最大值為20，最小值為4

例7教學(xué)中學(xué)生容易想到前兩種解法，對(duì)后兩種解法推薦給學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，別有一番啟發(fā)。

本題以復(fù)數(shù)形式給出，只要正確翻譯復(fù)數(shù)的幾何意義，難點(diǎn)便落在線性規(guī)劃上了。

例9：復(fù)數(shù)z＝2＋i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝mx＋n上，若m·n＞0，則的最小值是________

本題剝離復(fù)數(shù)的包裝，正是利用基本不等式求最值的經(jīng)典模型“1”的妙用。

五、復(fù)數(shù)與代數(shù)的結(jié)合

（1）a4－b4（2）x2＋4

本題是共軛復(fù)數(shù)基本性質(zhì)的逆用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力。

六、復(fù)數(shù)與函數(shù)的結(jié)合

例7復(fù)數(shù)z＝log2（x2－3x－3）＋i log2（x－3），設(shè)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z.

（1）求證：復(fù)數(shù)z不能是純虛數(shù)；、

（2）若點(diǎn)Z在第三象限內(nèi)，求x的取值范圍；

（3）若點(diǎn)Z在直線x－2y＋1＝0上，求x的值。

解出本題需要學(xué)生在掌握復(fù)數(shù)基本概念的基礎(chǔ)上，還要掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算。

七、復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合

例8（課本習(xí)題）已知復(fù)數(shù) z1＝m＋（4－m2）i，（m∈R），z2＝2cosθ＋（λ＋3sinθ）i，（λ，θ∈R），并且 z1＝z2，求 λ的取值范圍。

圖2中same表示卷積層保持原有特征圖大小不變;Filter表示卷積核的數(shù)量;3Conv表示3個(gè)卷積層,將第1個(gè)卷積層記為第0層。由圖2可知,經(jīng)過特征重組后可得到13×13×1280大小的包含不同細(xì)粒度的特征輸出張量。在車牌定位中改進(jìn)的Yolov2網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)借鑒了Faster R-CNN中RPN網(wǎng)絡(luò)的先驗(yàn)框策略。RPN對(duì)CNN特征提取器得到的特征圖進(jìn)行卷積來預(yù)測(cè)每個(gè)位置的邊界框及置信度[10],并且每個(gè)位置設(shè)置不同比例和標(biāo)準(zhǔn)的先驗(yàn)框。Yolov2將待分類圖片經(jīng)過32個(gè)下采樣處理,獲得固定大小特征圖張量。車牌定位的網(wǎng)格劃分如圖3所示。

本題綜合考察了復(fù)數(shù)的相等，三角化簡(jiǎn)，二次函數(shù)閉區(qū)間的值域求法，用到了換元法。

還可啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：模長為1的復(fù)數(shù)的設(shè)法－－－（cosθ，sinθ），（θ∈R）

八、復(fù)數(shù)與解析幾何的融合

學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義時(shí)，類比實(shí)數(shù)的幾何意義展開教學(xué)，學(xué)生們產(chǎn)生了濃厚的興趣，因此我提出以下探究問題：

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)下列曲線的方程：

1.圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）

設(shè) Z（x，y）以 Z0（x0，y0）為圓心，r（r＞0）為半徑的圓上任意一點(diǎn)，

（3）該圓代數(shù)形式的方程是什么？ （x－x0）2＋（y－y0）2＝r2（r＞0）

2.橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Z1，Z2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的集合（軌跡）

設(shè) Z（x，y）是以 Z1（x1，y2）Z2（x2，y2）為焦點(diǎn)，2a為長軸長的橢圓的上任意一點(diǎn)，

變式：以 Z1（x1，y2）Z2（x2，y2）為端點(diǎn)的線段

3.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Z1，Z2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的集合（軌跡）

設(shè) Z（x，y）是以Z1（x1，y2）Z2（x2，y2）為焦點(diǎn)，2a為實(shí)軸長的雙曲線的上任意一點(diǎn)，則

變式：射線

變式：以 Z1（x1，y2）Z2（x2，y2）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線

在實(shí)際教學(xué)中以上例題恐怕不能全部訓(xùn)練到，但通過部分的訓(xùn)練，已然為學(xué)生種下一顆能夠觸類旁通，左右逢源的種子，讓學(xué)生帶著自信出發(fā)，開啟一扇思維之窗。