何 濤，周海燕，李書海

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

設(shè)函數(shù) f（z） 和g（z） 在D ＝ {z:z＜1}內(nèi)解析，如果存在解析函數(shù)w（z）滿足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得f（z） ＝ g（w（z）） ，則稱 f（z） 從屬于 g（z） ，記為 f（z） ? g （z）[1].

用S（a，k）表示在單位圓盤D內(nèi)具有如下形式的解析單葉函數(shù)全體函數(shù)組成的類.令Ta，k（）表示Sa，k（）中的具有負(fù)系數(shù)單葉函數(shù)的子類:

顯然T（1，2）＝T[2].Vinod Kumar在文獻(xiàn)[2]中引進(jìn)并研究了T的特殊子類:

定義A 設(shè)A，B∈R， －1≤B ＜A≤1.函數(shù)f（z） ∈T屬于函數(shù)類P（A，B） 當(dāng)且僅當(dāng)

文獻(xiàn)[2]中討論函數(shù)類P（A，B）的幾何特征，先證明函數(shù)類充分條件，得到類中函數(shù)的系數(shù)不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點(diǎn)等性質(zhì).國(guó)內(nèi)外學(xué)者在文獻(xiàn)[3-17]中分別研究了T的不同子類幾何函數(shù)性質(zhì)，得到重要結(jié)果.

以下，在Sa，k（）上引進(jìn)廣義解析函數(shù)類，首先給出積分表達(dá)式、充分條件，由此得到類中函數(shù)的系數(shù)不等式、偏差、覆蓋、閉包定理和極值點(diǎn)等性質(zhì)，所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[2]中的主要結(jié)果.最后還進(jìn)一步討論函數(shù)類的Hadamard卷積的封閉性質(zhì)和包含關(guān)系，得到新結(jié)果.

2 定義及有關(guān)引理

首先引進(jìn)函數(shù)類:

定義1 設(shè)A，B∈R，a ＞0， A≤1， B ≤1，A≠B，0≤λ ≤1.函數(shù)f（z） ∈S（a，k）屬于函數(shù)類Pk（a，λ，A，B）當(dāng)且僅當(dāng)

令

TPk（a，λ，A，B）＝Ta，k（）∩Pk（a，λ，A，B）.

顯然，定義中分別取 a ＝ 1， －1≤B ＜ A≤1，λ ＝ 1 時(shí)，P2（1，1，A，B） 和TP2（1，1，A，B） 為文獻(xiàn)[2]中研究的函數(shù)類.

引理1 函數(shù)fz（）∈Pk（a，λ，A，B）當(dāng)且僅當(dāng)

證明:根據(jù)從屬關(guān)系的定義，f（z）∈Pk（a，λ，A，B） 當(dāng)且僅當(dāng)在D中存在解析函數(shù)w（z）滿足w（0）＝0，w（z） ＜1，使得（4）式等價(jià)于（3）式.證畢.

3 主要結(jié)果及其證明

下文中，如無(wú)特殊說明，參數(shù)k，A，B，a均滿足條件:

k，A，B ∈ R，k≥2，a ＞ 0， A≤1， B≤1，A ≠ B，0 ≤λ ≤1.

定理1 函數(shù) f∈ Pk（a，λ，A，B） （0 ＜ λ ＜ 1） 當(dāng)且僅當(dāng)

其中解析函數(shù)w（z）滿足w（0）＝0，w（z）＜1，C為任意常數(shù).

證明:設(shè)f∈Pk（a，λ，A，B） （0＜ λ ＜1） ，根據(jù)從屬關(guān)系定義可知，存在解析函數(shù)類w（0）＝0，w（z）＜1使得:

由一階非齊次微分方程的求解公式可得

上述證明是可逆的.故函數(shù)f∈Pk（a，λ，A，B）當(dāng)且僅當(dāng)（5）式成立.

其次，給出系數(shù)不等式:

定理2 設(shè)函數(shù) f（z） ∈ S（a，k） ，若滿足條件

則f（z）∈Pk（a，λ，A，B）.

證明:設(shè)不等式（6）成立.令 z ＝ 1 ，由 f（z） ∈ Tk（a） 和利用（6）得到

因此，利用最大模原理，可得

由引理1可知fz（）∈S?k（a，A，B） .

定理3 設(shè)函數(shù) f（z） ∈ T（a，k） ，則

①當(dāng)－1≤B＜A≤1，B≤0時(shí)fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要條件為

②當(dāng)－1≤A＜B≤1，B≥0時(shí)fz（）∈TPk（a，λ，A，B）的充要條件為

證明:因 TPk（a，λ，A，B） ? Pk（a，λ，A，B） ，所以由定理2 可知，定理3 的充分性顯然成立 . 只需證明必要性即可.先證明①的必要性.

設(shè)fz（）∈TPk（a，λ，A，B），由引理1得到

由于對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，滿足的 Rez≤z，所以

使用z→1－時(shí)，從（9）可得到 （7）式.

用相同的方法容易（8）成立.如果取函數(shù)

則（7）和（8）式均能達(dá)到準(zhǔn)確值.證畢.

下面利用系數(shù)不等式討論函數(shù)類TPk（a，λ，A，B）的基本性質(zhì).

定理4 若 f∈ TPk（a，λ，A，B） ， z＝ r，則①當(dāng) － 1≤B ＜ A≤1，B ≤0時(shí)，有

證明:①設(shè) f∈ TPk（a，A，B） ，由定理 3 中①可知

因此

從而①成立.用相同的方法證明②.證畢.

定理5 設(shè)函數(shù)f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），則函數(shù)

也屬于函數(shù)類 TPk（a，λ，A，B ）.

證明:由（10）式，得到

因f（z）∈TPk（a，λ，A，B ），分兩種證明.當(dāng) －1≤B ＜A≤1，B≤0時(shí)利用定理3中①可知

由定理3推出，F(xiàn)（z）∈TPk（a，λ，A，B ）.同理，當(dāng) －1≤A＜B≤1，B≥0時(shí)，利用定理3中②容易證明F（z）∈TPk（a，λ，A，B）.證畢.

定理6 設(shè)c是實(shí)數(shù)且c＞ －1，k≥2，又設(shè)F（z）∈TPk（a，λ，A，B ），則（10）式定義的函數(shù)f（z），在z＜R?是單葉的，其中

證明:設(shè)

由（10）式，得到

要得到結(jié)果，只要在 z ≤R?時(shí)，需滿足條件f′（z）－a＜a或

如果

則有 f'（z） － a ＜ a，而有定理3，得

因此，如果

或者

（10）式將滿足，f（z）在z＜R?為單葉函數(shù).

如果取函數(shù)

就能達(dá)到準(zhǔn)確值.證畢.

定理7 設(shè)k∈R，k≥2，a ＞0，如果函數(shù)

屬于類 TPk（a，λ，A，B） ，則當(dāng)，函數(shù) h（z） ＝也屬于 TPk（a，λ，A，B） 類.

證明:由于f（ z）∈TPk（a，λ，A，B） ，由定理3可得到

因此

由定理3 推出 h（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） . 證畢.

定理8 設(shè)

則函數(shù) f∈ TPk（a，λ，A，B） 的充要條件為

證明:（充分性）:設(shè)

因此

因此由定理3 可知 f∈ TPk（a，λ，A，B） .

（必要性）:設(shè) f∈ TPk（a，A，B） ，由定理3 推出

設(shè)

因此

證畢.

注:定理3-定理8中分別取a＝1，－1≤B ＜A≤1，λ ＝1，時(shí).就得到文獻(xiàn)[2]中的全部結(jié)果.

最后，討論類中函數(shù)的Hadamard卷積的封閉性和包含關(guān)系.

設(shè) fi（z） ＝∈ T（a，k） （i ＝ 1，2） 則函數(shù) f1（z） 和 f2（z） 的 Hadamard 卷積定義為:

定理9 設(shè)

若 A－B ≤（1－ λ ＋kλ） （1 ＋ B ），則 （ f1? f2）（z） ∈ TPk（a，A，B） .

證明:因?yàn)閒i（z）∈TPk（a，λ，A，B）（i＝1，2） ，由定理3可得到

要證明 （ f1? f2）（z） ∈ TPk（a，λ，A，B） ， 只需證明

利用Cauchy-Schwarz不等式，從（12）得到

即（13）式成立.證畢.

定理10 設(shè)0 ≤λ1≤λ2≤1 ，則

證明:設(shè)fz（）∈TPk（a，λ2，A，B），分兩種證明.

當(dāng) －1≤B ＜A≤1，B≤0時(shí)，利用定理3中①可得

由于λ1≤λ2，且1－λ＋nλ為關(guān)于λ的增函數(shù)，則有

即fz（）∈TPk（a，λ1，A，B），（15）式可證.同理，當(dāng)－1≤A＜B≤1，B≥0時(shí)，利用定理3中②容易證明TPk（a，λ1，A，B） ? TPk（a，λ2，A，B） . 證畢 .

4 小結(jié)

首先，利用從屬關(guān)系和微分方程方法討論了該類TPk（a，A，B）中函數(shù)的積分表達(dá)式和系數(shù)不等式，其次，研究其幾何特征和極值問題，得到較廣義的結(jié)果推廣相關(guān)結(jié)論.該類函數(shù)中還有優(yōu)化問題、對(duì)數(shù)系數(shù)以及映射區(qū)域面積等有很多待進(jìn)一步研究的有趣問題，需要我們深入探究.