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嘗試:數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉

2018-11-20 03:26尤善培
新高考·高二數(shù)學(xué) 2018年3期
關(guān)鍵詞:實(shí)質(zhì)本質(zhì)公式

尤善培

“發(fā)現(xiàn)”,是一個(gè)美妙的詞.

發(fā)現(xiàn)引人注目.在長(zhǎng)篇大論里忽然看到“發(fā)現(xiàn)”二字,讀者的眼睛頓時(shí)會(huì)為之一亮.電視劇的人物對(duì)話中飄過來“發(fā)現(xiàn)”二字,電視機(jī)前的觀眾立刻會(huì)安靜下來,電視機(jī)旁的過客會(huì)好奇地探過頭來,想探尋:發(fā)現(xiàn)了什么呢?

發(fā)現(xiàn)使人鼓舞.一宗迷案發(fā)現(xiàn)了偵破線索,辦案人員頃刻間忘記了疲勞,忘記了饑渴.一道數(shù)學(xué)題發(fā)現(xiàn)了解法,解題者馬上會(huì)變愁容為笑容,樂滋滋地說:眾里尋她千百度,“發(fā)現(xiàn)”原來在此處.

發(fā)現(xiàn)令人神往.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭加勒有一天夜晚違反習(xí)慣,喝了黑咖啡,久久不能人眠,各種想法紛至沓來,結(jié)果第二天早晨發(fā)現(xiàn)了一類新的高等超越函數(shù).

在各種各樣的發(fā)現(xiàn)里,最容易接近的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).因?yàn)閿?shù)學(xué)就在我們的身旁,就在我們的生活里.那么怎樣走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)呢?嘗試:是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉!

一、善于嘗試,發(fā)現(xiàn)解法

下面我們來欣賞一個(gè)探求數(shù)列通項(xiàng)的實(shí)例.

問題請(qǐng)按照規(guī)律填充適當(dāng)?shù)臄?shù).2,4,16,( ).

1.如果我是小學(xué)生

嘗試:2與4相差2,4與16相差12,因而猜測(cè)16與后面的一個(gè)數(shù)應(yīng)該相差22,于是他認(rèn)為答案應(yīng)是38.

現(xiàn)在,我們“慢鏡頭”展示這位小學(xué)生嘗試的思維歷程.

盡管小學(xué)生習(xí)慣于最低層次的加減運(yùn)算,卻揭示了一個(gè)二階等差數(shù)列的本質(zhì).進(jìn)一步研究,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是N=5N2-13n+10,當(dāng)然小學(xué)生很難得到這樣的結(jié)果.

2.如果我是初中生

嘗試:由于22 =4,42=16,于是下面一個(gè)數(shù)應(yīng)該是l62=256.

顯然,這位初中生嘗試的思維過程是這樣的:

第一個(gè)數(shù)是2,第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方,第三個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的平方,因而有理由推測(cè),第四個(gè)數(shù)應(yīng)該是第三個(gè)數(shù)的平方,

因?yàn)槌踔猩煜さ氖瞧椒竭\(yùn)算,揭示的規(guī)律是后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的平方.

進(jìn)一步思考,這位初中生很可能發(fā)現(xiàn)此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=22n-1.

3.如果我是高中生

嘗試:原來的數(shù)是2,翻一番是4,然后從4到16是“翻二番”了,所以下一步是16“翻三番”了,即16-32—64—128.

顯然,這里高中生著眼于指數(shù)運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)的問題本質(zhì)是每一個(gè)數(shù)都是形如2n的數(shù),只要找到指數(shù)的變化規(guī)律,問題就解決了.其實(shí),已知的幾個(gè)數(shù)為21,22,24,其指數(shù)分別為1,2,4;顯然,下一個(gè)指數(shù)應(yīng)該是7(這已經(jīng)是小學(xué)生都會(huì)的了).于是,下一個(gè)數(shù)應(yīng)該是2 7,即128.“翻番”的實(shí)質(zhì)是指數(shù)函數(shù).至此,這位高中生也能求出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2

至此,筆者在這里分別扮演了小學(xué)生、初中生和高中生,從各自的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā),借助各自的解題經(jīng)驗(yàn),進(jìn)行嘗試,較為輕松地發(fā)現(xiàn)了第四個(gè)數(shù),實(shí)際上也就是發(fā)現(xiàn)了問題的規(guī)律,揭示了問題的本質(zhì).

這里的思維過程可以這樣來描述:從數(shù)學(xué)問題情境出發(fā),進(jìn)行嘗試活動(dòng),打開了發(fā)現(xiàn)的窗戶,踏上了發(fā)現(xiàn)的道路,從根本上來說,數(shù)學(xué)解題的歷程,就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程.

二、繼續(xù)嘗試,看透本質(zhì)

現(xiàn)在,我們?cè)賮砜匆坏涝恰伴_心辭典”節(jié)目中的“闖關(guān)題”:已知一列數(shù)的前五個(gè)數(shù)是O,4,18,48,100,求第六個(gè)數(shù).

1.“闖關(guān)者”向“小學(xué)生”學(xué)習(xí)

用小學(xué)生的方法也能解這個(gè)問題.

2.“本科生”向“中學(xué)生”學(xué)習(xí)

進(jìn)一步思考:本題的答案并不唯一.

有一位數(shù)學(xué)系的本科生,用高等數(shù)學(xué)的方法,人為地造出了一個(gè)統(tǒng)管前面五個(gè)數(shù)的“規(guī)律”.

an=n2(n-1)+(n-1)(n-2) (n-3)(n-4)(n-5)a.

顯然,它由二項(xiàng)構(gòu)成.在n=l,2,3,4,5時(shí),第二項(xiàng)的值統(tǒng)統(tǒng)都是O,只剩下第一項(xiàng)了.而它的值,在n=l,2,3,4,5時(shí)的值就分別得出 0,4,18,48,100.當(dāng)n=6時(shí),“規(guī)律”產(chǎn)生的數(shù)是180+120a,式子中出現(xiàn)了參數(shù)以,正是有了這個(gè)a,第六個(gè)數(shù)就“寬松”自由得很,你隨便說一個(gè)數(shù),總是正確的答案,譬如,你說第六個(gè)數(shù)是o,只要讓a=-3/2即可,你若說第六個(gè)數(shù)是2 010,只要取a=15.25就行了.

3.“研究生”更會(huì)“研究”

說得更深刻一些,找規(guī)律的問題的實(shí)質(zhì)等同于以下的問題:已知在等間距上各端點(diǎn)處的函數(shù)值,試確定這個(gè)函數(shù).顯然本題有無數(shù)解,這就發(fā)現(xiàn)了本科生解決問題的本質(zhì).

4.“教授”更為“睿智”

陜西師范大學(xué)數(shù)科院羅增儒教授則發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“以不變應(yīng)萬變”的“妙解”.他把這個(gè)數(shù)列看成一個(gè)以5為周期的數(shù)列,且前五項(xiàng)分別為O,4,18,48,100.顯然,第六項(xiàng)應(yīng)該是O,真是“棋高一著”,“妙不可言”.

因此,看透本質(zhì)(由數(shù)列的有限項(xiàng)不能確定其他項(xiàng)),追求實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要路徑.

三、化簡(jiǎn)嘗試,追求實(shí)質(zhì)

面對(duì)紛繁的數(shù)學(xué)問題,只要我們化繁為簡(jiǎn),撩開迷人的面紗,看透本質(zhì),就能“水落石出”,發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口,抓住本質(zhì),就會(huì)使問題迎刃而解.

問題 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn.

(1)若a10 =100,a1oo一10,求a110.

(2)若S10=100,S100=10,求S110.

1.化簡(jiǎn),看透本質(zhì)

先求解第(1)小題,

思考:要求a110,而已知a10=100,a100=10,根據(jù)等差數(shù)列的定義,只要知道公差d就可以了,這就是問題的本質(zhì),而公差d的實(shí)質(zhì)就是等差數(shù)列所決定的直線的斜率,聯(lián)想到斜率公式,立得

現(xiàn)在來求解第(2)小題,

思考:要求S110,只要知道a1和d.怎樣求出a1和d,可以通過S10=100,S100=10,求出1和D,進(jìn)而求出S110=-110.

2.聯(lián)想,追求實(shí)質(zhì)

第(2)小題的結(jié)論:當(dāng)S10=100,S100=10時(shí),成立SlO+100=-(10 +100),似乎偶然,出于巧合,難道其中沒有必然性?細(xì)想想,總覺得意猶未盡!這是一個(gè)有益的念頭,再想想本題的必然本質(zhì)到底是什么?

其實(shí),對(duì)于等差數(shù)列{an}而言,an的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù),它的前n項(xiàng)的和Sn是常數(shù)項(xiàng)為O的二次函數(shù),這就給我們一個(gè)啟發(fā), 是一次函數(shù),因而bn= 是一個(gè)等差數(shù)列.至此,我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極其漂亮的解法.

因而問題就化為在等差數(shù)列{bn}中,求b110,這正好就與第(1)小題類似,因而很快求出b110=-1,于是S110=-110.

3.抽象,優(yōu)化素質(zhì)

我們嘗試著將上面的問題一般化,擴(kuò)大戰(zhàn)果.

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn

(1)如果an=q,aq =p,求ap+q.

(2)如果Sp=q,Sq=p,求Sp+q.

先解第(1)小題:

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,點(diǎn)M(p,q),N(q,p)在直線x+y= p+q上,所以當(dāng)x=p+q時(shí),ap+q=0.

再解第(2)小題.

這里問題(1)的輕松解決靠的是發(fā)現(xiàn)了問題中的數(shù)與形的關(guān)系,當(dāng)然也可用前述斜率方法求解;問題(2)用的是整體代換的思想方法,當(dāng)然也可仿前用Sn為等差數(shù)列快速求解,

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是一個(gè)“嘗試、猜想、發(fā)現(xiàn)”的過程.在數(shù)學(xué)解題的過程中,我們要向發(fā)現(xiàn)要潛力,向發(fā)現(xiàn)要時(shí)間;我們要積極探索和嘗試,從而揭示本質(zhì),優(yōu)化素質(zhì).

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