劉春輝

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024001）

1 引言

橢圓作為一類(lèi)重要的平面二次曲線，不僅是平面解析幾何的重要研究對(duì)象之一，而且也是高等數(shù)學(xué)[1]課程各個(gè)知識(shí)模塊經(jīng)常提及的話題.圖形面積求取問(wèn)題是貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程的一個(gè)基本問(wèn)題，貫穿于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的始終，其中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)方法和思維技巧.就同一類(lèi)問(wèn)題而言，如果從多角度多側(cè)面進(jìn)行分析，不但可以得到多種不同的解決問(wèn)題的方法，而且也有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的思維能力和創(chuàng)新能力.

鑒于此，本文針對(duì)如下一類(lèi)橢圓面積的求解問(wèn)題，從多個(gè)角度進(jìn)行分析和思考，獲得了該問(wèn)題的多種解決方法.文中涉及的數(shù)學(xué)基本知識(shí)全部取自[1-4]，這里不再一一贅述.

2 問(wèn)題的提出

3 問(wèn)題的多種解決方法

顯然，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸之積！

方法一利用一元函數(shù)極值法求橢圓面積

假設(shè)直線 y=kx 與橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且4ac-b2＞0）分別相交于點(diǎn) A(x1,kx1)和 B(x2,kx2)，則 A 與 B 兩點(diǎn)間距離為

將y=kx代入橢圓方程ax2+bxy+cy2=1，整理得

解得

因此

對(duì)任意的k∈R，構(gòu)造關(guān)于k的函數(shù)

令f'(k)=0，即bk2+2(a-c)k-b=0，解之得f(k)的兩個(gè)極值點(diǎn)k1和k2，于是由f'(ki)=0，i=1,2便得f(k)的兩個(gè)極值

因此，橢圓面積為

方法二利用一元二次方程的判別式法求橢圓面積

類(lèi)似于方法一，假設(shè)直線y=kx與橢圓ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）分別相交于點(diǎn) A(x1,kx1)和 B(x2,kx2)，且則A與B兩點(diǎn)間距離為d，則對(duì)任意的k∈R，構(gòu)造關(guān)于k的函數(shù)

若σ(k)在k點(diǎn)不取得極值，則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，必存在兩個(gè)不等的k值取得相同的函數(shù)值σ(k)；若σ(k)在k點(diǎn)取得極值，則k必為那個(gè)唯一取到該值的點(diǎn)，此時(shí)記σ=σ(k)將函數(shù)變形為關(guān)于k的方程

則必有其根的判別式 Δ=0，即(bσ)2-4(cσ-1)(aσ-1)=0，整理得

這是一個(gè)關(guān)于σ的一元二次方程，其兩個(gè)根σ1和σ2就是函數(shù)σ(k)兩個(gè)極值，從而得即為所論橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸.因此，由根與系數(shù)的關(guān)系便得橢圓面積為

方法三利用二元函數(shù)條件極值法求橢圓面積

假設(shè)橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）上的點(diǎn)A(x,y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為d，則可得d關(guān)于變量x和y的二元函數(shù)關(guān)系

求其對(duì)變量x和y的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得方程組

因?yàn)辄c(diǎn)A(x,y)≠O(0,0)，所以方程組有非零解，從而系數(shù)行列式D=0，即

整理得

這是關(guān)于λ的一元二次方程，設(shè)其二根為λ1和λ2，則因?yàn)?a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0，所以 λ1+λ2＜0 且 λ1λ2＞0，故 λ1＜0 且 λ2＜0.又因?yàn)?/p>

所以x2+y2+λ=0，故可取于是便得

注意到maxd和mind分別為橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸，因此便得橢圓面積為

方法四利用直角坐標(biāo)系下定積分求橢圓面積

將橢圓方程ax2+bxy+cy2=1變形得

對(duì)變量y配方得

整理得

令y+=y-得曲線y=y+(x)和y=y-(x)的兩個(gè)交點(diǎn)的和坐標(biāo)為

于是，由直角坐標(biāo)系下定積分求面積公式得，橢圓面積為

方法五利用極標(biāo)系下定積分求橢圓面積

任取橢圓ax2+bxy+cy2=1上一點(diǎn)A，設(shè)其在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(x,y)和(ρ,θ)，則 x=ρcosθ，y=ρsinθ，0≤θ≤2π，將其代入橢圓方程得橢圓的極坐標(biāo)方程為

于是，由及坐標(biāo)系下定積分求面積公式得，橢圓面積為

又因?yàn)?/p>

所以

方法六利用二重積分求橢圓面積

將橢圓方程ax2+bxy+cy2=1變形、對(duì)變量x配方整理得

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述討論，我們綜合運(yùn)用解析幾何、微積分和線性代數(shù)的知識(shí)，給出計(jì)算一個(gè)中心在原點(diǎn)，但焦點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的一般橢圓面積的六種方法.細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，雖然六種方法考慮問(wèn)題的角度與出發(fā)點(diǎn)各不相同，但是殊途同歸，最終獲得的結(jié)論是一致的，這正是數(shù)學(xué)問(wèn)題一題多解的精髓所在.問(wèn)題的思考與解決的過(guò)程，不僅可以讓我們不斷開(kāi)拓思維，使思考問(wèn)題的思路更加靈活，而且有助于我們進(jìn)一步理清前后知識(shí)的脈絡(luò)，達(dá)到融會(huì)貫通的效果.與此同時(shí)，文中所得到的橢圓 ax2+bxy+cy2=1（a＞0，c＞0 且 4ac-b2＞0）面積之計(jì)算公式可以作為我們?nèi)粘?shù)學(xué)積累的一個(gè)結(jié)論，由此亦可幫助我們提升處理問(wèn)題的效度和信度.