林偉

[摘 要] “思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂基于學(xué)習(xí)過程中諸要素配置合理和諧的基礎(chǔ)，合理搭配各個(gè)學(xué)習(xí)過程中的要素，通過教師、學(xué)生、課堂之間的思維性對話產(chǎn)生互通，致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，構(gòu)建高效課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)從掌握與知識和能力到提升思維與智慧的轉(zhuǎn)向. 學(xué)生的學(xué)習(xí)從表層學(xué)習(xí)走向深度理解性高效學(xué)習(xí)，從而通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維來改變生活行為，進(jìn)而改變習(xí)慣，改變?nèi)烁?

[關(guān)鍵詞] 思維表達(dá)；課型；課堂；框架；實(shí)踐

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的提出

課堂中的正式學(xué)習(xí)是培育和落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主渠道，目前，課堂學(xué)習(xí)中存在著一些亟需面對和解決的問題.首先，學(xué)習(xí)過程中的師生關(guān)系及學(xué)習(xí)的內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)評價(jià)等諸要素之間搭配欠缺合理性，關(guān)系不融洽. 這主要體現(xiàn)在：學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，要么缺少或弱化了某一些要素；要么要素配置不適合學(xué)生的實(shí)際需要而生搬硬套. 其次，各要素之間的思維含量缺乏整體互通性，沒有形成良好的互為關(guān)照，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)后尚未形成既定達(dá)成的思維品質(zhì). 因此，基于學(xué)習(xí)和借鑒斯滕伯格思維教學(xué)理論、布魯姆掌握學(xué)習(xí)理論和建構(gòu)主義理論以及新課程理念，總結(jié)以往課堂教學(xué)改革實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，筆者提出并探索了建設(shè)“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)想.

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵

“思維表達(dá)”型課堂基于學(xué)習(xí)過程中諸要素配置合理和諧的基礎(chǔ)，合理搭配各個(gè)學(xué)習(xí)過程中的要素，通過教師、學(xué)生、課堂之間的思維性對話產(chǎn)生互通，致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，構(gòu)建高效課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)從掌握知識和能力到提升思維與智慧的轉(zhuǎn)向.

1. 概念闡述

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂是一種“師生共生”的課堂，教師精心設(shè)計(jì)貼近學(xué)生思維表達(dá)的問題情境，學(xué)生基于此情境展開學(xué)習(xí)和思考，其思維能力不斷地被提升，即思維的概括性、多維性、整體性、邏輯性、適應(yīng)性和創(chuàng)新性等皆在此學(xué)習(xí)過程中被提升. 該課堂旨在為改變思維而教（學(xué)），學(xué)生的學(xué)習(xí)從表層學(xué)習(xí)走向深度理解性高效學(xué)習(xí)，從而通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維來改變生活行為，進(jìn)而改變習(xí)慣，改變?nèi)烁?，適應(yīng)復(fù)雜多變的未來時(shí)代.

2. 特征解讀

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的基本特征體現(xiàn)為民主平等、現(xiàn)代開放、豐富多元、師生共學(xué)和卓越發(fā)展. 首先，“民主平等”指的是師生之間的關(guān)系是平等的，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和參與者，通過與學(xué)生的交流互動(dòng)來確立教學(xué)目標(biāo)、選擇教學(xué)方式、采用教學(xué)評價(jià)、布置課堂作業(yè)等，學(xué)生在此過程中實(shí)現(xiàn)充分的參與感. 第二，“現(xiàn)代開放”即教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)環(huán)境等的開放. 教師需立足并超越教材，研究、挖掘教材，將教材內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活相連接；根據(jù)“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的需要，教學(xué)內(nèi)容貼合學(xué)生實(shí)際，充分利用好教育信息技術(shù)；學(xué)生在課堂上進(jìn)行正式學(xué)習(xí)，此外，需提供開放選擇的課下的拓展研究性課程. 第三，“豐富多元”即教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式和評價(jià)方式多元. 課堂形態(tài)多元化，采取多種方式來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)、思、研、做和評，如：情境設(shè)計(jì)、問題牽引、活動(dòng)體驗(yàn)、交流展示、討論對話等；發(fā)展“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式，尊重學(xué)生的主體性地位，將 “學(xué)生自學(xué)、生生共學(xué)、師生共學(xué)和遠(yuǎn)程共學(xué)”結(jié)合并統(tǒng)一；評價(jià)方式應(yīng)重視過程性評價(jià)，方式多元化，堅(jiān)持個(gè)體評價(jià)與小組評價(jià)相結(jié)合，定性評價(jià)與定量評價(jià)相結(jié)合. 第四，“師生共學(xué)”是指在課堂上教師作為“學(xué)習(xí)者”和學(xué)生一起學(xué)習(xí)，一起收獲并成長，以此實(shí)現(xiàn)師生共贏的課堂，挖掘課堂的最大價(jià)值. 最后，“卓越發(fā)展”是指“規(guī)范課堂—高效課堂—精品課堂”的發(fā)展過程，即要處理好傳承與發(fā)展、借鑒與創(chuàng)新、規(guī)范與自由的關(guān)系，在確保課堂全面轉(zhuǎn)型的基礎(chǔ)上，追求個(gè)性化的“卓越課堂”.

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐路徑

基于“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的基本內(nèi)涵特征，筆者探索并構(gòu)建出“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐路徑，如圖1所示，該課堂實(shí)踐路徑主要有以下九個(gè)環(huán)節(jié)：第一，學(xué)生思維可視化有理有據(jù)表達(dá)；第二，呈現(xiàn)思維過程；第三，呈現(xiàn)思維方法；第四，換位思維，推測別人觀點(diǎn)的思維過程方法；第五，引導(dǎo)質(zhì)疑思維；第六，引爆創(chuàng)新思維；第七，闡述教師思維觀點(diǎn)；第八，形成優(yōu)化團(tuán)體思維；最后，達(dá)成思維成果. 表達(dá)重心旨在培養(yǎng)學(xué)生有理有據(jù)、說有觀點(diǎn)的話；表達(dá)僅僅是思維暴露，觀點(diǎn)的質(zhì)疑補(bǔ)充、方法的創(chuàng)新、思維的優(yōu)化與提升等爭辯反饋才是思維課堂需要放大的地方. 其教育意義在于：通過改變思維來改變生活行為，進(jìn)而改變習(xí)慣，改變?nèi)烁?

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生具有充分的學(xué)習(xí)時(shí)間，明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)，集中的學(xué)習(xí)注意力，自覺的學(xué)習(xí)策略，自由選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，高效的學(xué)習(xí)效果，愉悅的學(xué)習(xí)體驗(yàn). 與此同時(shí)，想要讓學(xué)生達(dá)到這樣的適切的體驗(yàn)，對教師而言，在“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂教師是學(xué)生的引導(dǎo)者、輔助者、共同參與學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)者.當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間不充分，教師提高教學(xué)效率，為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)時(shí)間；目標(biāo)不明晰時(shí)，教師及時(shí)指明方向，引導(dǎo)學(xué)生朝著既定目標(biāo)邁進(jìn)；狀態(tài)不主動(dòng)時(shí)，教師開導(dǎo)激活學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與熱情；氛圍不專注時(shí)，教師倡導(dǎo)營造課境，讓學(xué)生更加關(guān)注學(xué)習(xí)和思考；策略不自覺時(shí)，教師適當(dāng)指導(dǎo)滲透學(xué)法，給學(xué)生提供思路參考；內(nèi)容不開放時(shí)，教師誘導(dǎo)鼓勵(lì)探究，開發(fā)更多潛在資源；效果不理想時(shí)，教師疏導(dǎo)開掘潛能，挖掘?qū)W生的多種可能性；體驗(yàn)不愉悅時(shí)，教師化導(dǎo)賞識人格，以情動(dòng)學(xué).

“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐探索

思維表達(dá)型數(shù)學(xué)課基于現(xiàn)代教學(xué)發(fā)展的方向和中學(xué)生認(rèn)知心理特點(diǎn)，探索學(xué)生如何在教師的引導(dǎo)下通過自主或合作探究的方式了解公式的生成過程， 對于相關(guān)知識和概念的掌握也更為牢固，對如何使更多的學(xué)生積極參與探究、形成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以及如何進(jìn)一步提高教學(xué)針對性等問題給予關(guān)注. 筆者以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”作為切入點(diǎn)，旨在探索“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂模式在課堂教學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用.

學(xué)習(xí)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)定義、單位圓中的三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系式等知識，本節(jié)課是對這些知識的延伸和拓展，同時(shí)也是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，在三角函數(shù)這一章中發(fā)揮著承上啟下的重要作用. 因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)共有五個(gè). 第一，幫助學(xué)生理解相關(guān)知識，并在此基礎(chǔ)上將誘導(dǎo)公式記熟；第二，能夠獨(dú)立運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，同時(shí)具備簡單的三角變換能力；第三，在教學(xué)過程中，使學(xué)生經(jīng)歷從幾何特征（即終邊的對稱）到發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系（即誘導(dǎo)公式）的探索過程；第四，使學(xué)生在推導(dǎo)和運(yùn)用公式的過程中體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法；第五，使學(xué)生形成對三角函數(shù)和周期性變化間內(nèi)在聯(lián)系的初步體會(huì).

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生思維

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生思維可視化

第一個(gè)環(huán)節(jié)，即創(chuàng)設(shè)問題情境環(huán)節(jié)，筆者將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)放在了“建構(gòu)和研究刻畫周期性的數(shù)學(xué)模型”這個(gè)情境問題下進(jìn)行，以此向?qū)W生展現(xiàn)三角函數(shù)的本質(zhì)——周期性函數(shù).創(chuàng)設(shè)問題情境的設(shè)計(jì)如下所示：

同學(xué)們，在之前的學(xué)習(xí)中， 我們已經(jīng)了解了任意角三角函數(shù)的相關(guān)概念.簡單地講，三角函數(shù)，就是以圓周運(yùn)動(dòng)為原型、以刻畫周期性運(yùn)動(dòng)為目標(biāo)而構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型. 那么，周期性是如何體現(xiàn)在三角函數(shù)概念之中的呢？下面就讓我們帶著這樣的疑問開始本節(jié)課的學(xué)習(xí).

第二個(gè)環(huán)節(jié)，本環(huán)節(jié)分為三個(gè)知識點(diǎn)學(xué)習(xí)，遵循“提出問題—解決問題—小結(jié)—應(yīng)用”這樣的邏輯展開學(xué)習(xí).

2. 闡述教師思維觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑思維

第一個(gè)知識點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生探究新知識，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教育應(yīng)重視知識的發(fā)生和發(fā)展，考慮到三角函數(shù)值取決于角的終邊位置，在課堂教學(xué)中從終邊位置的關(guān)系提出問題，讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中能夠通過幾何來更加直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，獲得將角的終邊所具有的特定位置轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)， 最終將三角函數(shù)的周期性牢牢記在心中. 第二個(gè)知識點(diǎn)是由終邊重合開始，逐步向終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱進(jìn)行過渡，這種做法與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相符，能夠幫助他們對正切函數(shù)的周期性形成更好的體會(huì). 第三個(gè)知識點(diǎn)，重點(diǎn)突出“以問題為中心”，學(xué)生對公式進(jìn)行自主探究，教師巡視指導(dǎo)，最后展示學(xué)生的思路和成果. 這種做法可以幫助培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神及自主學(xué)習(xí)的能力，在突出學(xué)生主體地位的同時(shí)讓他們體會(huì)轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想，加深對公式間聯(lián)系的印象. 最后，揭示課題，筆者將這幾組公式稱為誘導(dǎo)公式，它們可以揭示出終邊存在某種對稱關(guān)系的兩個(gè)角在三角函數(shù)值方面的關(guān)系.

（二）問題牽引，讓學(xué)生展示思維

1. 終邊相同角的三角函數(shù)

（1）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維過程

向?qū)W生展示課件，已知任意角α，觀察角α的終邊繞原點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的全過程.

問題1：在這個(gè)過程中，有哪些東西會(huì)周而復(fù)始地反復(fù)出現(xiàn)呢？

（2）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維方法

視學(xué)生的實(shí)際回答提出以下提示性問題.

問題1-1：角的終邊位置會(huì)不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)？三角函數(shù)值會(huì)不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)？

問題1-2：角的終邊位置會(huì)在什么時(shí)候重復(fù)出現(xiàn)？三角函數(shù)值會(huì)在什么時(shí)候重復(fù)出現(xiàn)？

要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)等式將分析所得結(jié)論表示出來：

讓學(xué)生回到定義來解決問題.

（3）討論對話，達(dá)成學(xué)生思維成果

通過對問題解決思路的分析與回顧，我們可以得到下面的框圖：

（4）應(yīng)用訓(xùn)練，引爆學(xué)生創(chuàng)新思維

在出示習(xí)題的同時(shí)，應(yīng)向?qū)W生指出：通過公式，可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)非常熟悉的0～2π角三角函數(shù)值.

（1）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維過程

問題2：如果角α終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半周，那么它的三角函數(shù)值是否會(huì)重復(fù)出現(xiàn)？

（2）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維方法

問題2-1：角α與角β的終邊有怎樣的位置關(guān)系？

問題2-2：角α與角β終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系？

經(jīng)過討論可以得出：

（3）討論對話，達(dá)成學(xué)生思維成果

通過回顧問題的解決思路，我們可以得到下面的框圖：

（4）應(yīng)用訓(xùn)練，引爆學(xué)生創(chuàng)新思維

在出示習(xí)題的同時(shí)，應(yīng)向?qū)W生指出：通過公式，我們掌握了角α與角π+α的關(guān)系，由此我們可以將π～2π角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0～π的三角函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：由終邊重合開始，逐步向終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱進(jìn)行過渡，這種做法與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相符，能夠幫助他們對正切函數(shù)的周期性形成更好的體會(huì).

3. 角α與-α的三角函數(shù)關(guān)系

（1）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維過程

學(xué)生探究活動(dòng)：值得我們研究的終邊特殊位置關(guān)系還有哪些？

問題3：角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則它們的三角函數(shù)有怎樣的關(guān)系？如果關(guān)于y軸對稱，它們的三角函數(shù)又有怎樣的關(guān)系？

（2）活動(dòng)體驗(yàn)，呈現(xiàn)學(xué)生思維方法

學(xué)生以小組為單位，在預(yù)先準(zhǔn)備好的單位圓中進(jìn)行研究和交流.

（四）回顧反思，達(dá)成思維成果

本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)課堂回顧部分的目的是引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行歸納和總結(jié)，形成對誘導(dǎo)公式本質(zhì)和作用的進(jìn)一步認(rèn)識，以此幫助學(xué)生形成知識、方法網(wǎng)絡(luò)，從而幫助學(xué)生鞏固在本節(jié)課所學(xué)知識，訓(xùn)練基本方法和技能，使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 習(xí)題采用由淺入深的梯度布置，目的是讓不同能力的學(xué)生都有所發(fā)展，這也是因材施教原則的體現(xiàn).

1. 課堂回顧

問題：從思想方法、知識點(diǎn)的層面對本節(jié)課做一個(gè)回顧.

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：從本質(zhì)上來看，公式就是將終邊對稱的圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，其思路可簡化為：角的數(shù)量關(guān)系→終邊位置的對稱關(guān)系→終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系.

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用：包括求值、化簡等.

數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸.

2. 作業(yè)布置

本節(jié)課的探究活動(dòng)是從學(xué)生最近所學(xué)知識出發(fā)，通過“思維表達(dá)”型數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)模式的具現(xiàn)化，即創(chuàng)設(shè)問題情境→引導(dǎo)學(xué)生自主探究→構(gòu)建數(shù)學(xué)知識理論→實(shí)際運(yùn)用→回顧反思，幫助學(xué)生自主開展探究活動(dòng)，教師在其中發(fā)揮引導(dǎo)和輔助的作用，與學(xué)生共同實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)“師生共學(xué)”的和諧學(xué)習(xí)氛圍. 在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的視角提出全新的問題，即在建構(gòu)和研究刻畫周期性數(shù)學(xué)模型這個(gè)大背景下進(jìn)行誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且也充分尊重學(xué)生的主體地位. 在教師的幫助和引導(dǎo)下，學(xué)生以小組形式開展探究活動(dòng)，在輕松愉悅的良好氛圍下，類比聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法在小組內(nèi)部得到充分交流，既有利于彌補(bǔ)學(xué)生知識或理念的局限性，又能幫助他們更好地掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，體現(xiàn)了對知識生成的重視，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

結(jié)速語

筆者經(jīng)過多年的探索和實(shí)踐，探索出“思維表達(dá)”型課堂，即由教師主導(dǎo)的“先教后學(xué)”思維轉(zhuǎn)向師生合學(xué)的“先學(xué)后導(dǎo)”思維；由單一的新授課轉(zhuǎn)向多元的課型體系；由傳遞知識為主的教學(xué)轉(zhuǎn)向問題導(dǎo)學(xué)為主的學(xué)習(xí). 通過學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和感知數(shù)學(xué)文化，享受數(shù)學(xué)魅力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成，從思維上逐漸養(yǎng)成良好習(xí)慣和人格.