于然 趙世恩 馬雯

【摘要】圓錐曲線就其內(nèi)容本身，是平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是連接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，學(xué)好圓錐曲線相關(guān)知識，可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要注意以下兩點(diǎn)：一是掌握圓錐曲線的方程及其各個參數(shù)的含義;二是了解圓錐曲線軌跡的形成過程.對于這兩點(diǎn)，幾何畫板的動態(tài)性和直觀性不僅可以很好地幫助學(xué)生理解和掌握這部分知識，而且可以使學(xué)生對幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣.本文根據(jù)圓錐曲線的幾種定義，在幾何畫板中用動態(tài)效果展示了橢圓、雙曲線以及拋物線的繪制方法、相關(guān)原理以及繪制過程.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;橢圓;雙曲線;拋物線

中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)、幾何兩大模塊，其中幾何模塊為大部分學(xué)生的重點(diǎn)和難點(diǎn).而幾何中圓錐曲線所占比例較重，尤以點(diǎn)的軌跡問題最為抽象難懂，同時也是高考的必考知識點(diǎn).如何學(xué)好和教好這個知識點(diǎn)，成為學(xué)生與教師共同面對的問題.

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用無疑是教學(xué)改革中的一個熱點(diǎn)，是教育現(xiàn)代化的一個重要標(biāo)志.運(yùn)用多媒體技術(shù)來進(jìn)一步補(bǔ)充和完善傳統(tǒng)教學(xué)模式，可以拓寬數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形式，改變以往單一的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)問題更加形象化，更貼近生活.

幾何畫板就是一個很好的數(shù)學(xué)輔助工具，具有直觀性和動態(tài)性，可以很好地實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，隨時看到各種情況下的數(shù)量關(guān)系及其變化，把數(shù)和形的潛在關(guān)系及其變化動態(tài)的顯現(xiàn)出來.教師在圓錐曲線課堂教學(xué)的過程中可以挖掘教材，充分利用幾何畫板動態(tài)性、直觀性的表現(xiàn)力，在概念、公式、參數(shù)的教學(xué)中設(shè)計(jì)研究性課題，使學(xué)生了解應(yīng)用幾何畫板研究圓錐曲線問題的基本過程.

一、幾何畫板中橢圓的繪制

我們利用幾何畫板繪制橢圓的理論基礎(chǔ)就是橢圓的幾種等價定義.

方法一根據(jù)橢圓的第一定義，平面上到兩點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.

我們知道，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫作圓.因此，將“兩點(diǎn)距離之和為定值”的“兩點(diǎn)”分別構(gòu)造為同一個圓的圓心和圓周上任意一點(diǎn)，即將“定值”轉(zhuǎn)化為圓的半徑，是根據(jù)第一定義繪制橢圓軌跡的關(guān)鍵.

具體步驟如下：

1.任意做一條線段，使它的長度為2a;

2.以點(diǎn)F1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)P，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)F2;

3.構(gòu)造線段PF1和線段PF2;

4.構(gòu)造PF2的中點(diǎn)，過中點(diǎn)作線段PF2的垂線，與線段PF1交于點(diǎn)M;

5.連接線段MF2，并追蹤點(diǎn)M;

6.選中點(diǎn)P，單擊<編輯/操作類按鈕/動畫>選項(xiàng)，在畫板中出現(xiàn)“動畫點(diǎn)”按鈕;

7.單擊“動畫點(diǎn)”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)橢圓的軌跡，實(shí)現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程（如圖1）.

其中，兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離F1F2=2c為橢圓的焦距，橢圓截與兩焦點(diǎn)連線重合的直線所得的弦A1A2=2a為長軸，橢圓截垂直平分兩焦點(diǎn)連線的直線所得弦B1B2=2b為短軸.

橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)過程中，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，為了建立點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)之間的聯(lián)系，引進(jìn)了參數(shù)θ，參數(shù)θ的幾何意義是半徑OA的旋轉(zhuǎn)角∠AON（注意：不是OM的旋轉(zhuǎn)角）.

具體的步驟如下;

1.打開一個新畫板，建立直角坐標(biāo)系，單擊<繪圖/網(wǎng)格樣式/方形網(wǎng)格>選項(xiàng)，隱藏單位點(diǎn);

2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，分別以a，b（a>b>0）為半徑畫兩個圓;

3.在大圓上任取一點(diǎn)A，構(gòu)造線段OA，與小圓交于點(diǎn)B，線段OA與x軸形成夾角θ，θ∈[0，2π）;

4.過點(diǎn)A作直線AN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N;

5.過點(diǎn)B作直線BM垂直于直線AN，垂足為點(diǎn)M，追蹤點(diǎn)M;

6.選中點(diǎn)A，單擊<編輯/操作類按鈕/動畫>選項(xiàng)，在畫板中出現(xiàn)“動畫點(diǎn)”按鈕;

7.單擊“動畫點(diǎn)”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)橢圓的軌跡（如圖2），實(shí)現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程.

二、幾何畫板中雙曲線的繪制

根據(jù)雙曲線的第一定義，平面上到兩點(diǎn)的距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.雙曲線與橢圓的第一定義中都出現(xiàn)“定值”一詞，在橢圓的繪制中，我們借助圓的性質(zhì)解決了“定值”的問題，這種方法在繪制雙曲線時同樣適用，即把“兩點(diǎn)距離之差為定值”的“兩點(diǎn)”分別構(gòu)造為同一個圓的圓心和圓周上任意一點(diǎn)，仍然是將“定值”轉(zhuǎn)化成了圓的半徑.

具體的步驟如下：

1.打開一個新畫板，建立直角坐標(biāo)系，單擊〈繪圖/網(wǎng)格樣式/方形網(wǎng)格〉選項(xiàng)，隱藏單位點(diǎn);

2.在x軸上取兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得OF1=OF2，用它們作為兩個焦點(diǎn);

3.在圖形外作一條線段，使得它的長度為2a（2a<|F1F2|）;

4.以F1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)P;

5.連接PF1，PF2，作PF2的中垂線與直線PF1交于點(diǎn)M，連接MF2;

6.選中點(diǎn)M，單擊〈顯示/追蹤交點(diǎn)〉選項(xiàng)，追蹤點(diǎn)M;

7.選中點(diǎn)P，單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫〉選項(xiàng)，在畫板中出現(xiàn)“動畫點(diǎn)”按鈕;

8.單擊“動畫點(diǎn)”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)雙曲線軌跡（如圖4）.

其中，點(diǎn)O是雙曲線的中心，點(diǎn)F1和點(diǎn)F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2之間的距離為焦距2c，點(diǎn)M是雙曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到x軸上時，點(diǎn)P也在x軸上，點(diǎn)M與雙曲線的頂點(diǎn)A2重合，所以雙曲線的實(shí)軸長是A1A2=A2F1-A2F2=A2F1-A2P=PF1=2a.

三、幾何畫板中拋物線的繪制

根據(jù)拋物線的第一定義，平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.

不變量：到一個定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離相等.r=KA=dP1l=P1F.

具體步驟如下：

1.打開一個新畫板，選擇線段工具，在畫板上畫任意線段KF，并構(gòu)造KF的中點(diǎn)O;

2.過點(diǎn)K作線段KF的垂線l，過點(diǎn)K和點(diǎn)F作射線m;

3.在射線m上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作射線m的垂線n;

4.以點(diǎn)F為圓心，線段KA為半徑作圓，交垂線n于點(diǎn)P1和點(diǎn)P2，則點(diǎn)P1和點(diǎn)P2到點(diǎn)F和直線l的距離相等，追蹤點(diǎn)P1，P2;

5.選中點(diǎn)A，單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫〉選項(xiàng)，在畫板中出現(xiàn)“動畫點(diǎn)”按鈕;

6.單擊“動畫點(diǎn)”按鈕，就會逐漸顯現(xiàn)拋物線的軌跡，實(shí)現(xiàn)動態(tài)演示軌跡形成的過程.

四、教學(xué)建議

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)代技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用無疑是教學(xué)改革中的一個熱點(diǎn)，是教育現(xiàn)代化的一個重要標(biāo)志.充分運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助課堂教學(xué)，不僅能增大課堂容量、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，而且能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神.運(yùn)用多媒體技術(shù)可以拓寬數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)形式，改變以往單一的教學(xué)手段，使數(shù)學(xué)問題更加形象化，更貼近生活，為數(shù)學(xué)教育開辟了更為廣闊的天地.

保持幾何關(guān)系是幾何畫板的精髓.在畫板中的幾何圖形無論如何變化，它們之間所具有的幾何關(guān)系都不變.這恰恰是幾何學(xué)的實(shí)質(zhì)，即在不斷變化的幾何圖形中研究不變的幾何規(guī)律.因此，在以學(xué)生為主體的課堂中，在幾何畫板的平臺上，學(xué)生可以任意拖動圖形，觀察圖形，猜測并驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題.在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，深化學(xué)生對知識的理解和掌握.幾何畫板為學(xué)生創(chuàng)造了一個進(jìn)行“幾何實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想.

通過對本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力，體會數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價值，提高應(yīng)用意識和實(shí)踐能力.

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