王 東， 謝黎旭， 郝樹宏，莫緒濤

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院；2.安徽工業(yè)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院；安徽 馬鞍山 243002)

激光原理與技術(shù)是光電類學(xué)生一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，不僅能為學(xué)生畢業(yè)后從事激光器生產(chǎn)以及光電技術(shù)的研究打下堅實的基礎(chǔ)，也是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)非線性光學(xué)、信息光學(xué)、光電檢測與信號處理、光電成像原理、光通信原理等課程的基礎(chǔ)。

激光原理需要一定的物理知識作為基礎(chǔ)，物理概念抽象難懂，同時也需要大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式來進行理論推導(dǎo)。要想在理解物理概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用數(shù)學(xué)公式來解決實際問題，需要較強的理論分析和數(shù)學(xué)計算能力。激光在各領(lǐng)域的大量應(yīng)用中，對激光器進行設(shè)計和變換激光束，數(shù)值計算是必不可少的。如果手動進行數(shù)值計算，會使學(xué)生有畏難情緒，打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而借助一定的計算軟件，不僅可以減輕學(xué)生的計算負擔(dān)，還可以使物理概念更加形象化。因此，我們嘗試在教學(xué)中引入Matlab軟件來進行過程模擬和數(shù)值計算，以提高學(xué)生對激光原理與技術(shù)的理解和綜合應(yīng)用能力。

一、Matlab引入激光教學(xué)的方式

由于激光原理與技術(shù)課程學(xué)時數(shù)較少，教學(xué)內(nèi)容多，任務(wù)重，因此不能在所有涉及計算分析的地方都引入Matlab軟件輔助教學(xué)，只能在物理過程一環(huán)接一環(huán)、計算量比較大的地方引入Matlab，使學(xué)生從計算中解放出來，花更多的時間去理解和掌握物理概念、物理圖像和分析方法。本文主要介紹在自再現(xiàn)模形成、激光腔穩(wěn)定性分析、高斯光束傳輸三個教學(xué)內(nèi)容中如何引入Matlab分析和計算。

(一)衍射理論分析自再現(xiàn)模的形成過程

激光自再現(xiàn)模的形成起始于菲涅爾基爾霍夫衍射積分，而該積分公式中包含了球面波、傾斜因子、面積分等多項內(nèi)容。由于涉及到面元積分，要想得到比較精確的結(jié)果，即使對一次衍射，手工計算也是非常困難的。而學(xué)生學(xué)習(xí)時間有限，手動完成這種計算，基本上行不通。實際上自再現(xiàn)模的形成是多次衍射的結(jié)果，用衍射理論分析腔模特性，必須借助計算機進行數(shù)值計算。通過編寫Matlab程序，演算具體的數(shù)據(jù)，不僅可以幫助學(xué)生提高計算速度和結(jié)果的準(zhǔn)確度，還可幫助學(xué)生建立物理圖像，加深對自再現(xiàn)模的形成過程的理解，從而提高課堂的教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

教學(xué)中，針對方形平行平面鏡腔，在將菲涅爾基爾霍夫衍射積分分離變量后，即可進行平行平面腔腔模的迭代解法?？筛鶕?jù)教材中的理論分析過程編寫Matlab程序，實現(xiàn)腔模在鏡面上的振幅和相位分布計算。在程序的編寫中，首先可以將激光波長定義為氦氖激光波長632.8 nm或摻釹YAG激光波長1064 nm，腔鏡大小和腔長可以參照教材用光波長的倍數(shù)來表示，也可以用實際激光器的幾何參數(shù)來表示。其次通過linsapce函數(shù)將鏡面離散化，以便計算時用求和代替積分。接著通過編寫關(guān)于球面波衍射和疊加求和的兩行程序完成從一個鏡面上所有面元到另一個鏡面上一個面元的衍射計算，再通過一個循環(huán)程序完成一個鏡面衍射到另一個鏡面上的場的振幅和相位的相關(guān)計算。然后用abs函數(shù)取模和max函數(shù)取最大振幅進行歸一化，從而得到鏡面的振幅和相位分布。最后將上述過程循環(huán)299次，就得到第300次渡越后的振幅和相位分布。用plot函數(shù)可以畫出各次渡越后鏡面上的振幅和相位分布，如果第300次和第301次分布曲線重合，說明達到了模式自再現(xiàn)。通過Matlab輔助教學(xué)，自再現(xiàn)模的形成過程不再復(fù)雜難懂。

(二)ABCD矩陣法分析激光腔穩(wěn)定性

一般中小功率激光器都使用穩(wěn)定腔，因此判斷一個激光腔是否為穩(wěn)定腔十分重要。對于兩鏡腔激光器，雖然可以利用g參數(shù)判斷是否穩(wěn)定，但是難以獲得腔模特征，而對多鏡腔激光器來說，g參數(shù)法更是無能為力，必須用ABCD矩陣法來判斷。ABCD矩陣法要求選定一個參考面并寫出光束在腔中環(huán)形一周后的ABCD矩陣。對于多鏡腔，需要多個ABCD矩陣相乘，所得ABCD矩陣的各個元素的表達式龐大，實際用處不大。如果根據(jù)實際激光腔模型進行數(shù)值計算，手工計算的工作量也很大。實際設(shè)計激光器時，還需要對腔型的各個參數(shù)進行調(diào)節(jié)，手工計算會耗費更大的工作量。而使用Matlab編寫程序，只需根據(jù)實際情況，更改各個參數(shù)的賦值，計算機馬上就會給出計算結(jié)果。

教學(xué)中可首先在分析空腔穩(wěn)定性時，向?qū)W生說明用Matlab編寫程序計算光場在腔內(nèi)環(huán)形一周的ABCD矩陣非常快捷。只需先定義好腔的各個變量并賦值，然后直接寫出變量的矩陣乘積，就可以得到環(huán)形一周ABCD矩陣的4個參數(shù)值，再計算A+D就可得到是否為穩(wěn)定腔。在用Q參數(shù)分析穩(wěn)定球面腔模式自再現(xiàn)時，可以再次利用ABCD矩陣計算參考面的Q參數(shù)。這時還可以根據(jù)實際情況引入腔內(nèi)激光晶體的熱焦距，計算激光晶體處光斑大小。對內(nèi)腔倍頻激光器，可以計算兩凹面鏡間光束束腰位置及大小，便于在合適位置放置非線性晶體，提高倍頻效率。

(三)Q參數(shù)法分析高斯光束傳輸

Q參數(shù)是激光原理與技術(shù)中一個很重要的參數(shù)，得到了高斯光束某個位置的Q參數(shù)，就得到了這個位置高斯光束的曲率半徑和光斑半徑。高斯光束在經(jīng)過自由空間和復(fù)雜的透鏡序列的傳輸后，光斑會變成多大，腰斑在什么位置，可以先根據(jù)實際各個傳輸過程對應(yīng)的ABCD矩陣的乘積得到新的ABCD矩陣，再利用Q參數(shù)的ABCD矩陣變換公式得到。這個過程，如果進行手工計算，也是相當(dāng)復(fù)雜的，而利用Matlab只需編寫幾行代碼就能很快得出計算結(jié)果。

教學(xué)中可以在高斯光束的透鏡成像、準(zhǔn)直和聚焦中，結(jié)合具體事例來進行計算和分析。只要學(xué)生理解了相關(guān)公式和分析方法，就可以寫出對應(yīng)的Matlab程序。選定入射高斯光束的腰斑大小和到透鏡的距離以及透鏡焦距，就可以方便地得到光束經(jīng)過透鏡后在任意位置的光斑大小，也容易計算腰斑的具體位置。通過改變這些參數(shù)的取值，可以讓學(xué)生對高斯光束的透鏡成像、準(zhǔn)直和聚焦的物理過程和技術(shù)有更深刻的理解，還可以使學(xué)生做到“心中有數(shù)”。

(四)復(fù)雜公式的計算

在激光原理與技術(shù)的教學(xué)內(nèi)容中，還有很多內(nèi)容涉及到的公式比較復(fù)雜，如果手動計算，費時費力，還容易出錯，學(xué)生很容易產(chǎn)生畏難情緒，從而影響學(xué)習(xí)積極性。而借助Matlab工具可以使學(xué)生擺脫復(fù)雜的運算，將精力集中于物理概念的理解和計算方法的掌握。在平時的作業(yè)中，也可以要求學(xué)生利用Matlab來完成一些力所能及的任務(wù)。

二、Matlab輔助教學(xué)的教學(xué)效果

將Matlab工具引入到激光原理與技術(shù)的課堂后，經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，取得了良好的教學(xué)效果，主要表現(xiàn)為以下幾個方面：

(一)提高了課堂教學(xué)效率

學(xué)生在大二的時候就學(xué)習(xí)了C語言和Matlab軟件等課程，基本學(xué)會了代碼編寫和掌握了Matlab軟件的計算原理和使用方法，因此講授激光知識時，無需花費課時特別介紹Matlab軟件，可直接應(yīng)用Matlab對物理過程進行詳細的計算和分析。Matlab輔助激光教學(xué)后，使復(fù)雜的理論形象化，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生在課堂上的注意力，上課進度明顯加快，在教學(xué)內(nèi)容沒有刪減的情況下，激光原理與技術(shù)的授課學(xué)時由最初的64學(xué)時也縮減為48學(xué)時，大大提高了課堂教學(xué)的效率。

(二)為后續(xù)課程做了良好鋪墊

繼激光原理與技術(shù)課程后，在激光電子課程設(shè)計、畢業(yè)設(shè)計、生產(chǎn)實習(xí)等課程中，學(xué)生可以根據(jù)需要很方便地選做與激光相關(guān)的課題。比如，在講授平行平面腔自再現(xiàn)模的內(nèi)容時，我們只是根據(jù)教材參數(shù)簡單地舉了一個例子，但是在學(xué)生做畢業(yè)設(shè)計課題時，可以針對實際情況，對不同的鏡片大小和腔長情況進行仿真研究，還可將高斯模作為初始波形，減少迭代次數(shù)?？捎肍ox-Li數(shù)值迭代法計算方形鏡球面腔的自再現(xiàn)模和衍射損耗，用數(shù)值矩陣法模擬圓形鏡激光腔的模式和衍射損耗。還可基于ABCD矩陣法完成激光腔模計算程序，設(shè)計多種激光器三鏡環(huán)形腔、四境環(huán)形腔。關(guān)于激光傳輸方面的選題，可結(jié)合Zemax完成激光擴束鏡的設(shè)計，高斯光束的單縫、圓孔衍射理論分析以及激光片光生成技術(shù)等。實踐證明在激光原理與技術(shù)的課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生進一步強化了Matlab工具的應(yīng)用能力，為后續(xù)的信息光學(xué)等其他專業(yè)課應(yīng)用Matlab打下良好的基礎(chǔ)。因此在激光原理與技術(shù)課程中引入Matlab，起到了承前啟后的作用，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性大大提高，學(xué)習(xí)效果也明顯提高。

(三)加強了學(xué)生對知識的掌握和應(yīng)用，提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力

由于教材里的理論推導(dǎo)比較抽象，實例分析也比較少，加上學(xué)生抽象思維能力不強，且本科生基本沒有激光器調(diào)節(jié)和設(shè)計的實踐經(jīng)驗，因此掌握課本內(nèi)容比較困難。在課堂中引入Matlab實例分析后，可以讓學(xué)生對激光器及其相關(guān)理論的認識更加形象化。在課堂教學(xué)后，其中一部分作業(yè)就是要求學(xué)生對所講實例程序進行逐行注釋，并盡可能簡化、精煉。對于激光原理與技術(shù)這類比較抽象的課程, 其課后習(xí)題與實際問題緊密結(jié)合, 難度系數(shù)遠比其他基礎(chǔ)課大, 學(xué)生必須認真琢磨，交流討論存在的問題，教師也需鼓勵學(xué)生主動使用Matlab。正是這些基本的訓(xùn)練和互動調(diào)動了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，增強了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力，為日后走上工作崗位奠定了良好基礎(chǔ)。

三、結(jié)語

Matlab軟件的使用大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，開發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力，為學(xué)生走向未來的工作崗位奠定了良好的基礎(chǔ)。