朱一林， 朱一立

(1.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 四川 成都 610106；2.煙臺(tái)大學(xué) 機(jī)電汽車工程學(xué)院， 山東 煙臺(tái) 264005；3.冰輪環(huán)境技術(shù)股份有限公司， 山東 煙臺(tái) 264000)

0 引 言

拉脹超材料是自20世紀(jì)90年代起迅速發(fā)展起來(lái)的一類功能和結(jié)構(gòu)一體化的多孔材料[1-3].與常規(guī)材料相反，當(dāng)拉脹超材料承受單軸拉伸(壓縮)載荷時(shí)，在與負(fù)載垂直的方向上出現(xiàn)膨脹(收縮)而表現(xiàn)出負(fù)泊松比效應(yīng).由于這種特殊的變形形式，拉脹超材料相較于傳統(tǒng)多孔材料具有更優(yōu)越的性能，如超常彈性常數(shù)、抗壓痕性、抗沖擊性、抗斷裂韌性、可變滲透性以及聲學(xué)和能量吸收性能等[3-4].此外，拉脹超材料還表現(xiàn)出同向曲率的獨(dú)特物理性能[5].這些獨(dú)特的力學(xué)和物理特性使拉脹超材料在航空航天、生物醫(yī)學(xué)和傳感器等[6-9]領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景.

手性拉脹超材料是目前被廣泛研究的一類典型二維拉脹超材料，其元胞結(jié)構(gòu)由一個(gè)中心圓環(huán)與幾條與圓環(huán)相切的手臂組成.根據(jù)手臂數(shù)目的不同，手性拉脹超材料可相應(yīng)地分為三節(jié)點(diǎn)、四節(jié)點(diǎn)和六節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu).由于等效力學(xué)性能，如泊松比和彈性模量，是設(shè)計(jì)拉脹超材料的重要指標(biāo)并且也是建立相應(yīng)本構(gòu)模型的基礎(chǔ)，科研人員通過(guò)實(shí)驗(yàn)以及數(shù)值方法對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[10-12].需要指出的是，上述研究大都局限在小變形彈性框架下，而拉脹超材料在使用過(guò)程中通常會(huì)發(fā)生彈塑性大變形.對(duì)此，本研究針對(duì)四節(jié)點(diǎn)手性元胞結(jié)構(gòu)的拉脹超材料在彈塑性大變形下的等效力學(xué)性能，包括泊松比、彈性模量和塑性強(qiáng)化應(yīng)力，進(jìn)行分析，擬對(duì)手性拉脹超材料的改良設(shè)計(jì)以及相應(yīng)本構(gòu)模型的建立提供依據(jù).

1 分析方法

1.1 元胞尺寸

根據(jù)Alderson等[10]的方法，四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料的元胞結(jié)構(gòu)(見圖1)可由3個(gè)面內(nèi)幾何參數(shù)來(lái)描述，即圓環(huán)長(zhǎng)度r、手臂長(zhǎng)度l以及厚度t.需要指出的是，本研究假設(shè)四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料的面外尺寸遠(yuǎn)大于面內(nèi)尺寸，因此，在其數(shù)值計(jì)算中可采用平面應(yīng)變假設(shè).圖1中元胞結(jié)構(gòu)的相對(duì)尺寸為l∶r∶t=22∶5∶1.25，其相對(duì)密度約為18%.

圖1四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料元胞結(jié)構(gòu)

1.2 基體材料屬性

本研究采用AA6061-T4鋁合金為所分析拉脹結(jié)構(gòu)的基體材料，其材料性能參考文獻(xiàn)[13].基體材料的彈性模量和泊松比分別為110 GPa和0.28，其塑性硬化行為由表1確定.數(shù)值計(jì)算采用ABAQUS分析軟件完成.計(jì)算中所用的單元類型為CPE4二維大變形平面應(yīng)變單元.基體材料本構(gòu)模型為簡(jiǎn)單彈性—多線性塑性本構(gòu)模型.

表1 AA6061-T4鋁合金的應(yīng)力—塑性應(yīng)變特性

1.3 基于周期性邊界條件的均勻化方法

本研究的四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料的等效力學(xué)性能由基于ABAQUS分析軟件的數(shù)值均勻化方法來(lái)確定.為了消除邊界條件的影響，計(jì)算時(shí)對(duì)元胞結(jié)構(gòu)施加如式(1)所示的周期性邊界條件[14]，

(1)

式中，x+和X±分別為元胞相對(duì)平面的空間和參考坐標(biāo)；t±=P±N±代表外法向?yàn)镹±平面上節(jié)點(diǎn)的牽拉應(yīng)力，其中，P為第一類皮奧拉—基爾霍夫應(yīng)力.

(2)

(3)

式(2)、(3)中，V0、?V0分別為元胞在參考坐標(biāo)系下的體積和邊界.

元胞的整體變形可由Biot應(yīng)變[15]來(lái)度量，即，

(4)

式中，l為二階單位張量.

參照Ciambella等[16]的研究，等效泊松比定義為，

(5)

分析時(shí)，彈性模量可通過(guò)加、卸載的應(yīng)力—應(yīng)變曲線來(lái)測(cè)定.

2 等效力學(xué)性能

本研究通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法分析了四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料的等效泊松比、等效彈性模量以及等效塑性強(qiáng)化應(yīng)力.為了獲得不同取向的性能，在數(shù)值計(jì)算時(shí)，元胞的取向(以圖1中的角度θ表征)從0 °旋轉(zhuǎn)到360 °.

2.1 等效塑性強(qiáng)化應(yīng)力

四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料在不同取向時(shí)的等效應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖2所示.

圖2不同元胞取向時(shí)的等效應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

由圖2可見，同傳統(tǒng)金屬材料一樣，該拉脹超材料的等效應(yīng)力—應(yīng)變曲線也可分為彈性和塑性兩部分，且拉伸和壓縮時(shí)呈現(xiàn)不同的強(qiáng)化模式.拉伸塑性屈服時(shí)呈指數(shù)硬化的特征，壓縮塑性屈服時(shí)呈理想塑性硬化的特征.此外，圖2還表明，不同取向時(shí)該拉脹超材料表現(xiàn)出不同的等效應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系.

為了更好地觀察該拉脹超材料在整個(gè)面內(nèi)的屈服強(qiáng)化行為，本研究進(jìn)一步給出了其在不同變形時(shí)的等效強(qiáng)化應(yīng)力—取向角度極坐標(biāo)圖(見圖3).

圖3不同變形時(shí)的等效強(qiáng)化應(yīng)力—角度關(guān)系(極坐標(biāo)圖)

由圖3可見，該拉脹超材料的等效強(qiáng)化應(yīng)力不具備各向同性，而是呈現(xiàn)出4度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(旋轉(zhuǎn)角為90 °)的特征.當(dāng)角度θ=(k/2)π(k=0，1，2，3，4)時(shí)，材料的強(qiáng)度最大；當(dāng)角度θ=(1/4+k/2)π(k=0，1，2，3)時(shí)，材料的強(qiáng)度最小.

2.2 彈性模量

四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料在不同取向時(shí)的等效彈性模量隨應(yīng)變的演化曲線如圖4所示.

圖4不同元胞取向時(shí)的等效彈性模量演化

由圖4可見，本拉脹超材料在不同取向時(shí)的等效彈性模量均隨應(yīng)變的增加呈指數(shù)演化趨勢(shì)，且不同的取向具有不同的演化速度.

同樣，為了更好地觀察該拉脹超材料在整個(gè)面內(nèi)的等效彈性模量演化行為，本研究進(jìn)一步給出了其在不同變形情況下的等效彈性模量—取向角度極坐標(biāo)圖(見圖5).

圖5不同變形時(shí)的等效彈性模量—角度關(guān)系(極坐標(biāo)圖)

由圖5可見，該拉脹超材料的等效彈性模量也呈現(xiàn)出4度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(旋轉(zhuǎn)角為90 °)的特征.同樣，當(dāng)角度θ=(k/2)π(k=0,1,2,3,4)時(shí)，材料的剛度最大；當(dāng)角度θ=(1/4+k/2)π(k=0,1,2,3)時(shí)，材料的剛度最小.

2.3 泊松比

四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料在不同取向角度下的等效泊松比演化曲線如圖6所示，在不同變形情況下的等效泊松比—取向角度極坐標(biāo)圖如圖7所示.

圖6不同元胞取向時(shí)的等效泊松比演化

圖7不同變形時(shí)的等效泊松比—角度關(guān)系(極坐標(biāo)圖)

由圖6、7可見，在大變形時(shí)，該拉脹超材料的等效泊松比不再為恒定值，而是隨著變形的演化而演化，且在不同的取向角度表現(xiàn)出不同的負(fù)泊松比效應(yīng)，其等效泊松比的極坐標(biāo)圖同樣呈現(xiàn)出4度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(旋轉(zhuǎn)角為90°)的特征.即，在角度θ=(k/2)π(k=0，1，2，3，4)時(shí)，材料的負(fù)泊松比效應(yīng)最大；當(dāng)角度θ=(1/4+k/2)π(k=0,1,2,3)時(shí)，材料的負(fù)泊松比效應(yīng)最小.

3 結(jié) 論

本研究采用周期性邊界條件的數(shù)值均勻化方法，系統(tǒng)地分析了四節(jié)點(diǎn)手性拉脹超材料在彈塑性大變形下的等效力學(xué)性能，得到了如下結(jié)果：

1)在彈塑性大變形時(shí)，材料的等效力學(xué)性能不再是恒定值，而是隨著變形的變化而演化.

2)等效強(qiáng)化應(yīng)力、等效彈性模量和等效泊松比的面內(nèi)極坐標(biāo)圖均呈現(xiàn)出4度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(旋轉(zhuǎn)角為90°)的特征.

3)當(dāng)角度θ=(k/2)π(k=0,1，3，4)時(shí)，材料的強(qiáng)度、剛度以負(fù)泊松比效應(yīng)最大；而當(dāng)角度θ=(1/4+k/2)π(k=0，1，2，3)時(shí)，材料的強(qiáng)度、剛度以及負(fù)泊松比效應(yīng)最小.