摘?要：對(duì)于綜合性要求較高的一類(lèi)存在性問(wèn)題，可以從函數(shù)的視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析.函數(shù)觀是解題的通性通法，掌握至簡(jiǎn)的方法，才能解決更為廣泛的問(wèn)題，突出函數(shù)主線的解題策略，既有利于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又能做到知識(shí)與問(wèn)題的雙向促進(jìn)與融合.

關(guān)鍵詞：函數(shù)觀;存在性問(wèn)題;解題策略

作者簡(jiǎn)介：李廣修（1961-），男，江蘇宿遷人，本科，中學(xué)正高級(jí)教師，特級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，如果注意探求綜合性要求較高的一類(lèi)問(wèn)題的求解“套路”，并用大一統(tǒng)的觀點(diǎn)加以統(tǒng)攝，那么就會(huì)更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，更有效地提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).例如，關(guān)于動(dòng)點(diǎn)、變量方面的一類(lèi)存在性問(wèn)題，具有“變”“聯(lián)系”特征，把這類(lèi)問(wèn)題的解答納入到大一統(tǒng)的函數(shù)觀下，用函數(shù)值、函數(shù)值域及其關(guān)系主導(dǎo)解題活動(dòng)，既可以深化對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，也可以形成解決這類(lèi)問(wèn)題的策略.請(qǐng)看下面例子.

例1?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，1），若圓M：（x-2）2+y2=r2上存在兩點(diǎn)A，B使得AP=2PB，則圓M的半徑r的取值范圍是.

分析?由已知，點(diǎn)P應(yīng)在圓M內(nèi)，線段AB應(yīng)是圓M的過(guò)點(diǎn)P的弦，當(dāng)點(diǎn)A的位置確定以后，點(diǎn)B的位置便唯一確定了.可以先讓點(diǎn)A在圓M上運(yùn)動(dòng)，考察點(diǎn)P分AB的取值范圍M，而暫不把考慮點(diǎn)P分AB為2.然后，由2屬于M，就可以求出r的取值范圍了.此法本質(zhì)上運(yùn)用了函數(shù)值、函數(shù)值域，以及它們之間的關(guān)系，不僅簡(jiǎn)捷地解答了問(wèn)題，而且所使用的方法也具有一般意義.

解析?由已知，點(diǎn)P應(yīng)在圓M內(nèi).如圖1，設(shè)CD是過(guò)點(diǎn)P的圓M的任意一條弦，由于|PM|=2，則CPPD的取值范圍是

r-2r+2，r+2r-2.

從而，存在兩點(diǎn)A，B使得AP=2PB，當(dāng)且僅當(dāng)2∈[r-2r+2，r+2r-2].

于是，r-2r+2≤2≤r+2r-2，考慮到r>PM=2，

所以r的取值范圍為（2，3?2].

例2?若僅存在一個(gè)整數(shù)x滿足不等式x2+ax+2a<0，則正數(shù)a的取值范圍是.

分析?先分參.由不等式x2+ax+2a<0，得x2<-a（x+2）.

因?yàn)閍>0，x2≥0，所以關(guān)于x的不等式x2<-a（x+2）有解就必須x+2<0.

所以x2x+2>-a，且x+2<0.

于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求正數(shù)a的取值范圍，使得函數(shù)y=x2x+2（x<-2）的定義域中恰有一個(gè)整數(shù)，它的函數(shù)值大于-a.

解析?由上面的分析，可知x2x+2>-a，且x+2<0.

記f（x）=x2x+2（x<-2）.

則f?′（x）=x2+4xx+2（x<-2）.

當(dāng)x∈（-∞，-4）時(shí)，f?′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（-4，-2）時(shí)，f?′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，

作函數(shù)的f（x）=x2x+2（x<-2）的圖象以及水平直線y=-a，如圖2.

由圖象不難得出，不等式x2x+2>-a（x<-2）的整數(shù)解是-4，且，min{f（-3），f（-5）}≤-a

于是，a的取值范圍是（8，253].

例3?設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{a2n}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn=4-（Sn-2）23.

（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

（2）對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，以及給定的正整數(shù)y，是否存在正整數(shù)x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列？若存在，求出x的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析?僅分析（2）.由（1）得an=（12）n-1.又因?yàn)閍n，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，得4×2x=4+2y，先考慮x，y取任意的正整數(shù)時(shí)，等式4×2x=4+2y兩邊的取值范圍，探討這兩個(gè)取值范圍的交集是否非空.

解析?（1）由Tn=4-（Sn-2）23，①

得Tn+1=4-（Sn+1-2）23.②

②-①，得an+12=（Sn-2）2-（Sn+1-2）23=（Sn-Sn+1）（Sn+Sn+1-4）3.

即an+12=-an+1（Sn+Sn+1-4）3.

因?yàn)閍n+1>0，所以an+1=4-Sn-Sn+13.③

于是an+2=4-Sn+1-Sn+23.④

④-③得an+2=12an+1，所以an+2an+1=12.⑤

在①中令n=1，2，并結(jié)合a1>0，a2>0，解得a1=1，a2=12.

故a2a1=12，⑥

根據(jù)⑤和⑥知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有an+1an=12.

所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.

（2）因?yàn)閍n，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，an=（12）n-1，

所以2×2x×（12）n=（12）n-1+2y×（12）n+1.

即4×2x=4+2y，2x=1+2y-2.

當(dāng)y≥3時(shí)，等式2x=1+2y-2的左邊的取值范圍是偶數(shù)集的子集，右邊的取值范圍是奇數(shù)集的子集，此時(shí)無(wú)解;

將y=2代入2x=1+2y-2，得2x=2，所以x=1;

將y=1代入2x=1+2y-2，得2x=32，所以x無(wú)正整數(shù)解.

綜上，若給定的y值是2，則存在x=1，對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，an，2xan+1，2yan+2都成等差數(shù)列;若給定的y值不是2，則對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，都不存在正整數(shù)x，使得an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列.

對(duì)于以上三個(gè)存在性問(wèn)題的求解，所使用的思想方法是統(tǒng)一的，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值、函數(shù)值域方面的問(wèn)題，用函數(shù)求導(dǎo)解答，并且所使用的知識(shí)是函數(shù)的核心知識(shí)，這體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）、高考所要求的注重?cái)?shù)學(xué)通性通法.如果從更一般的角度細(xì)想一下，我們就會(huì)明白，任何一個(gè)科學(xué)原理若普遍到能將整個(gè)巨大的現(xiàn)象世界統(tǒng)一起來(lái)，那么它必是簡(jiǎn)單的：只有某個(gè)至為簡(jiǎn)單的原理，才能統(tǒng)治五花八門(mén)的大量問(wèn)題，這些問(wèn)題看起來(lái)似乎是彼此獨(dú)立的且各具特征的.

（收稿日期：2019-09-18）