江波
摘? ? 要:二維Hamilton系統(tǒng)是非線性微分方程教學(xué)的重要組成部分。嘗試用Maple軟件輔助二維Hamilton系統(tǒng)教學(xué)的過(guò)程,將抽象、深?yuàn)W的教學(xué)內(nèi)容直觀、感性地呈現(xiàn)給學(xué)生,以達(dá)到更好的教學(xué)效果。
關(guān)鍵詞: 二維Hamilton系統(tǒng);Maple;微分方程定性理論
中圖分類號(hào):O245;G642? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào):2095-7394(2019)04-0083-04
常微分方程作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一,是理論聯(lián)系實(shí)際最為緊密的課程,也是后續(xù)課程的基礎(chǔ)[1-2]。 非線性微分方程理論是該課程的主要講授內(nèi)容,而其中源自于經(jīng)典力學(xué)的有限維的Hamilton理論則是非線性微分方程教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。 該部分內(nèi)容的教學(xué)因其抽象性強(qiáng),使得學(xué)生難以理解和接受[3]。 Maple作為目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)軟件之一,在教學(xué)與科研中得到了廣泛應(yīng)用[4-5]。 利用Maple強(qiáng)大的圖形動(dòng)畫(huà)功能輔助各類教學(xué),已經(jīng)有一些學(xué)者做出了探索[6-8]。
為了提高常微分課程中有關(guān)二維Hamilton理論的教學(xué)質(zhì)量和效率,使學(xué)生能通過(guò)可視化的演示來(lái)直觀地理解其相關(guān)概念與結(jié)論,本文對(duì)如何在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中應(yīng)用Maple軟件的編程畫(huà)圖功能輔助教學(xué)作一點(diǎn)初步的探討。
1? ? 預(yù)備知識(shí)
回顧二維Hamilton系統(tǒng)的相關(guān)概念及結(jié)論。
二維自治微分方程
定義了平面自治動(dòng)力系統(tǒng)。
定義1? 若平面自治動(dòng)力系統(tǒng)(1)可表示成
則稱(1)為二維Hamilton方程,其中二次可微函數(shù)[H(x1,x2)]稱為Hamilton函數(shù)。 在應(yīng)用數(shù)學(xué)或力學(xué)中,也稱(1)為1個(gè)自由度的Hamilton系統(tǒng)(或平面Hamilton系統(tǒng)),[x1]和[x2]分別稱為廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量,[(x1,x2)]稱為相平面,[H]稱為能量函數(shù)。
從有限維Hamilton系統(tǒng)到無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)的拓展主要基于(4)。
定義2? 若不恒為常數(shù)的可微函數(shù)[K(x)]對(duì)所有[x∈?n],滿足[K(x)f(x)=0],即對(duì)微分方程[x=f(x)]的任一解[x(t)]滿足[K(x(t))]為常數(shù),則稱[K(x)]為微分方程[x=f(x)]的首次積分。
3? ? 結(jié)論
對(duì)于二維Hamilton系統(tǒng)中晦澀難懂的概念和定理,為了提高教學(xué)直觀性與生動(dòng)性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和潛力,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力,我們?cè)谌绾卫肕aple輔助其教學(xué)上做了初步的探索。
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Abstract: Two dimensional Hamilton system is an important part of nonlinear differential equation teaching. This paper expounds the process of using Maple software to assist the teaching of two-dimensional Hamilton system, presenting the abstract and profound teaching content to the students intuitively and perceptually, which can achieve better teaching effect.
Key? words: two-dimensional Hamilton system; Maple software
責(zé)任編輯? ? 祁秀春