陳崇榮

做真題、研真題是老師、學(xué)生們的熱門(mén)話題，筆者也布置了一些真題給學(xué)生做并對(duì)其進(jìn)行講解，在講評(píng)2018年全國(guó)卷Ⅰ文科第21題時(shí)引發(fā)了緊張而又驚喜的一幕．

題目（2018年全國(guó)卷Ⅰ文科第21題）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1．

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

一、課堂實(shí)錄

針對(duì)第二問(wèn)，多數(shù)學(xué)生表示簡(jiǎn)單但不會(huì)做．一起來(lái)看下同學(xué)們思維受困的原因．

師：我們來(lái)看下標(biāo)準(zhǔn)答案：

生1：老師，題目要證明當(dāng)時(shí)，f（x）≥0不就等價(jià)于去證明當(dāng)時(shí)，f（x）≥0恒成立，而恒成立問(wèn)題，又等價(jià)于去證明當(dāng)，這是解決恒成立問(wèn)題的通性通法啊．老師，為什么該方法在此題失靈了呢？

我的解題過(guò)程如下：

f′（x）=aex-f″（x）=aex+0，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)x從右邊無(wú)限趨近于0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x無(wú)限趨近于+∞時(shí)，f′（x）＞0．

所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得f′（x0）=0，即．當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，所 以f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）min=f（x0），即f（x）min=aex0-lnx0-1．老師，后面解不出來(lái)了．

師：這位同學(xué)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了我們熟悉的恒成立問(wèn)題，而且也通過(guò)“設(shè)而不求”的方法求出了函數(shù)的最小值f（x）min=aex0-lnx0-1，很好．那么大家想想如何證明函數(shù)的最小值會(huì)大于0呢？

生2：根據(jù)ln（aex0）-1=+lna-1≥0．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x0=1時(shí)等號(hào)成立．從而不等式得證．

師：回答得很好．

生3：老師，我也是轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，但不是去求f（x）的最小值，而是分離了參數(shù)a，也是解不出來(lái)，為什么呢？我是這樣解答的：

生4：我覺(jué)得可以考慮再次求導(dǎo)．令因?yàn)閔（x）定義域?yàn)椋?，+∞），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且h（1）=0．所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，g′（x）＜0．所以g（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，于是所以命題得證．

師：剛才這幾位同學(xué)的思考方向及解決辦法都非常好，其實(shí)就是利用了解決恒成立問(wèn)題的通性通法——最值法和參數(shù)分離法．同學(xué)們，還有其他方法嗎？老師剛剛在你們思考的同時(shí)也想到了另外一種方法．

由不等式ex≥x+1得ln（x+1）≤x（x＞1），即lnx≤x-1．

二、解題反思

每次試卷講評(píng)后，部分學(xué)生都懊惱：那么簡(jiǎn)單的方法考試的時(shí)候?yàn)槭裁淳拖氩坏侥兀孔匀幌敕o(wú)法通達(dá)，通性通法難以奏效．原因在于同學(xué)們對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解浮于表面、流于形式，平時(shí)訓(xùn)練采用“題型+技巧”的題海戰(zhàn)術(shù)，卻沒(méi)有跳出題海，不能理清問(wèn)題的邏輯，更談不上透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵了，以至于解題時(shí)被命題人牽著鼻子走，撞到南墻不回頭．

分別記上述四種方法為法一、法二、法三、法四．法一是官方給出的答案，第一步就應(yīng)用了放縮法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明g（x）=法二轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題—求最值的通性通法，零點(diǎn)不可求，但采取迂回戰(zhàn)術(shù)，采用“設(shè)而不求”，利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系化簡(jiǎn)最小值，從而利用不等式證明出其大于0．法三轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題—分離參數(shù)—求最值的通性通法，本質(zhì)是反復(fù)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．法四是應(yīng)用了課本不等式ex≥x+1，要求同學(xué)們對(duì)該不等式熟悉，且會(huì)靈活變形、賦值、配湊等技巧，要求較高．

三、學(xué)好數(shù)學(xué)四步走

第一步是弄“懂”．“懂”是指對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則的產(chǎn)生、背景一清二楚，對(duì)概念的內(nèi)涵外延要理解和掌握．

第二步是弄“會(huì)”．“懂”了不一定“會(huì)”，懂和會(huì)是不一樣的層次．同學(xué)們是否有這樣的感受：上課聽(tīng)懂了，但作業(yè)、考試還是不會(huì)做．為什么呢？原因有兩種：一種是很多學(xué)生都是假懂，似懂非懂；另外一種是從懂到會(huì)還有一段路程要走，要經(jīng)歷“套用”—“變用”—“活用”三個(gè)階段．“套用”，指直接套用公式、法則、解題方法；“變用”指能靈活使用公式、法則的變型，包括正用、逆用、變形用；“活用”是在陌生情景也能創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型、情景，從而套用公式、法則或是解題方法等．經(jīng)歷了這三個(gè)階段，這才叫“會(huì)”．

第三步是做“對(duì)”．“會(huì)”了，不一定“對(duì)”，即“會(huì)”而不“對(duì)”．因?yàn)橛袝r(shí)自己感覺(jué)“會(huì)”做了，其實(shí)是“霧里看花”，假“會(huì)”，數(shù)據(jù)改一改，條件變一變立馬就不會(huì)了．萬(wàn)變不離其宗．真正做到“會(huì)”，就要在“宗”字上下功夫．變式訓(xùn)練、組題訓(xùn)練的目的就是讓學(xué)生“沉入水底”，認(rèn)“宗”悟“宗”，真正理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想．

第四步是“快”．“天下武功，無(wú)堅(jiān)不破，唯快不破”．“對(duì)”了，不一定“快”．熟能生巧，熟則快捷．要做到“見(jiàn)題生法，見(jiàn)招拆招”，一是要全面掌握各個(gè)模塊知識(shí)點(diǎn)，二是要熟悉各種解題思路和方法，還要有扎實(shí)的基本功以及敏捷、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)．