任寧

“圓的認(rèn)識”是小學(xué)階段“圖形與幾何”板塊中一節(jié)經(jīng)典的概念課，綜觀各版本教材內(nèi)容的編排，結(jié)合常見教學(xué)設(shè)計，筆者認(rèn)為在該節(jié)課的學(xué)習(xí)中有兩個問題需要引起重視。

【問題分析】

問題1：涉及知識要點繁多，課堂結(jié)構(gòu)零散。本課中學(xué)生要認(rèn)識圓的外觀特征，掌握圓規(guī)畫圓的方法，知道圓的各部分名稱，理解直徑半徑的關(guān)系與特征，知道圓心確定圓的位置、半徑確定圓的大小，等等。整節(jié)課涉及的知識點較多，也較為零碎，因此，在課堂中很多環(huán)節(jié)之間聯(lián)系不夠緊密，往往由教師一一推動，顯得比較生硬。

問題2：學(xué)生已有的相關(guān)認(rèn)知，課中未能體現(xiàn)。根據(jù)以往的教學(xué)實踐經(jīng)驗以及各類前測，發(fā)現(xiàn)課前學(xué)生對圓的相關(guān)知識都有一定程度的了解，比如對圓的各部分名稱（圓心、半徑、直徑）都有所耳聞，知道圓是軸對稱圖形，對圓規(guī)畫圓的方法也有所嘗試，甚至有學(xué)生聽說過圓周率、圓周長面積計算公式。但是教師在教學(xué)設(shè)計時很少考慮學(xué)生的已有認(rèn)知，往往還是按部就班地進(jìn)行教學(xué)。

【課前預(yù)測與分析】

如何在教學(xué)設(shè)計中更好地關(guān)注學(xué)生的已有認(rèn)知？如何使課堂教學(xué)更加結(jié)構(gòu)化？在學(xué)生學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識之前，筆者布置了前置性的探究作業(yè)，以期了解學(xué)生的已有認(rèn)知水平。

（一）前置探究作業(yè)設(shè)計

圓的認(rèn)識我知道

①關(guān)于圓你已經(jīng)知道了些什么？

②請你用圓規(guī)畫兩個大小不同的圓。

能說說你是怎么畫的嗎？你在用圓規(guī)畫圓的過程中遇到了什么困難？你想得到什么樣的幫助？

③你能標(biāo)出下面圓的圓心，并畫出它的直徑、半徑嗎？

關(guān)于半徑、直徑你還有什么發(fā)現(xiàn)？

④在邊長4厘米的正方形中畫一個最大的圓，留下作圖痕跡。

（二）前置探究作業(yè)分析

（對象：城區(qū)A學(xué)校五年級學(xué)生39人，鄉(xiāng)鎮(zhèn)B學(xué)校五年級學(xué)生44人）

1.圖像表征的人數(shù)多于文字表征，城鄉(xiāng)差距不明顯

A學(xué)校：有65%的學(xué)生提到了圓心、直徑和半徑的名稱，有89.7%的學(xué)生能夠在圓上畫出半徑和直徑的正確圖像。

B學(xué)校：有63.7%的學(xué)生提到了圓心、半徑和直徑的名稱，有81.8%的學(xué)生能夠畫出直徑和半徑的正確圖像。

2.操作技能水平弱于操作方法理解水平，城區(qū)操作熟練水平高

A學(xué)校：有92.3%的學(xué)生會用圓規(guī)畫圓，但是只有48.7%的學(xué)生能夠畫得比較順暢，有超過一半的學(xué)生認(rèn)為在畫圓的時候針尖會移動，用手指捏住柄旋轉(zhuǎn)一周這個動作比較難完成。

B學(xué)校：有95.5%的學(xué)生會用圓規(guī)畫圓，但是只有18.2%的學(xué)生能夠畫得比較順暢，有超過一半的學(xué)生出現(xiàn)手轉(zhuǎn)不過來、畫不完整、畫著畫著就彎了、中心容易移動等現(xiàn)象。

3.直徑半徑特征不明，定點定長無法理解，城鄉(xiāng)各有優(yōu)劣

A學(xué)校：有25.6%的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)直徑和半徑的兩倍關(guān)系。有69.2%的學(xué)生通過不斷嘗試找圓心畫最大的圓，但畫出來的都不是最大的圓，有些只是比較接近。有33.3%的學(xué)生能夠用正確的方法在正方形內(nèi)確定圓心和半徑畫出最大的圓。

B學(xué)校：有40.9%的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)直徑和半徑的兩倍關(guān)系。有40.9%的學(xué)生通過不斷嘗試找圓心的大概位置畫出接近準(zhǔn)確的圖，無人能用規(guī)范的方法畫出最大的圓。

通過前置性探究作業(yè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對圓心、直徑和半徑已經(jīng)有了直觀的認(rèn)識，只是還不會用比較規(guī)范的語言進(jìn)行表述，那么通過學(xué)習(xí)教師要讓學(xué)生用規(guī)范的語言對直徑、半徑的概念進(jìn)行準(zhǔn)確表述;大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)基本掌握用圓規(guī)畫圓的方法，只是沒有掌握技巧，畫得不夠熟練，在課中教師應(yīng)該對畫圓方法進(jìn)行示范，而后讓學(xué)生通過觀察、操作，學(xué)會用圓規(guī)準(zhǔn)確畫出圓形;部分學(xué)生能夠想到直徑和半徑的關(guān)系，而對于直徑、半徑的特征則沒有涉及，因此在課中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去思考直徑、半徑的特征;對于正方形中畫圓這種探究性作業(yè)，大多數(shù)學(xué)生無法正確操作，主要是因為沒有真正理解定點、定長的知識概念，這也是本課的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。

【實踐策略】

基于以上分析，課堂教學(xué)設(shè)計可以借助這些前置性探究作業(yè)中得到的學(xué)生作品資源，進(jìn)行合理設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生深度探究圓的知識。

（一）基于學(xué)生立場，解決教什么的問題

可以看出，五年級的學(xué)生對圓的知識有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，部分學(xué)生能夠說出“圓是沒有角的”“圓沒有直線”“圓是一個封閉圖形”，也有部分學(xué)生知道圓心、半徑、直徑等名稱，雖然不會說具體的定義，但是有直觀的表象，能畫出相應(yīng)的圖。部分學(xué)生也能說出直徑和半徑的兩倍關(guān)系，甚至了解直徑半徑可以畫無數(shù)條、同一個圓內(nèi)所有的直徑（半徑）都相等，但是卻無法說出個中理由?；谇爸眯蕴骄孔鳂I(yè)的結(jié)果分析，我們可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點和難點，哪些應(yīng)該教，哪些可以弱化。

1.概念理解：重視實踐操作，弱化概念表述

在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的是直觀幾何，不必過分糾結(jié)于概念的字詞表述。本課中學(xué)生要理解半徑、直徑兩個概念，在教學(xué)中，我們更要重視實踐操作層面的理解，學(xué)生能判斷、畫出相應(yīng)的直徑半徑的圖像即可。從課前探究作業(yè)中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生雖不能規(guī)范地表述定義，但也能夠說出圓心到“圓邊”的線段就是半徑，說明他們對半徑和直徑的認(rèn)知已經(jīng)趨近規(guī)范，教師所要做的就是引導(dǎo)學(xué)生把自己的生活化的語言轉(zhuǎn)化為科學(xué)規(guī)范的語言。

2.特征解析：基于直觀感知，滲透深度推理

本課中有一塊重要的內(nèi)容就是直徑和半徑的特征：直徑是半徑的兩倍;圓內(nèi)可以畫無數(shù)條半徑、直徑;同一個圓內(nèi)的半徑都相等、直徑都相等。對于這三條特征，一般學(xué)生的認(rèn)知水平停留在實際操作層面，比如用測量的方法驗證直徑和半徑的兩倍關(guān)系，同一個圓內(nèi)所有直徑或半徑的相等關(guān)系，用畫圖的方式證明可以畫無數(shù)條半徑、直徑。對于學(xué)生來說，測量和直觀操作是最容易想到的辦法，但不夠嚴(yán)密，比如在測量的時候會出現(xiàn)誤差，用畫圖的方法驗證半徑和直徑可以畫無數(shù)條的時候，也容易給學(xué)生造成“畫滿”的誤解。其實在本課中，還可以引導(dǎo)學(xué)生尋找便于理解的、更加嚴(yán)密規(guī)范的方式進(jìn)行驗證。比如可以直接通過圖示觀察得到，直徑是由兩條半徑組成的，因此直徑的長度是半徑的兩倍;根據(jù)半徑的定義（圓心到圓上任意一點的線段就是半徑），因為圓上有無數(shù)個點（這個學(xué)生是可以理解的），所以從圓心出發(fā)到圓上可以畫無數(shù)條半徑，同理推出可以畫無數(shù)條直徑;而所有的半徑都相等，則可以借助圓規(guī)畫圓的過程進(jìn)行推導(dǎo)，圓規(guī)兩腳間的距離就是半徑，畫圓的過程中兩腳間的距離不變，所以半徑都相等。

3.實踐操作：引入不同畫法，提煉知識本質(zhì)

在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)本課之前，基本都知道用圓規(guī)畫圓的方法（雖然不一定畫得規(guī)范正確），但是只出現(xiàn)這樣一種畫圓方法，對于學(xué)生理解圓的“定點、定長”的本質(zhì)是有所欠缺的。這就需要引入不同的畫法——用釘繩工具畫圓，這一方法能夠更好地幫助學(xué)生理解圓的兩個要素——定點、定長，以及直觀地看到“半徑”——繩子，通過兩種畫法的對比，可以使學(xué)生頭腦中的圖形表征得以顯性化，充分體悟圓的本質(zhì)。

（二）精選課堂路徑，解決怎么教的問題

1.前置作業(yè)引入，順應(yīng)學(xué)生心理

本課知識點繁多，課堂結(jié)構(gòu)容易零散，在學(xué)生完成前置性探究作業(yè)的基礎(chǔ)上，利用學(xué)生作品引出相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)就會更加流暢。

出示學(xué)生作品。

師：請輕輕地讀一讀同學(xué)的作品，誰來說說你讀懂了什么？

生：周揚(yáng)同學(xué)說圓是一個封閉圖形。

生：圓沒有角。

師：沒有角是什么意思呢？以前學(xué)過的什么圖形有角？（生：長方形、正方形）

師：圓沒有角，說明圓不是由線段組成的，而是由曲線組成的封閉圖形。

生：圓是軸對稱圖形。

師：請大家拿出圓形紙片，動手驗證一下。（學(xué)生得出是軸對稱圖形，對稱軸有無數(shù)條）

如果沒有前置性探究作業(yè)作支撐，在課堂上學(xué)生的回答要么漫無邊際，要么無從談起，需要教師一步步進(jìn)行引導(dǎo)，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)就會顯得零碎，教師的主導(dǎo)作用發(fā)揮過度。在解讀同學(xué)作品的過程中，學(xué)生的注意力會更加集中，思維也會更加聚焦，更能夠提升課堂教學(xué)的效率。

2.巧妙設(shè)計情境，改善學(xué)習(xí)體驗

圓心、半徑、直徑等概念，通常有兩種學(xué)習(xí)方法，要么讓學(xué)生通過自學(xué)直接得出，要么由部分學(xué)優(yōu)生根據(jù)已有經(jīng)驗得出，兩者都能達(dá)到學(xué)習(xí)的目的，但是都有不足，對于大多數(shù)學(xué)生來說學(xué)習(xí)體驗不佳。如果能夠設(shè)計合理的教學(xué)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么就會達(dá)到事半功倍的效果。

師：剛才大家畫了圓，現(xiàn)在老師也來畫一個。（在黑板上畫到一半借故停止）老師只畫了一半，你能幫老師把沒畫完的圓補(bǔ)充完整嗎？

（學(xué)生在作業(yè)紙上完成補(bǔ)圓操作。之后，教師指名一生上臺展示，并說一說是怎么補(bǔ)的。）

生：先把圓規(guī)的針尖對準(zhǔn)那個點，然后把圓規(guī)的兩個腳叉開，有鉛筆的那個腳對準(zhǔn)圓的邊，就可以畫了。

師：我們回顧一下，剛剛針尖對準(zhǔn)的那個點，就是圓的中心點，叫作圓心，可以用字母O表示。

師：如果把剛才圓規(guī)兩腳叉開的距離畫出來，就是圓的半徑，用字母r表示。你能試著說一說什么是半徑嗎？（同桌交流）

師：那么直徑是怎樣的？（出示概念）誰能上來畫一條？用字母d表示。

同樣是學(xué)習(xí)三個概念，如果只是由學(xué)優(yōu)生介紹得出，或者是學(xué)生自學(xué)得到，顯得不夠生動有趣，多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)意愿也不是很強(qiáng)。像這樣設(shè)置情境，讓學(xué)生在幫教師補(bǔ)圓的過程中，有了親身經(jīng)歷的操作體驗，關(guān)注點就更容易聚焦到圓心和半徑上來，那么圓心、半徑的概念就呼之欲出，直徑的學(xué)習(xí)自然水到渠成。

3.放慢感悟進(jìn)度，深入理解本質(zhì)

圓心決定位置這一知識點，是強(qiáng)行植入，還是操作感悟？半徑?jīng)Q定圓的大小這一知識點，是讓學(xué)生畫不同大小的圓，還是畫一樣大的圓？我們經(jīng)常可以看到這樣的案例。

師：請大家在左邊畫一個圓，然后在右邊畫一個圓。（生操作）

師：你看看圓的位置跟誰有關(guān)？（或者：為什么一個圓在左邊，一個圓在右邊？）

生：跟圓心的位置有關(guān)。

師：請大家先畫一個圓。（生操作）

師：再畫一個大一點的圓。（生操作）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圓的大小跟圓規(guī)兩腳之間的距離有關(guān)。

這樣的環(huán)節(jié)設(shè)計確實也能夠讓學(xué)生理解圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。但總感覺有些突兀，不利于學(xué)生理解這其中的道理。因此，筆者認(rèn)為可以分兩個層次來讓學(xué)生慢慢感悟。

（1）畫一樣大的圓

（教師在紙上任意畫一個圓，放置于實物投影儀下）

師：誰能來畫一個和老師的圓一樣大的圓？

生：可以帶尺子嗎？

師：只帶一支圓規(guī)。

（生上臺演示）

師：他是怎么做的？

生：先把圓規(guī)針尖對準(zhǔn)老師畫的那個圓的中心點，也就是圓心，然后把有鉛筆的那只腳對準(zhǔn)圓的邊，保持圓規(guī)兩腳距離不動，在旁邊畫一個圓就可以了。

師：怎么保證畫的圓是一樣大的？

生：圓規(guī)的兩個腳之間的距離是一樣的就可以了。

“圓的半徑?jīng)Q定圓的大小”的結(jié)論呼之欲出，但是這時候教師不必急于幫助學(xué)生得出結(jié)論，暫時讓學(xué)生處于口欲言而辭不達(dá)的狀態(tài)即可。

（2）長方形內(nèi)畫圓

在課的末尾，可以讓學(xué)生嘗試探究如何在長方形中畫最大的圓。雖然有些學(xué)生是在不斷地嘗試中去尋找圓心，而且最終確定的圓心不是非常準(zhǔn)確，但也能看到他們先確定圓心的思路。最終成功的方法有兩種，一種是用對角線的交點確定圓心，然后以圓心到長方形的長之間的距離作為半徑畫出最大的圓;另一種是在長方形中間畫出“寬”，以“寬”的中點作為圓心，寬的一半作為半徑，畫出最大的圓。

師：請大家觀察右圖，這些圓有什么一樣的地方和不一樣的地方？

生：這些圓都是一樣大的。

師：為什么？

生：因為這些圓的半徑都是相等的。

師：也就是說，圓的大小跟什么有關(guān)呢？

生：半徑。

生：這三個圓的位置不一樣。

師：這又是什么原因？

生：因為這些圓的圓心的位置不一樣。

師：也就是說，圓心的位置決定了圓的位置。

在長方形中畫最大的圓，是一個具有探究意味的問題，這需要學(xué)生理解定點、定長的概念，先確定圓心的位置，再確定半徑的長度，才能最終確定圓。通過學(xué)生的親身實踐，再加上之前畫同樣大的圓的操作，對于圓心決定位置、半徑?jīng)Q定大小的理解自然水到渠成。

本課以前置探究作業(yè)為基點，充分了解學(xué)生已有知識經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上重新確定教學(xué)重難點，調(diào)整課堂結(jié)構(gòu)，并把前置探究作業(yè)的作品合理置入課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，成為課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的推進(jìn)劑，使得整節(jié)課重難點突出，凸顯學(xué)習(xí)深度，揭示知識本質(zhì)，充分體現(xiàn)了探究作業(yè)的作用所在。

（浙江省寧波市奉化區(qū)錦屏中心小學(xué)? ?315500）