山東淄博師范高等?？茖W(xué)校 張良朋

一

真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就其實際發(fā)生的過程而言，實質(zhì)上是一種正確與錯誤相互交織、交互共進的活動。因此，從啟動學(xué)習(xí)活動到最終學(xué)習(xí)成功絕非一個一蹴而就、一帆風(fēng)順的簡單過程，其間正確與錯誤的想法和做法往往是彼此雜糅在一起，甚至?xí)a(chǎn)生激烈的對抗，因而學(xué)習(xí)的進程常常表現(xiàn)為錯與對之間的相互博弈，更多的時候需要學(xué)習(xí)者在辨識正確與錯誤中“摸著石頭過河”。學(xué)生不僅要會品嘗學(xué)習(xí)成功帶來的愉悅，還要妥善應(yīng)對學(xué)習(xí)錯誤可能帶來的危機和轉(zhuǎn)機。一句話，沒有學(xué)習(xí)錯誤的學(xué)習(xí)活動是不真實、不完整、不完善的。

學(xué)生之間的差異是客觀存在的。課堂教學(xué)中經(jīng)常會出現(xiàn)有一部分學(xué)生學(xué)習(xí)成功了，另一部分學(xué)生卻還深陷學(xué)習(xí)錯誤的泥淖。

當(dāng)下一個十分普遍的事實是，要求學(xué)生在課堂上公開談?wù)撳e誤是件很難且很不受歡迎的事。當(dāng)學(xué)生出錯時，他常常覺得自己是個失敗者，是在丟人現(xiàn)眼。我們的調(diào)研一再表明，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)性錯誤時，從其內(nèi)心來講，很不情愿將之公之于眾作為“靶子”供大家指指點點，盡管這很可能使出錯者本人和其他同學(xué)都深受教益。即使是教師也未必持有正確的學(xué)習(xí)錯誤觀，他們常常視學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤為惡化教學(xué)生態(tài)、阻礙教學(xué)質(zhì)量提升的洪水猛獸，因而在教學(xué)中千方百計地躲著它，不想與之發(fā)生任何關(guān)聯(lián)，對犯錯學(xué)生則往往報以冷嘲熱諷、批評、抱怨等負面情緒——錯誤，常常被一些教師視作教與學(xué)的敵人，而非通向教學(xué)成功路途上的合作伙伴。

顯然，無論對教師還是學(xué)生而言，都很有必要重新認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的教育意蘊。

二

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的教育意蘊，至少有如下幾種表現(xiàn)：

第一，學(xué)習(xí)錯誤引發(fā)的問題，往往對學(xué)生探索新知具有啟發(fā)作用。

學(xué)習(xí)錯誤表現(xiàn)雖然與預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)不符，但它能觸發(fā)學(xué)生深刻的反思活動，使他們的認識由混沌走向有序，由淺層走向深層，由表象走向本質(zhì)，啟發(fā)他們做出新的探索。現(xiàn)代著名科學(xué)家卡爾·波普爾認為，產(chǎn)生錯誤或者發(fā)現(xiàn)錯誤，對科學(xué)研究不是壞事而是好事，因為它是科學(xué)發(fā)展的必要前提；只有發(fā)現(xiàn)錯誤才能消除錯誤，從而才能提高理論的逼真度，促進科學(xué)的發(fā)展。他寫道：“當(dāng)認識到了它們，我們自己的錯誤便提供暗淡的紅光，幫助我們在黑暗的洞穴中摸索出路?！辈ㄆ諣栠M一步指出，真理與錯誤是不可分地聯(lián)系著的，科學(xué)只能在不斷清除錯誤中前進。為此，他提出了一個著名的口號：“從錯誤中學(xué)習(xí)?！彼^“吃一塹，長一智”，闡述的正是這個道理。

第二，學(xué)習(xí)錯誤為學(xué)生提供了進一步探究新知所需的重要材料和學(xué)習(xí)信息。

學(xué)生初步學(xué)習(xí)獲得的結(jié)果是錯誤的，并不表明它所依據(jù)的材料本身也是不可靠的，相反這些材料可能具有特殊的學(xué)習(xí)價值。換言之，學(xué)生前期學(xué)習(xí)時所選擇的錯誤路徑或獲得的不正確結(jié)果，歸根結(jié)底都是對正確事實的不正確觀念或錯誤使用引起的。通過分析學(xué)習(xí)錯誤的外部誘因和內(nèi)在癥結(jié)，學(xué)生就會從已有的材料中挖掘出更具本質(zhì)意義的結(jié)論或方法，明確區(qū)分哪些是合理因素，哪些是不合理因素，哪些是關(guān)鍵因素，哪些是次要因素，不僅有助于認知發(fā)展，而且能提升多方面的學(xué)習(xí)素質(zhì)。如在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時，有學(xué)生提出：“我們以前是通過把長方形沿著對角線一分為二的辦法，得到直角三角形的內(nèi)角和是360度÷2＝180度。那么，把一個等腰三角形沿著它的高一分為二，小的直角三角形的內(nèi)角和應(yīng)該是180度÷2＝90度?！北M管學(xué)生通過類比推演得出的小三角形內(nèi)角和的結(jié)論是錯誤的，但是，他的這一錯誤反映了部分學(xué)生真實的思維運行狀態(tài)，這為后面深入研討“三角形的內(nèi)角和”提供了十分難得的辨析材料和發(fā)展信息。

第三，學(xué)習(xí)錯誤可以刺激學(xué)生主動變換學(xué)習(xí)角度，從而向真知逼近。

恩格斯早就說過：“要明確地懂得理論，最好的道路就是從本身的錯誤當(dāng)中、從親身經(jīng)歷的痛苦體驗中去學(xué)習(xí)?！痹谶M行學(xué)習(xí)時，一旦發(fā)現(xiàn)“此路不通”，往往意味著必須另辟蹊徑。順向思考行不通，可以試試逆向思考；單純邏輯分析行不通，可以試試數(shù)形結(jié)合；分析的思路行不通，可以試試綜合的思路……通過變換學(xué)習(xí)角度，有助于學(xué)生迅速找到學(xué)習(xí)的突破口，打開學(xué)習(xí)成功的新局面。恰如大哲學(xué)家維特根斯坦曾指出的：“人們一定是從錯誤開始,然后由此轉(zhuǎn)向真理……要讓人相信真理,僅僅說出真理是不夠的，人們還必須找到從錯誤到真理的道路?！闭軐W(xué)家黑格爾說得更為精辟：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環(huán)節(jié)?！睂W(xué)習(xí)錯誤的刺激功效常常能誘發(fā)獨特的認識方法論價值，從而啟發(fā)學(xué)習(xí)者更富成效地找到學(xué)習(xí)的突破口和嶄新的進階路徑。

第四，學(xué)習(xí)錯誤可以促進學(xué)生整體學(xué)習(xí)素養(yǎng)的提高。

學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)錯誤，原因是多方面的，有的是因為知識的缺乏，有的是能力還不夠強，有的是心理素質(zhì)比較薄弱，等等。從學(xué)生暴露的學(xué)習(xí)錯誤中能夠發(fā)現(xiàn)他們在整體學(xué)習(xí)素養(yǎng)上的某些弱項，有意識地利用學(xué)習(xí)錯誤來有針對性地培養(yǎng)相關(guān)素質(zhì)，正是學(xué)習(xí)錯誤蘊含的一個重要教育價值。也就是說，學(xué)習(xí)錯誤為我們的教學(xué)提供了十分重要的發(fā)展信息。比如：學(xué)生出現(xiàn)錯誤之后，往往都會出現(xiàn)負面情緒，產(chǎn)生挫敗感。但是，只要教師引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)習(xí)錯誤反而會成為培養(yǎng)學(xué)生積極樂觀、迎難而上態(tài)度的契機。學(xué)習(xí)錯誤，可能正好意味著學(xué)生的發(fā)展出現(xiàn)了新的生長點。一直以來，不少教師都一廂情愿地為學(xué)生鋪平學(xué)習(xí)道路，在學(xué)生出錯之前，打好預(yù)防針，小心翼翼地保護著學(xué)生們免受學(xué)習(xí)錯誤的困擾。教師或家長把自己的經(jīng)驗告訴學(xué)生，想更好地防患于未然，然而那僅僅是一種間接經(jīng)驗，并不是他們親自在實踐歷練中獲得的經(jīng)驗，這樣的間接經(jīng)驗在應(yīng)對真實的實踐時往往極其脆弱，不堪一擊。家長的替代，表面上是幫助了孩子，迅速見到了成效，實際上是剝奪了他們在實踐中獲得應(yīng)對錯誤的寶貴經(jīng)驗的良好機會。微軟創(chuàng)始人比爾·蓋茨堅持這樣的用人原則：“我喜歡雇用犯過錯的人，這表示他們能冒險。人們處理錯誤的方法，同時也表現(xiàn)出他們會如何因應(yīng)改變?！北蛔馂椤艾F(xiàn)代管理學(xué)之父”的彼得·德魯克與比爾·蓋茨的觀點不謀而合：“我永遠不會提拔一個從不犯錯誤，特別是從不犯大錯誤的人擔(dān)任最高層的工作?！睂W(xué)生整體素養(yǎng)的有效發(fā)展不僅是由于要對抗自己內(nèi)部的錯誤性，同時也是依靠克服自己內(nèi)部的錯誤性加以實現(xiàn)的。

第五，學(xué)習(xí)錯誤還原了學(xué)生學(xué)習(xí)活動的真實性和復(fù)雜性。

從正確出發(fā)沿著正確的路徑采取正確的方法獲得新的正確——總是正確地學(xué)習(xí)，只是某些人不切實際的一廂情愿，并不符合學(xué)生的學(xué)習(xí)實情。學(xué)生經(jīng)常是帶著“錯誤認知”進入學(xué)習(xí)狀態(tài)的，他們帶著各種各樣源自經(jīng)驗的成見投入到學(xué)習(xí)中，其中不乏錯誤的想法。如比德韋爾所說，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生們覺得“數(shù)學(xué)乃是一切都已發(fā)現(xiàn)好了的”，這種嚴格控制下的數(shù)學(xué)教學(xué)，實際上是教師利用某種“技巧”掩藏或過濾掉了學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤，這導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程十分順暢，看似十分成功，但實際上只能使學(xué)生的學(xué)習(xí)“踏著虛幻的舞步”，慢慢滑向?qū)W習(xí)失敗的深淵。暴露、分析學(xué)生的錯誤表現(xiàn)，有助于教師全面地、有針對性地深度洞察學(xué)生學(xué)習(xí)活動的真實性和復(fù)雜性，盡可能科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)活動的發(fā)生發(fā)展機制，進而有效解決學(xué)生中間潛藏的學(xué)習(xí)問題，促進學(xué)生高質(zhì)量地開展學(xué)習(xí)活動。

第六，學(xué)習(xí)錯誤觸發(fā)的警醒意義讓學(xué)生具備更為持久和深入的發(fā)展力量。

學(xué)習(xí)錯誤的出現(xiàn)，增加了學(xué)習(xí)活動的活力和豐富性。我們知道，錯誤常常與某種深刻復(fù)雜的情緒體驗和認知活動體驗有機地關(guān)聯(lián)在一起，其所觸發(fā)的警醒意義常常會使犯錯者本人歷久難忘，長時間地保持著對某種錯誤的敏感度與免疫力。正如心理學(xué)家蓋耶所說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤,就將錯過最富有成效的學(xué)習(xí)時刻?！?/p>

三

根據(jù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中所犯錯誤的表現(xiàn)形式，我們把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤分為三大類：知識性錯誤，認知性錯誤，情意性錯誤。

（一）知識性錯誤及其教學(xué)應(yīng)對

知識性錯誤屬于學(xué)習(xí)準(zhǔn)備性錯誤，主要是指學(xué)生在學(xué)習(xí)準(zhǔn)備階段因尚不具備完成學(xué)習(xí)活動所需的必要知識和熟練技能而引發(fā)的錯誤，從形態(tài)上分析屬于結(jié)果性錯誤。

知識性錯誤主要涵蓋概念性錯誤和技能性錯誤兩種類型。比如：在教學(xué)“長方形面積的計算”時，由于學(xué)生把長方形面積和周長的概念混淆，盡管他們非常積極地投入到探究活動中，無奈常常偏離學(xué)習(xí)的主攻方向，做的大多都是無用功，白白浪費了學(xué)習(xí)時間。再如：在學(xué)習(xí)“異分母分數(shù)加減法”時，如果學(xué)生對同分母分數(shù)加減法、通分、約分等必備技能掌握得還不夠熟練，那么在探索新題目“=”的算理和算法時，就會不斷出現(xiàn)令人意想不到的低級錯誤頻繁干擾正常的學(xué)習(xí)活動。

應(yīng)對知識性錯誤，前提是科學(xué)調(diào)研學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況，理清知識性錯誤的具體類型和成因，據(jù)此進行查漏補缺。具體的應(yīng)對方法有：

第一，通過課前的復(fù)習(xí)作業(yè)或課堂上的復(fù)習(xí)舊知環(huán)節(jié)化解學(xué)生的知識性錯誤，為學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中進行知識、方法的有效遷移做好準(zhǔn)備。

第二，通過適時建立和及時查閱《學(xué)生學(xué)習(xí)錯誤記錄檔案》來化解學(xué)生的知識性錯誤，這樣做把改錯的主動權(quán)交給了學(xué)生，依靠學(xué)生自己的力量化解遇到的困難，能有效化解知識性錯誤給師生帶來的種種困擾。

第三，通過組織針對基本概念、基本技能、常用規(guī)則的記憶和掌握等類型的學(xué)習(xí)基本功比賽，有助于學(xué)生在富含激勵的競爭性氛圍中積極主動地打牢學(xué)習(xí)根基。

第四，化解學(xué)生的知識性錯誤要不斷回歸到意義源頭上。學(xué)生出現(xiàn)知識性錯誤，并不僅僅是一個記憶不夠牢固的問題，單靠機械死記正確答案并不能真正解決問題。學(xué)生不能真正理解知識所承載的意義，可能是錯誤發(fā)生的更深層次的原因。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從根源（意義理解）上尋找癥結(jié)并做出改變。維特根斯坦有言：“洞見或透識隱藏于深處的棘手問題是艱難的，因為如果只是把握這一棘手問題的表層，它就會維持原狀，仍然得不到解決。因此，必須把它‘連根拔起’，使它徹底地暴露出來，這就要求我們開始以一種新的方式來思考?！?/p>

第五，通過拓展學(xué)習(xí)途徑化解學(xué)生的知識性錯誤?；鈱W(xué)生的知識性錯誤，有時需要一個多次“遇見”的過程。教師可以有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過不同的學(xué)習(xí)路徑展開復(fù)習(xí)，如課內(nèi)外穿插復(fù)習(xí)、“課前快答3分鐘”、有問有答小游戲等，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的不斷拓展，學(xué)生與某些知識會因不斷“相遇”而漸漸熟悉，從而熟練地掌握這些知識。

（未完待續(xù)）