【摘 要】本文以 2019 年高考立體幾何為例，闡述利用矢量叉乘法求解高考數(shù)學(xué)立體幾何題的方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 立體幾何 矢量叉乘法 學(xué)科交叉

【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）09B-0158-05

矢量叉乘法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，它具有多種用途，可以靈活地解決幾何中的許多問題，因此得到許多考生的關(guān)注。在此探討矢量叉乘法在求解高考立體幾何題中的具體應(yīng)用，為讀者提供參考。

一、矢量叉乘法介紹（求解平面法向量神器）

設(shè)? ?是某個(gè) a 平面的不共線向量，則該面的法向量可以為：

〖注〗如果考生對(duì)物理學(xué)的右手螺旋定則了解深刻，那么向量? 的方向可以直接由右手螺旋定則確定下來。雖說如此，但也考慮到一些學(xué)子對(duì)右手螺旋定則了解不深刻，依然能用此法求解數(shù)學(xué)問題，故先不強(qiáng)調(diào)學(xué)子對(duì)右手螺旋定則掌握。其原因是因?yàn)榍蠼獬鰜淼姆ㄏ蛄窟€可以根據(jù)其對(duì)應(yīng)的一兩個(gè)坐標(biāo)的正負(fù)來判斷向量的指向。

二、空間向量法求解立體幾何相關(guān)公式

（一）線面角公式

其中， 為直線上的向量， 為平面的法向量，θ 為直線與平面的夾角。

（二）二面角公式

其中， 分別為所求二面角對(duì)應(yīng)面的法向量。并且就對(duì)應(yīng)角而言，法向量方向滿足“一進(jìn)一出”規(guī)則，即人為調(diào)整法向量的方向，使得一個(gè)法向量穿進(jìn)二面角，另外一個(gè)法向量穿出二面角。這樣處理的好處是，此時(shí)這兩個(gè)法向量的角就是二面角的平面角。不少同學(xué)在調(diào)整法向量的方向時(shí)也常遇到問題，即不知道如何判斷法向量的方向。判斷的方法是根據(jù)求出的法向量的坐標(biāo)正負(fù)來判斷，具體是常用 z 軸方向的坐標(biāo)來判斷，如果不能用 z 軸方向的坐標(biāo)來判斷，那么一般再用 y 軸的坐標(biāo)正負(fù)就可以輕松判斷出法向量的指向。

（三）一些常用的解題結(jié)論

采用三角形中位線平行底線或平行四邊形的對(duì)應(yīng)兩條線平行結(jié)論來證明一條線平行一個(gè)面;采用勾股定理證明線與線相互垂直，便于證明線與面垂直、面與面垂直，也便于建立空間直角坐標(biāo)系，以求解問題。

三、矢量叉乘法在求解 2019 年高考全國卷理科數(shù)學(xué)立體幾何題中的應(yīng)用

〖例 1〗（ 2019 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題全國卷 1）如圖 1，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分別是 BC，BB1，A1D 的中點(diǎn)。

（1）證明：MN∥平面 C1DE;

（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值。

〖解題深度分析〗第一小問較容易，同時(shí)利用三角形中位線和平行四邊形來證線面平行。證法中，只要連接 ME，B1C 即可開始證明，其中 ME 是三角形 △BCB1 的中位線，則有 ME 平行且等于 B1C 的一半;又 B1C 與線段 AD 平行且相等，由平行線間的傳遞性，易知 ME 平行且等于 ND;由平行四邊形的判斷定理知四邊形 DEMN 為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)定理即可知道 MN 平行 DE;而 DE 在平面 C1DE 內(nèi)，但 MN 不在平面 C1DE 內(nèi)，由線面平行判定定理即可知 MN 平行平面 C1DE。第二問的解題就需要求解兩個(gè)面的法向量，當(dāng)然如果采用幾何法求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)所求二面角的平面角輔助線較難畫出，故選擇采用空間向量法較為簡單。但空間向量法又分為基底法和坐標(biāo)法，如采用坐標(biāo)法則需要找到三條兩兩相互垂直的線，本題剛好通過幾何分析易發(fā)現(xiàn)有三條線兩兩相互垂直，故較為容易的方法便是坐標(biāo)法，采用坐標(biāo)法相對(duì)于幾何法的優(yōu)點(diǎn)在于可以將空間想象力轉(zhuǎn)化為代數(shù)能力。故坐標(biāo)法解決大部分同學(xué)空間想象能力弱的問題，使立體幾何問題的求解得到簡化。第二問采用坐標(biāo)法細(xì)節(jié)是，利用幾何分析可發(fā)現(xiàn)幾何體的底面是菱形，意味著底面四邊形 ABCD 各邊均相等。題目又告知角 ∠BAD=60°，連接 BD，由正三角形的判定定理知三角形 △ABD 和△BCD 均是正三角形。又由于點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，由正三角形性質(zhì)定理可知，DE 垂直 BC;而由菱形性質(zhì)知 BC 與 AD 是平行的，則 DE 垂直 AD。又柱體是直棱柱，則每一條側(cè)棱都垂直底面，也垂直于底面上的任何一條直線，故 DD1⊥DA、DD1⊥DE、DE⊥DA，則可以取點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 DA 為 x 軸，以 DE 為 y 軸，以 DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz。然后寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，寫出對(duì)應(yīng)向量，利用矢量叉乘法將兩個(gè)面的法向量求解出來，然后利用向量的坐標(biāo)正負(fù)判定向量指向，看是否需要調(diào)整向量的方向，然后利用二面角公式求解。

由于筆者在求解和取兩平面的法向量時(shí)已經(jīng)對(duì)兩向量的方向進(jìn)行控制，上面的兩個(gè)向量方向相對(duì)于所求二面角而言是滿足“一進(jìn)一出”的規(guī)則，故此兩向量的角便是所求二面角的平面角。設(shè)所求二面角的平面角為 θ，由二面角平面角公式得

〖點(diǎn)評(píng)〗本題在求解面的法向量時(shí)采用了矢量叉乘法求解，其法在實(shí)踐運(yùn)算當(dāng)中，若學(xué)子非常熟悉，在所寫的行列式當(dāng)中可以進(jìn)一步簡化，直接利用兩向量的坐標(biāo)對(duì)法向量的坐標(biāo)進(jìn)行直接求取。具體取法是：將兩向量的坐標(biāo)分行寫出排成列，取 x 坐標(biāo)時(shí)，不看兩向量的 x 坐標(biāo)，看兩向量的 y 與 z 坐標(biāo)，然后對(duì)四個(gè)坐標(biāo)交叉相乘相減即可獲得法向量的 x 坐標(biāo);同理獲得法向量的 z 坐標(biāo);用同樣的方法獲得 y 坐標(biāo)時(shí)還需在其前面添上一個(gè)負(fù)號(hào)即可獲得法向量的 y 坐標(biāo)。在實(shí)踐解題當(dāng)中此法獲得法向量的方法比起傳統(tǒng)法在時(shí)間上得到很大的縮減，因此請(qǐng)閱讀本文的教師或者學(xué)子去實(shí)踐去感受。

〖例 2〗（2019 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題全國卷Ⅱ）如圖 3（見下頁），長方體 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 在棱? AA1 上，BE⊥EC1。

（1）證明：BE⊥平面 EB1C1;

（2）若 AE=A1E，求二面角 B-EC-C1 的正弦值。

〖解題深度分析〗第一問證明較容易，屬于送分題，由題目給出的長方體知 B1C1 垂直于平面 ABB1A1;又因?yàn)?BE 在平面 ABB1A1 內(nèi)，由線面垂直性質(zhì)定理知，B1C1 垂直 BE，倒過來就是 BE 垂直 B1C1。題目又告訴我們 BE 垂直 EC1，而 B1C1 與 EC1 均是平面 EB1C1 內(nèi)的線且兩直線相交，由線面垂直判定定理知 BE⊥平面 EB1C1。第二問求解二面角的平面角的正弦值，如果采用幾何法求解，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半平面的交線為 EC，很難畫出想要的易求解的二面角的平面角。這題如果采用幾何法則題目對(duì)考生的空間想象能力的考查度相對(duì)較高。但題目給出的結(jié)構(gòu)規(guī)規(guī)矩矩，易建立空間直角坐標(biāo)系、利用坐標(biāo)法求解。采用坐標(biāo)法求解二面角也就必然要面臨著求解兩個(gè)面的法向量問題。本題第二問建系容易，唯一的小插曲就是點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接得出，需要先找到柱體的側(cè)棱與底邊的等量關(guān)系。這里則需要用到第一小問證明的結(jié)果，進(jìn)而可以利用勾股定理便可以找出側(cè)棱與底邊的等量關(guān)系。具體是，由第一問知 BE 垂直平面 EB1C1，而 EB1 是平面 EB1C1 內(nèi)的線，由線面垂直性質(zhì)定理知 BE 與 EB1 相互垂直，故由勾股定理得 AB2+AE2=BE2，A1E2+AB12=B1E2，BE2+EB12=BB12。又 AE=A1E，AA1=BB1，從而得出 AB=AE。找到側(cè)棱與底邊的等量關(guān)系后，為了便于求解題目，可以設(shè) AB=AE=1。為了使各點(diǎn)坐標(biāo)寫得較為簡單一些也好寫一些，取 D 為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以 DA 為 x 軸，以 DC 為 y軸，DD1 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz;寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，寫出相應(yīng)的向量，然后利用矢量叉乘法取兩個(gè)平面的法向量，然后求解題目。

上面的兩個(gè)向量方向相對(duì)于所求二面角而言是滿足“一進(jìn)一出”原則的，設(shè)所求二面角的平面角為 θ，由二面角平面角公式得

又因?yàn)閮擅娼堑钠矫娼谴笮》秶?θ∈（0°，180°），故 θ=120°，其正弦為 ，所以二面角 B-EC-C1 的正弦值為 。

〖點(diǎn)評(píng)〗本題較全國一卷那題立體幾何而言更為容易，主要容易在第一小問，第一小問算送分題。第二小問建系也比一卷的容易，建系取點(diǎn)寫坐標(biāo)和向量后均是求解二面角的相同問題，也都涉及同時(shí)求解兩個(gè)平面的法向量。通過解題對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，今年的卷Ⅰ立體幾何在第一問及第二問的建系上要難于卷II。

〖例 3〗（2019 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題全國卷III）圖 5 是由矩形 ADEB、Rt△ABC 和菱形 BFGC 組成的一個(gè)平面圖形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿 AB、BC 折起使得BE 與 BF 重合，連結(jié) DG，如圖 6。

（1）證明：圖 6 中的 A、C、G、D 四點(diǎn)共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;

（2）求圖 6 中的二面角 B-CG-A 的大小。

〖解題深度分析〗第一小問依然較為容易，在形成的斜三棱柱中由側(cè)面菱形和矩形的性質(zhì)，知 CG 平行且等于 BE，而 BE 平行且等于 AD，則可知 CG 平行且等于 AD，即四邊形 CGDA 是一個(gè)平行四邊形。而點(diǎn) A，C，G，D 是這個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，可證四點(diǎn)共面。由矩形和直角三角形可知 AB 垂直 BE，AB 垂直 BC;又 BE、BC 相交且均在平面 BCGE 內(nèi)，由線面垂直判定定理可知，AB 垂直平面 BCGE。又因?yàn)?AB 在平面 ABC 內(nèi)，由面面垂直判定定理便可知平面 ABC⊥平面 BCGE。第二問依然是求解二面角的問題，采用的方法無非就是幾何法或向量法，采用幾何法發(fā)現(xiàn)較難作出滿意的所求二面角的一個(gè)平面角。因此解題思路轉(zhuǎn)向向量法，但發(fā)現(xiàn)本題的向量法采用坐標(biāo)法時(shí)，坐標(biāo)的建立對(duì)學(xué)子而言有些難度，即不能那么直觀地建系。通過分析，由第一小問獲得的結(jié)論平面 ABC⊥平面 BCGE，其中 AB 垂直 BC，則可以用 BC 作為 x 軸，BA 作為 y 軸。如果這樣建系那么還少 z 軸。按照這樣建系，z 軸只能是由 B 點(diǎn)立起來，發(fā)現(xiàn)如此建系不利于各點(diǎn)的坐標(biāo)寫出。此時(shí)發(fā)現(xiàn)不如過點(diǎn) E 對(duì) BC 線作高，設(shè)高線與 BC 的交點(diǎn)為 H，則此時(shí)以 H 為建系原點(diǎn)，以 HC 為 x 軸，以 H 點(diǎn)處做平行 AB 線的線作為 y 軸，以 HD 作為 z 軸，那么所需的空間系便建立好了。由幾何等量關(guān)系便可寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出相關(guān)向量，求出兩個(gè)面的法向量，然后利用二面角公式求解。在實(shí)踐中，采用坐標(biāo)法，不少同學(xué)感覺較為別扭，那么有沒有不建系的方法求解二面角的大小呢？答案也是肯定的，其實(shí)發(fā)現(xiàn)較為直接的是向量 、、 三者的模及兩兩間的角都是已知的，如果采用基底法求解那么思路將更加順暢。本題筆者將同時(shí)給出坐標(biāo)法中的叉乘法求解和基底法求解。

又因?yàn)閮擅娼堑钠矫娼谴笮》秶?θ∈（0°，180°），則 θ=30°，所以二面角 B-CG-A 的大小為 30°。

〖點(diǎn)評(píng)〗本題運(yùn)用了坐標(biāo)法，其中坐標(biāo)法解題中在求解面的法向量時(shí)采用矢量叉乘法。在采用坐標(biāo)法解題時(shí)，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)在于建系較難和建系后點(diǎn)的坐標(biāo)求解較難。這兩點(diǎn)給考生一致的感覺就是題目別扭，使得不少學(xué)子在解題過程中對(duì)建系和寫坐標(biāo)花費(fèi)較多時(shí)間，并且如果在求解法向量時(shí)采用傳統(tǒng)求解法時(shí)間將消耗更多。本題稍微人性化的地方是平面的法向量不需要求解兩個(gè)，其中一個(gè)面的法向量易得。總體而言，相比全國卷Ⅰ和卷Ⅱ的立體幾何，顯然全國卷III的立體幾何題難度更大。如果本題采用基底法求解，那么好處是各基底能直接看出，并且各基底間的關(guān)系也都清楚，但基底法求解的不足之處在于后續(xù)的計(jì)算量非常龐大，在時(shí)間上給考生帶來考驗(yàn)同時(shí)由于計(jì)算量大不少同學(xué)采用基底法求解的時(shí)候容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。

四、反思

筆者研究發(fā)現(xiàn)，矢量叉乘法在解決各高考理科立體幾何試題方面依然發(fā)揮巨大的作用，考慮到篇幅問題，這里不再展開。從矢量叉乘法在 2019 年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何中的解題應(yīng)用來看，全國卷Ⅰ、卷Ⅱ、卷III均適用此法求解，并且此法的熟練運(yùn)用可以極大地減少考生在求解平面法向量時(shí)的寶貴時(shí)間。對(duì)全國三套卷的對(duì)比深度分析及求解實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)全國卷III的立體幾何題難度最大，其次是全國卷Ⅰ，最為容易是全國卷Ⅱ。本文在求解全國卷III時(shí)同時(shí)給出了坐標(biāo)法及基底法求解，通過對(duì)比，采用坐標(biāo)法求解時(shí)，難點(diǎn)在建系和求解點(diǎn)的坐標(biāo)，一旦成功建系和求解得到點(diǎn)的坐標(biāo)，往下便較為好求，此法計(jì)算量較小，但思維難度大;而采用基底法求解時(shí)，優(yōu)點(diǎn)是基底已經(jīng)清楚并且直接給出各基底間的關(guān)系，解題思路簡單，但缺點(diǎn)是后續(xù)計(jì)算量大，易錯(cuò)。

本文對(duì)矢量叉乘法在今年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何中的解題應(yīng)用研究，對(duì)比坐標(biāo)法中求解法向量的常規(guī)方法及矢量叉乘法求解。筆者發(fā)現(xiàn)眾多學(xué)子均感覺使用矢量叉乘法求解數(shù)學(xué)立體幾何題更方便。這里也請(qǐng)閱研本文的教師或同學(xué)去實(shí)踐，去具體感受其方法的妙處，也希望此法能給后面參加高考的學(xué)子帶去一點(diǎn)點(diǎn)感悟和參考。同時(shí)看出近年來全國高考數(shù)學(xué)試題的設(shè)題背景由最初的純數(shù)學(xué)逐步向各個(gè)學(xué)科延伸，可預(yù)測在題目的綜合度上將由最初的章節(jié)間的綜合逐步提高到學(xué)科交叉間的綜合，也望學(xué)子更多強(qiáng)化自身學(xué)科交叉間的綜合能力提升。

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【作者簡介】楊承翰，男，大學(xué)本科，高中數(shù)學(xué)教師，高中物理奧林匹克競賽教練員，高中全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽教練員。研究方向：高考數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、高中物理奧林匹克競賽。