張偉欣， 韓海生， 李 穎， 張海豐

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力學(xué)中，體系的能量本征值能夠精確求解的問(wèn)題非常有限，除了少數(shù)體系(例如諧振子，氫原子等)外，往往不能?chē)?yán)格求解[1]。因此，在處理各種實(shí)際問(wèn)題時(shí)采用適當(dāng)?shù)慕平夥?，例如微擾論，變分法，自洽場(chǎng)方法，絕熱近似，準(zhǔn)經(jīng)典近似等，其中最廣泛的就是微擾論。

設(shè)量子力學(xué)體系的Hamilton算符為

H=H0+H′

(1)

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

(2e)

等等。

設(shè)微擾作用后，能級(jí)和本征態(tài)變成

(3a)

ψn=ψ(0)+ψ(1)+ψ(2)+…

(3b)

零級(jí)近似ψ(0)由兩個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)ψα、ψβ組成：

ψ(0)=Cαψα+Cβψβ

(4)

規(guī)定波函數(shù)的各修正項(xiàng)和ψ(0)正交：

〈ψ(0)|ψ(1)〉=0

(5a)

〈ψ(0)|ψ(2)〉=0

(5b)

因此

(6)

將(3a)、(3b)代入能量本征方程

Hψn=(H0+H′)ψn=Enψn

(7)

并按能級(jí)分開(kāi)，可得零級(jí)項(xiàng)

(8)

一級(jí)項(xiàng)

(9)

二級(jí)項(xiàng)

(11a)

(11b)

上式相當(dāng)于{ψα，ψβ}子空間中H′的本征方程，即

(11c)

方程組(11)存在非平庸解的必要條件為

(12)

(13)

(14)

代入式(6)，即得

(15)

以ψ(0)*左乘式(10)，并對(duì)全空間積分，即得

(16)

討論：

1)如在{ψα,ψβ}子空間中H′的對(duì)角元不相等，而非對(duì)角元為零，即

εα>εβ

(17a)

(17b)

這時(shí)式(13)給出

(18a)

(18b)

2)如果

εα=εβ=ε

(19)

(20)

這時(shí)式(13)給出

(21)

而式(11)給出

(22a)

(22b)

(22c)

(22d)

3)如果

(23)

2 給定H′取值的應(yīng)用實(shí)例

(24)

(25a)

(25b)

而上題式(14)代入式(25)，即得

(26a)

(26b)

存在非平庸的條件為Cα,Cβ的系數(shù)行列式等于0，即

(27)

其中

(28a)

(28b)

(28c)

討論：

(29a)

(29b)

這些結(jié)果和非簡(jiǎn)并態(tài)微擾論的結(jié)果一樣。

(30a)

(30b)

3 結(jié) 論