徐 波， 周鳳星， 馬婭婕， 嚴(yán)?？?， 黎會(huì)鵬

(1.武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 武漢，430081) (2.黃岡師范學(xué)院電子信息學(xué)院 黃岡，438000)

引 言

Huang等[1]提出了Hilbert-Huang變換算法(Hilbert-Huang transform, 簡(jiǎn)稱HHT)，適合處理非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，在機(jī)械故障診斷中得到廣泛應(yīng)用。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, 簡(jiǎn)稱EMD)作為HHT的核心部分，算法直觀簡(jiǎn)單，具有正交性、完備性和自適應(yīng)性等特點(diǎn)，然而存在包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖、端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊等問(wèn)題，嚴(yán)重影響其推廣和應(yīng)用。針對(duì)模態(tài)混疊問(wèn)題，胡愛(ài)軍等[2]提出了加入高頻諧波再進(jìn)行EMD分解的模態(tài)混疊的消除方法。曹瑩等[3]提出了基于形態(tài)濾波預(yù)處理與特征尺度匹配的模態(tài)混疊抑制方法。但上述方法經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，缺乏自適應(yīng)性。湯寶平等[4]提出了基于獨(dú)立分量分析的模態(tài)混疊消除方法，但該方法沒(méi)有考慮端點(diǎn)效應(yīng)嚴(yán)重影響EDM分解結(jié)果的有效性。Yeh等[5]提出了互補(bǔ)集總經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，通過(guò)向原始信號(hào)中添加兩對(duì)相反的白噪聲信號(hào)分別進(jìn)行EMD分解，克服了EEMD的白噪聲殘留的問(wèn)題，有效消除了模態(tài)混疊問(wèn)題，對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)也有一定的抑制作用，是目前消除模態(tài)混疊簡(jiǎn)單且有效的方法。

針對(duì)包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者提出了如三次B樣條插值[6]、分段三次Hermite樣條插值[7]、分段拋物線插值[8]、單調(diào)分段三次樣條插值法[9]和分段約束三次樣條插值[10]等改進(jìn)方法。上述方法中，三次B樣條插值的擬合特性沒(méi)有明顯提高；分段三次Hermite樣條插值的平滑性不好；單調(diào)分段三次樣條插值法的計(jì)算量太大；分段約束三次樣條插值的包裹性差。

針對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者提出了如鏡像延拓[11]、最大相關(guān)波形延拓[12]、極值波延拓[13]、最大斜率再優(yōu)化極值延拓[14]、PDE信號(hào)修補(bǔ)[15]、均生函數(shù)周期疊加外推[16]、最小平方距離相關(guān)[17]及加窗函數(shù)[18]等基于信號(hào)特征或極值特征的延拓方法。但這些方法具有很強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)性，泛化能力差。另外一些學(xué)者提出了如支持向量回歸預(yù)測(cè)[19]、支持向量機(jī)[20]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓[21]及自回歸綜合滑動(dòng)平均模型延拓[22]等基于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓的方法，能夠較為準(zhǔn)確地進(jìn)行端點(diǎn)延拓，然而算法復(fù)雜、效率低、參數(shù)難以選擇，工程實(shí)現(xiàn)度低。

筆者在總結(jié)上述改進(jìn)方法的基礎(chǔ)上，提出同倫-最小二乘支持向量雙回歸的保形分段三次樣條CEEMD方法，獲得一個(gè)完備的CEEMD算法。通過(guò)對(duì)實(shí)際振動(dòng)信號(hào)的分析及滾動(dòng)軸承微故障頻率特征的提取來(lái)驗(yàn)證該方法能夠從整體上解決EMD存在的擬合過(guò)沖/欠沖、端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混疊問(wèn)題。

1 基本原理

1.1 CEEMD簡(jiǎn)介

在對(duì)信號(hào)x(t)做EEMD分解時(shí)，令集總平均的次數(shù)為N，對(duì)x(t)第j次添加白噪聲uj(t)后得到

(1)

令x(t)減去uj(t)，得到

(2)

(3)

對(duì)式(3)求集總平均，獲得

(4)

由于對(duì)x(t)分別添加同一白噪聲，但符號(hào)相反，使得相加后殘留在IMFj+和IMFj-中的白噪聲基本互相抵消，從而使最后IMF分量中的白噪聲基本互相抵消，上述添加符號(hào)相反的白噪聲正是“互補(bǔ)”的本質(zhì)。CEEMD不僅消除了模態(tài)混疊問(wèn)題，而且基本上消除了白噪聲殘留問(wèn)題。

1.2 包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖分析

Huang在文章中沒(méi)有給出構(gòu)造上、下包絡(luò)線時(shí)產(chǎn)生包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題的嚴(yán)格定義。龍思勝等[23]認(rèn)為“擬合過(guò)沖/欠沖”現(xiàn)象是在待處理數(shù)據(jù)序列的每個(gè)子段內(nèi)，所得擬合函數(shù)的部分?jǐn)?shù)值大于這兩個(gè)數(shù)據(jù)的大者或小于這兩個(gè)數(shù)據(jù)的小者，并提出了一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)法，一定程度上解決了擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題。由于沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)及證明，而是根據(jù)處理數(shù)據(jù)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于任意信號(hào)的有效性有待驗(yàn)證。使用最常用的三次樣條插值對(duì)取自滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)的故障信號(hào)x(t)(如圖1所示，其中x(t)為時(shí)間數(shù)據(jù)序列為無(wú)量綱單位)進(jìn)行一次上、下包絡(luò)線插值擬合，得到包絡(luò)線如圖2所示。

圖1 滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)x(t)Fig.1 Rolling bearing′s vibration signal x(t)

圖2 三次樣條插值的包絡(luò)線Fig.2 The envelope curve of spline

為了便于觀察，將圖2中包絡(luò)線進(jìn)行局部放大，其放大圖如圖3，4所示，可以觀測(cè)到包絡(luò)線出現(xiàn)了明顯的擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題。

1.3 端點(diǎn)效應(yīng)分析

由于實(shí)際采集的信號(hào)的長(zhǎng)度有限，信號(hào)的兩端在極少數(shù)情況下能夠獲得有效的極值點(diǎn)，因此對(duì)極值數(shù)據(jù)序列進(jìn)行插值擬合時(shí)，在上、下包絡(luò)線在的兩端出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，稱為端點(diǎn)效應(yīng)，且這種“發(fā)散”會(huì)隨著分解過(guò)程地繼續(xù)進(jìn)行而不斷向信號(hào)內(nèi)部傳播，最終“污染”整個(gè)信號(hào)而使分解結(jié)果嚴(yán)重失真而失去物理意義。采用圖1中滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)x(t)進(jìn)行端點(diǎn)效應(yīng)的分析，并使用三次樣條插值法對(duì)x(t)進(jìn)行包絡(luò)線擬合，結(jié)果如圖5所示。由于信號(hào)x(t)兩端不存在極值點(diǎn)，獲得的上、下包絡(luò)線在曲線兩端出現(xiàn)嚴(yán)重的端點(diǎn)效應(yīng)。

圖3 三次樣條插值的過(guò)沖問(wèn)題的局部放大圖Fig.3 The enlarged partial view of the overshoot problem of spline

圖4 三次樣條插值欠沖問(wèn)題的局部放大圖Fig.4 The enlarged partial view of the undershoot problem of spline

圖5 三次樣條插值端點(diǎn)效應(yīng)的局部放大圖Fig.5 The enlarged partial view of the left end effect of spline

2 保形分段三次樣條插值算法

2.1 保形分段插值的構(gòu)造

給定平面點(diǎn)集Ti(xi,yi)(i=1,2,…,n)，將相鄰兩點(diǎn)使用直線依次連接成一個(gè)多邊形{T0,T1,…,Tn}，并令多邊形的邊向量為

Si=ti-ti-1(i=1,2,…,n)

(5)

如果ti×ti-1與ti×ti+1平行且方向相反，則Ti為{T0,T1,…,Tn}的拐點(diǎn)。

2.2 插值曲線在型值點(diǎn)處的切矢

由多邊形的邊矢定義可知，插值曲線在Ti處的切矢Ki定義為：如果Ti是多邊形{T0,T1,…,Tn}的拐點(diǎn)，則令

Ki=kiSi+(1+ki)(-Si+1)

(6)

否則令

Ki=kiSi+(1-ki)(Si+1)

(7)

其中：Ki(0

如果Ti-1，Ti，Ti+1三點(diǎn)共線，則定義Ti-1=Ti=Ti+1=Si，即選取ti-1=0，ti+1=1。通過(guò)切矢的定義可知，KiKi+1總是平行KiSi且有相同方向，故分別過(guò)Ti和Ti+1且平行于Ki和Ki+1直線li和li+1的交點(diǎn)Vi為

(i=0,1,2,…,n-1)

(8)

2.3 三次樣條插值的保形性

如果Vi-1，Vi，Vi+1，Vi+2構(gòu)成的三邊形是凸的，則令控制多邊形{v-1v0…vnvn+1}的邊矢量為

ai=Vi-Vi-1(i=0,1,…,n+1)

(9)

給定m+1個(gè)控制頂點(diǎn)ri(i=1,2,…,m)，相應(yīng)的三次樣條曲線的分段函數(shù)表示為

(0≤u≤1;k=0,1,2,…,m-3)

(10)

其中:基函數(shù)為

(11)

從基函數(shù)可以得到端點(diǎn)的性質(zhì)

(12)

則三次樣條曲線的deBoor點(diǎn)定義為

(13)

由式(9)及式(13)可得

a0=(a1-a2)/4

(14)

a0a1=a1a2/4

(15)

Vi-1，Vi，Vi+1，Vi+2構(gòu)成的三邊形是凸的，可保證插值曲線在兩端不會(huì)出現(xiàn)多余的拐點(diǎn)，并設(shè)定λi的取值范圍，使得三次樣條插值曲線保形。如果aiai+1，ai+1ai+2方向一致，則Vi-1，Vi，Vi+1，Vi+2構(gòu)成的三邊形是凸的，所得交點(diǎn)為

(16)

如果aiai+1，ai+1ai+2方向相反時(shí)，則Vi-1，Vi，Vi+1，Vi+2構(gòu)成另一個(gè)拐向，記為

(17)

令

(i=0,1,…,n)

(18)

根據(jù)圖6所示的控制多邊形，如果選取

0<λi≤ei(i=0,1,…,n)

(19)

則通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)λi滿足式(19)，構(gòu)造出保形分段三次樣條插值法。

圖6 控制多邊形Fig.6 Controlled polygon

2.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證筆者提出的SPPS插值方法能夠有效地消除包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題，使用圖1中的振動(dòng)信號(hào)x(t)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果如圖7～9所示。使用改進(jìn)的三次B-樣條插值法進(jìn)行包絡(luò)線插值擬合，擬合結(jié)果如圖7所示。對(duì)比圖7與圖2的擬合結(jié)果可知，改進(jìn)的三次B-樣條插值得到的上、下包絡(luò)曲線依然出現(xiàn)嚴(yán)重的擬合過(guò)沖/欠沖，并沒(méi)有消除擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題。

為了進(jìn)一步對(duì)比其他插值方法，采用分段約束三次樣條插值方法進(jìn)行包絡(luò)線擬合，擬合結(jié)果如圖8所示。對(duì)比圖8與圖7的擬合結(jié)果可以看到，采用分段約束三次樣條插值方法擬合的上、下包絡(luò)曲線沒(méi)有出現(xiàn)擬合過(guò)沖/欠沖現(xiàn)象，但從圖中A，B兩處擬合的曲線段可以觀察到曲線擬合過(guò)陡，曲線不夠平滑，使得擬合曲線的有效性不能得到保證，限于篇幅，此處不對(duì)上述其他插值方法進(jìn)行對(duì)比分析。

針對(duì)圖8中的擬合曲線出現(xiàn)不夠平滑的問(wèn)題，筆者提出了保形分段三次樣條插值法擬合包絡(luò)曲線，擬合結(jié)果如圖9所示。擬合結(jié)果表明，該方法不但能夠有效抑制擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題，而且擬合的包絡(luò)曲線與圖8相比，更平滑、有效，為后續(xù)的CEEMD分解過(guò)程奠定了基礎(chǔ)。

圖7 三次B-樣條插值的包絡(luò)線Fig.7 The envelope of B-spline

圖8 分段約束三次樣條插值的包絡(luò)線Fig.8 The envelope of constrained piecewise spline

圖9 保形分段三次樣條插值的包絡(luò)線Fig.9 The envelope of shape-preserving piecewise spline

3 同倫-最小二乘支持向量雙回歸算法

支持向量回歸(support vector machine regression，簡(jiǎn)稱SVR)算法具有十分出色的預(yù)測(cè)能力。Suykens等[24]提出了最小二乘支持向量回歸(least squares support vector regression，簡(jiǎn)稱LS-SVR)算法，提高了SVR的求解效率，降低了SVR的學(xué)習(xí)難度。另外，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，許多的研究對(duì)象是具有多輸入多輸出的復(fù)雜系統(tǒng)。包絡(luò)均值曲線左、右預(yù)測(cè)覆蓋方法是一個(gè)兩輸入兩輸出的非線性系統(tǒng)。因此，針對(duì)多輸入多輸出，提出了同倫-最小二乘支持向量雙回歸(HLS-SVDR)算法，算法如下。

設(shè)已知訓(xùn)練集X={(x1,y1),…,(xk,yk)}，其中xk∈Rd，yk∈Rm，即有d維輸入，m維輸出。假設(shè)有l(wèi)個(gè)訓(xùn)練樣本，即k=1,2,…,l。令yk,m表示yk中第m維輸出的值(m=1,2,…,N)。模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為

(m=1,2,…,n;k=1,2,…,l)

(20)

其中：ηk為第K個(gè)輸入變量所對(duì)應(yīng)的所有維數(shù)輸出的擬合誤差和；ξk,m為第K個(gè)輸入變量所對(duì)應(yīng)的第m維輸出的擬合誤差；C0為所有維輸出擬合誤差的懲罰系數(shù)；Cm為第m維輸出擬合誤差的懲罰系數(shù)。

其Lagrange函數(shù)形式為

(21)

引入同倫算法，即對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)引入一個(gè)嵌入變量λ，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)φ(x,λ)=(1-λ)f(x)+λg(x)，其中，參數(shù)λ∈(0,1)。由于具有良好的收斂性，能夠有效地求解非線性代數(shù)方程組，在科學(xué)和工程中得到廣泛應(yīng)用[25]。

在多輸出最小二乘支持向量回歸算法中，引入同倫嵌入變量λ可以將懲罰參數(shù)區(qū)間(0,∞)轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間(0,1)，大大縮短懲罰參數(shù)的優(yōu)化時(shí)間。以此構(gòu)造HLS-SVDR算法，目標(biāo)函數(shù)和約束條件為

(λm∈(0,1);m=1,2;k=1,2,…,l)

(22)

其Lagrange函數(shù)形式為

(23)

分別對(duì)ωm，bm，ξk,m，ηk，βk和αk,m求偏導(dǎo)并令其為零，可得

(24)

根據(jù)式(24)，消除ωm,bm,ξk,m和ηk，可得Lagrange乘子式αm=(α1,m,α2,m,…,αl,m)T，β=(β1,β2,…,βl)T和偏置bm的求取方程，即

其中：K(·,·)為第m維輸出的核函數(shù)。

令Km=(Km(xk,xk′))l×l，E=(1,1,…,1)T∈Rl，ym=(y1,m,y2,m,…,yl,m)T，I為l×l的單位矩陣，則有

(26)

求解上式，得到同倫-多輸出最小二乘支持向量回歸第m維輸出的函數(shù)形式為

(27)

圖10 向量轉(zhuǎn)換為張量Fig.10 Converting the vector to tensor

依據(jù)一維向量轉(zhuǎn)為二階張量的方法，將訓(xùn)練集X重構(gòu)為兩輸入兩輸出的訓(xùn)練集X′

(xi∈Rd-1;l=i×d)

(28)

將重構(gòu)的訓(xùn)練集X′和X″分別作為同倫-最小二乘支持向量雙回歸算法的訓(xùn)練樣本集和測(cè)試樣本集。此外，核函數(shù)的選擇也決定了訓(xùn)練模型的精確度，這里將使用最常用Gauss徑向基核

Km(xk,xk′)=exp(-‖xk-xk′‖2/2σ2)

(29)

由于σ∈(0,∞)，難以優(yōu)化。在此，同樣采用同倫算法，對(duì)核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)

K1(xk,xk′)=exp(-‖xk-xk′‖2/2h2)

K2(xk,xk′)=exp(-‖xk-xk′‖2/2(1-h)2)

(30)

其中：h∈(0,1)，使核參數(shù)h的優(yōu)化時(shí)間大大縮短，同時(shí)也提高了最優(yōu)核參數(shù)值的選擇精度。

將同倫-最小二乘支持向量雙回歸與最小二乘支持向量雙回歸對(duì)振動(dòng)信號(hào)CEEMD分解的包絡(luò)均值m1(t)做實(shí)驗(yàn)對(duì)比。使用張量方法，將m1(t)數(shù)據(jù)序列重構(gòu)為X′和X″。使用量子遺傳(QGA)算法對(duì)最小支持向量雙回歸的懲罰參數(shù)C0，Cm及核參數(shù)σ及同倫-最小支持向量雙回歸的懲罰參數(shù)C0，λm及核參數(shù)h進(jìn)行最優(yōu)選擇。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11，12和表1所示。表1是對(duì)圖11中的HLSSVDR算法和圖12中LSSVDR算法在訓(xùn)練和測(cè)試精度、運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行的對(duì)比分析。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，基于HLSSVDR算法在預(yù)測(cè)精度及運(yùn)算時(shí)間上都優(yōu)于LSSVDR算法。

表1LSSVDR和HLSSVDR運(yùn)行時(shí)間及預(yù)測(cè)誤差

Tab.1TheelapsedtimeandpredictionerrorofLSSVDRandHLSSVDR

預(yù)測(cè)方法位置樣本均方誤差運(yùn)行時(shí)間/sLSSVDR左端點(diǎn)右端點(diǎn)訓(xùn)練集8.814 9×10-70.012 0測(cè)試集1.220 3×10-60.011 7訓(xùn)練集1.240 9×10-60.011 4測(cè)試集1.279 7×10-60.012 2HLSSVDR左端點(diǎn)右端點(diǎn)訓(xùn)練集1.241 3×10-80.004 21測(cè)試集4.731 1×10-70.003 37訓(xùn)練集8.721 4×10-70.003 07測(cè)試集2.641 2×10-70.003 51

圖11 LSSVDR左、右雙向預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差結(jié)果Fig.11 The left and right prediction and error results by LSSVDR

為了進(jìn)一步驗(yàn)證HLSSVDR在抑制端點(diǎn)效應(yīng)方面的有效性，使用該方法對(duì)圖1中x(t)兩端的包絡(luò)均值進(jìn)行預(yù)測(cè)覆蓋，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖13所示。圖13(a)使用HLSSVDR方法對(duì)信號(hào)兩端的包絡(luò)均值進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲得預(yù)測(cè)值，為了便于觀察兩端點(diǎn)的包絡(luò)均值預(yù)測(cè)值，將圖13(a)中的左、右端點(diǎn)的包絡(luò)均值預(yù)測(cè)值進(jìn)行局部放大，如圖13(b)和圖13(c)所示。其中，圖13(b)中的A-B和圖13(c)中的D-E是存在的極值點(diǎn)插值獲得包絡(luò)均值曲線段和包絡(luò)均值預(yù)測(cè)曲線段?？梢钥吹剑?、右兩端的包絡(luò)均值預(yù)測(cè)值與真實(shí)值誤差很小，預(yù)測(cè)精度高。另外，圖13(b)中的B-C和圖13(c)中的E-F分別對(duì)應(yīng)的是不存在極值點(diǎn)的包絡(luò)均值曲線段和包絡(luò)均值預(yù)測(cè)曲線段，將其與沒(méi)有進(jìn)行端點(diǎn)效應(yīng)處理的包絡(luò)均值曲線進(jìn)行對(duì)比，從圖13(b)和圖13(c)中可看到存在很大的誤差。鑒于文中已經(jīng)驗(yàn)證HLSSVDR方法有較高的預(yù)測(cè)精度，能夠有效保證預(yù)測(cè)信號(hào)的準(zhǔn)確度，因此EMD過(guò)程中保證有效的端點(diǎn)值才能保證信號(hào)分解的有效性。

圖12 HLSSVDR左、右雙向預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差結(jié)果Fig.12 The left and right prediction and error results by HLSSVDR

圖13 包絡(luò)線均值的預(yù)測(cè)Fig.13 The mean prediction values of the envelope

4 滾動(dòng)軸承外圈微故障實(shí)例分析

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的關(guān)鍵組件，易發(fā)生軸承內(nèi)/外圈裂紋或斷裂、滾動(dòng)體磨損或破損等故障，對(duì)其進(jìn)行早期檢測(cè)與診斷，能夠有效阻止故障發(fā)生，然而早期的故障特征頻率極其微弱和難以提取。筆者提出了完備CEEMD方法用于滾動(dòng)軸承微故障特征提取。

圖14 滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)與采集裝置Fig.14 The fault testing and collecting device of rolling bearing

4.1 滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)簡(jiǎn)介

如圖14所示，筆者選用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)滾動(dòng)軸承故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)、驅(qū)動(dòng)端軸承型號(hào)為SKF6205的軸承外圈故障的振動(dòng)信號(hào)作為分析對(duì)象。軸承外圈故障采用電火花加工單點(diǎn)損傷，直徑為0.173 4 mm(模擬軸承外圈微故障)，采樣頻率為12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為4 096，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，軸承外圈故障頻率理論計(jì)算值為3.594 8×1 797/60=107.364 Hz。按照以上參數(shù)采集相關(guān)振動(dòng)信號(hào)，如圖15所示。

圖15 滾動(dòng)軸承外圈微故障振動(dòng)信號(hào)Fig.15 The outer fault vibration signal of rolling bearing

4.2 微故障特征提取

為了進(jìn)一步驗(yàn)證完備CEEMD方法的有效性和優(yōu)越性，將其與傳統(tǒng)的EEMD，CEEMD方法進(jìn)行對(duì)比分析。首先，使用多小波包對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪預(yù)處理，提高信號(hào)的信噪比。如圖16所示。

圖16 基于DDWP降噪后的振動(dòng)信號(hào)Fig.16 Denoising vibration signal by DDWP

然后，分別利用EEMD，CEEMD及完備的CEEMD方法對(duì)降噪后的滾動(dòng)軸承外圈微故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解，獲得IMF分量和殘余量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖17～19所示。經(jīng)過(guò)CEEMD、完備CEEMD方法分解得到的IMF分量的個(gè)數(shù)少于EEMD方法獲得的IMF分量個(gè)數(shù)。另外，CEEMD與完備CEEMD的IMF分量的個(gè)數(shù)相同，對(duì)比圖17中的IMF分量C7，C9，C10，C11與圖18，圖19中的IMF分量C7，C8，C9，C10，可以觀察到完備的CEEMD相應(yīng)的IMF分量?jī)啥说亩它c(diǎn)效應(yīng)，相對(duì)于傳統(tǒng)的EEMD和CEEMD方法得到了抑制。

圖17 EEMD分解的IMF分量Fig.17 The IMF component by EEMD

圖18 CEEMD分解的IMF分量Fig.18 The IMF component by CEEMD

圖19 完備CEEMD分解的IMF分量Fig.19 The IMF component by Complete CEEMD

為了準(zhǔn)確說(shuō)明完備CEEMD算法獲得的IMF分量的特征信息，將分別對(duì)3種不同方法獲得的IMF分量進(jìn)行Hilbert變換，獲得對(duì)應(yīng)的滾動(dòng)軸承外圈微故障振動(dòng)信號(hào)的Hilbert邊際譜如圖20～22所示，分別為EEMD，CEEMD、完備CEEMD方法對(duì)應(yīng)的滾動(dòng)軸承外圈微故障振動(dòng)信號(hào)的Hilbert邊際譜。圖20表明滾動(dòng)軸承外圈微故障的特征頻率107.3Hz及相應(yīng)的倍頻分量基本上被其他無(wú)關(guān)的特征頻率所淹沒(méi)，無(wú)法區(qū)分故障特征頻率與無(wú)關(guān)特征頻率。從圖21可觀察到表征滾動(dòng)軸承外圈微故障的特征頻率為107.3 Hz，但相應(yīng)的二倍頻特征頻率不能很好地辨析。從圖22中也可清晰地觀察到表征滾動(dòng)軸承外圈微故障的特征頻率(107.3 Hz)及相應(yīng)的二倍頻、三倍頻特征頻率。

圖20 EEMD分解的Hilbert邊際譜Fig.20 The Hilbert Marginal Spectrum by EEMD

圖21 CEEMD分解的Hilbert邊際譜Fig.21 The Hilbert Marginal Spectrum by CEEMD

圖22 完備CEEMD分解的Hilbert邊際譜Fig.22 The Hilbert Marginal Spectrum by Complete CEEMD

上述實(shí)驗(yàn)分析表明，筆者提出的同倫-最小二乘支持向量雙回歸的保形分段三次樣條CEEMD的改進(jìn)方法能夠更有效地提取滾動(dòng)軸承外圈微故障的故障特征，能夠整體上有效解決EMD的包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖、端點(diǎn)效應(yīng)及模態(tài)混疊問(wèn)題。

5 結(jié) 論

1) 通過(guò)對(duì)EEMD的包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖、端點(diǎn)效應(yīng)、模態(tài)混疊問(wèn)題進(jìn)行分析。在CEEMD方法的基礎(chǔ)上提出了同倫-最小二乘支持向量雙回歸的保形分段三次樣條的CEEMD方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，筆者所提方法能夠更有效解決EMD存在的3個(gè)主要問(wèn)題。

2) 針對(duì)包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題，提出了保形分段三次樣條插值的EMD改進(jìn)方法，該方法利用保形分段法來(lái)構(gòu)造具有二階逼近精度、分段少、運(yùn)算量小的三次樣條插值方法來(lái)抑制包絡(luò)擬合過(guò)沖/欠沖問(wèn)題，避免傳統(tǒng)插值方法導(dǎo)致的插值誤差隨著分解過(guò)程的持續(xù)進(jìn)行而出現(xiàn)誤差不斷累積，造成嚴(yán)重誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他插值法相比，筆者提出的插值方法能更有效地解決該問(wèn)題。

3) 針對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，提出了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的同倫-最小二乘支持向量雙回歸的包絡(luò)均值預(yù)測(cè)覆蓋的方法。同其他延拓方法相比，該方法不依賴信號(hào)本身特性，而是采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法對(duì)信號(hào)兩端的包絡(luò)均值進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)值覆蓋原有的隨機(jī)插值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法有較高的預(yù)測(cè)精度，收斂速度快、運(yùn)算時(shí)間短，有效克服了基于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)抑制端點(diǎn)效應(yīng)方法難以工程實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題。

4) CEEMD方法能夠很好地解決模態(tài)混疊問(wèn)題，但也存在對(duì)原始信號(hào)添加的正、負(fù)白噪聲分解出的IMF+和IMF-分量個(gè)數(shù)不一定相等、導(dǎo)致少量模態(tài)混疊的問(wèn)題。