周計祥， 吳邵慶,2， 董萼良,2， 費慶國,2

(1.東南大學工程力學系 南京，210096) (2.東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室 南京，210096)

引 言

工程結構的安全問題至關重要，使得結構健康監(jiān)測[1]成為熱門的研究領域之一。結構在服役過程中容易產(chǎn)生損傷，影響結構安全，結構健康監(jiān)測中的損傷識別一般可分為4個層次：a. 結構是否發(fā)生損傷; b. 確定損傷的位置; c. 確定損傷程度; d.評估結構剩余壽命。結構中出現(xiàn)損傷會引起其動力學參數(shù)發(fā)生變化，如結構模態(tài)參數(shù)等。通過對比損傷前后結構的固有頻率、振型[2]等模態(tài)參數(shù)的變化，可以判斷結構是否發(fā)生損傷，然而由于固有頻率和振型等為全局參數(shù)，局部損傷對其敏感性較低，準確地定位損傷甚至定量損傷，仍存在一定的難度。基于模態(tài)應變能的損傷識別方法[3]是基于模態(tài)振型構造的單元模態(tài)應變能的識別算法，具有良好的損傷敏感性和噪聲魯棒性。

目前，基于模態(tài)應變能識別的結構損傷研究已有一定成果。Shi等[4]提出基于位移模態(tài)的模態(tài)應變能損傷識別方法，利用數(shù)值仿真驗證了該方法對復雜結構損傷定位的有效性。Law等[5]針對轉角自由度難以準確測量的問題，采用對實測位移振型信息擴充的方法獲取轉角自由度信息。結果表明，基于振型擴充的模態(tài)應變能損傷識別算法可以有效提高結構損傷定位的精度。Hu等[6]提出了基于位移模態(tài)的交叉模態(tài)應變能法，該方法可以有效定位損傷和評估損傷程度。

以上研究均基于位移模態(tài)開展，由于應變振型比位移振型具有更豐富的信息，基于應變模態(tài)的結構損傷識別方法也有一定的研究成果。Xu等[7]提出了一種基于應變模態(tài)的損傷識別算法，通過建立損傷指標與應變振型變化之間的聯(lián)系，完成了大跨度網(wǎng)狀結構的損傷識別研究。Wu等[8]提出一種基于應變模態(tài)構造的模態(tài)應變能損傷定位方法，推導了梁結構應變模態(tài)與位移模態(tài)之間的轉換關系，建立模態(tài)應變能的應變模態(tài)表達式。數(shù)值仿真和實驗研究結構均表明，該方法可以準確識別損傷位置，且比基于位移模態(tài)的模態(tài)應變能損傷識別方法具有更好的抗噪性。

由于振型的轉角自由度信息難以通過實測準確獲取，而常用振型擴充方法在由實測位移振型估計轉角振型中會帶來較大誤差。筆者在Wu等[8]提出的基于應變模態(tài)的模態(tài)應變能損傷定位方法的研究基礎上，基于靈敏度分析方法，推導了基于應變模態(tài)振型的梁結構模態(tài)應變能與結構損傷之間的定量關系，構造了損傷識別方程組，完成了結構損傷的定量識別。

1 基于模態(tài)應變能的損傷識別理論

1.1 基于位移模態(tài)的損傷方程組

定義損傷前后第i個單元、第j階模態(tài)應變能[4](model strain energy，簡稱MSE)分別為

(1a)

(1b)

結構發(fā)生損傷后，結構模型會發(fā)生變化，對結構剛度影響顯著。引入單元剛度折減系數(shù)αi描述第i個單元的損傷程度，即

(2)

令βi=1-αi，損傷前后單元剛度變化量可表示為

(3)

其中：βi為第i個單元的損傷量。

由單元模態(tài)應變能與單元剛度折減系數(shù)之間的關系[9]，建立結構損傷程度與結構模態(tài)應變能變化關系的方程組

SN×N×MβN×M=(ΔR)N×M

(4)

其中：N為單元個數(shù)；M為模態(tài)階數(shù)；S為靈敏度矩陣；β為損傷程度矩陣；ΔR為僅考慮振型變化時的損傷前后單元模態(tài)應變能變化量矩陣。

(5)

(6)

(7)

其中：M為整體質量矩陣；K為整體剛度矩陣；Ki，Kk分別為第i個和第k個單元剛度矩陣對整體剛度矩陣的貢獻，其維數(shù)與總剛度矩陣一致，除第i個和第k個單元對應自由度以外，其他位置元素的值均為零；Φj為結構的第j階質量歸一化振型；λj為第j階固有頻率。

1.2 應變模態(tài)與位移模態(tài)之間的關系

結構在發(fā)生小變形情況下，應變ε與非剛體位移u的關系可表示為

ε=ATu

(8)

AT為兩者之間的關系矩陣，則有

u=Hsε

(9)

其中：Hs為位移與應變之間的轉換矩陣，且

Hs=A(ATA)-1

(10)

單元位移模態(tài)振型φe與應變模態(tài)振型εe之間的關系[10]可以類似表示為

φe=Hsεe

(11)

由式(11)可知，實測應變模態(tài)與位移模態(tài)之間存在直接聯(lián)系，且應變信號中包含了轉角信息。引入整體位移振型與應變振型之間的轉換矩陣H，即

(12)

獲得第j階結構位移模態(tài)振型Φj與應變模態(tài)振型εj的關系為

Φj=Hεjj=1,2,…,M

(13)

1.3 基于應變模態(tài)的結構損傷識別方程組

將式(11)代入式(1)，得到基于應變模態(tài)的第i個單元第j階模態(tài)的單元模態(tài)應變能表達式為

(14)

(15)

式(7)可以重新表示為

(16)

推得基于應變模態(tài)的結構損傷識別方程為

(Sε)N×N×M(βε)N×M=(ΔRε)N×M

(17)

其中：Sε為基于應變模態(tài)的靈敏度矩陣；βε為基于應變模態(tài)的損傷程度矩陣；ΔRε為基于應變模態(tài)的模態(tài)應變能變化量矩陣。

(18)

(19)

其中：εj為結構的第j階應變模態(tài)振型。

1.4 損傷識別方程組求解

結構常發(fā)生局部損傷，引起結構有限元模型中個別單元的剛度降低，此時式(17)中的靈敏度系數(shù)矩陣Sε會呈現(xiàn)病態(tài)。當實測模態(tài)數(shù)據(jù)存在噪聲污染時，用直接求逆的方法求解結構損傷識別方程組會帶來很大誤差，需要使用正則化方法提高求解的精度。筆者采用奇異值截斷算法(truncated singular value decomposition，簡稱TSVD)[11-12]來減小噪聲污染對損傷識別結果的影響，以提高求解精度。由于表示損傷程度β值不可能為負，采用非負最小二乘法[13]求解奇異值分解后的損傷識別方程。

2 數(shù)值仿真

以如圖1所示，兩端固支的等截面均質彈性梁為研究對象。梁的參數(shù)如下：長×寬×高=880 mm×25 mm×5 mm，分8個平面梁單元；彈性模量E=72 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=2 700 kg/m3。在Wu等[8]提出的基于應變模態(tài)的模態(tài)應變能損傷定位方法的研究基礎上，運用筆者提出的損傷識別理論，由損傷前后梁的應變模態(tài)定位損傷來識別各單元的損傷程度，其中損傷量以比例系數(shù)的形式給出，為無量綱量。

圖1 梁結構有限元模型Fig.1 Finite element model of beam structure

當結構發(fā)生裂紋損傷時，其抗彎剛度會降低，而結構整體質量變化很小，因此筆者只考慮了損傷引起的剛度變化。在有限元仿真中，通過降低單元的抗彎剛度來模擬損傷。表1為各損傷工況對應的損傷位置和損傷程度。研究發(fā)現(xiàn)[9]，單元的低階模態(tài)應變能比高階模態(tài)應變能更好地反應結構損傷，且抗噪性能更強。因此，筆者只研究基于前三階模態(tài)應變能的損傷指標。

表1 梁模型各損傷工況

圖2 無噪聲干擾下基于前三階應變模態(tài)的損傷識別結果Fig.2 Damage identification results based on the first three strain modes without noise pollution

圖3 5%噪聲干擾下基于前三階應變模態(tài)的損傷識別結果Fig.3 Damage identification results based on the first three strain modes with 5% noise pollution

為了說明該方法的有效性，筆者研究了多種損傷工況下梁模型的損傷識別效果。為了貼近工程實際，研究了噪聲干擾對結構損傷識別結果的影響。從圖2(a)，2(b)和3(a)，3(b)可以看出，對于不同損傷程度的單損傷工況，在有無噪聲干擾的情況下，該方法均可以有效識別出損傷位置和損傷程度。同樣的，從圖2(c)，2(d)和3(c)，3(d)可以發(fā)現(xiàn)，對于多損傷工況，該方法依然有效。為了進一步說明損傷識別效果，并考慮到結構發(fā)生小損傷后，即使識別結果與真實值存在微小的差異都會使損傷指標的百分比誤差很大，影響對結果準確度的判斷。因此，筆者以單元剛度折減系數(shù)作為識別結果誤差的表征。表2中各損傷工況的識別結果表明，無論有無噪聲干擾，采用本研究方法，識別誤差均可控制在5%以內，識別結果可靠。同時發(fā)現(xiàn)，基于第1階應變模態(tài)振型的識別結果精度高于基于第2, 3階模態(tài)識別結果精度，這與文獻[9]中得出采用低階模態(tài)應變能可以更好地獲取損傷識別結果的結論一致。因此，本研究方法適用于多種損傷工況，且損傷識別結果可靠，同時具有良好的抗噪性。

為了進一步揭示本研究方法在抗噪聲方面的優(yōu)勢，將筆者提出的基于應變模態(tài)的結構損傷識別(方法I)與基于傳統(tǒng)位移模態(tài)和振型擴充法[5]的結構損傷識別(方法II)進行對比分析。同樣采用圖1中梁模型為研究對象，以單損傷工況C2和多損傷工況C3為例，采用基于第1階模態(tài)的損傷指標，對比無噪聲和5%噪聲情況下兩種方法的損傷識別結果如圖4，5所示。

從圖4可以發(fā)現(xiàn)，在無噪聲干擾的情況下，無論是單損傷還是多損傷，方法Ⅰ和方法II均可以有效識別出損傷位置和損傷程度，且損傷識別結果無明顯差異。圖5表明，在有噪聲干擾的情況下，方法Ⅰ與方法Ⅱ的損傷量識別結果出現(xiàn)了較為明顯的差異。對于發(fā)生損傷的梁單元，方法Ⅰ的識別結果比方法Ⅱ的識別結果更加準確； 而對于未發(fā)生損傷的梁單元，方法Ⅱ的識別結果與真實值出現(xiàn)了較為明顯的偏差。例如：工況C2中的第4個單元損傷量超過5%；工況C3中的第4個單元損傷量高于第2個單元損傷量。同時，表3的結果也表明，在無噪聲干擾的情況下，方法Ⅰ與方法Ⅱ的損傷識別結果無明顯差異，誤差均控制在2%以內；但在噪聲干擾的情況下，方法Ⅱ的損傷識別結果誤差明顯高于方法I的損傷識別結果誤差，其中工況C2的損傷識別結果誤差超過5%。因此， 方法Ⅰ比方法Ⅱ的抗噪性能更強，損傷識別結果更為可靠。

表2各工況下?lián)p傷單元的剛度折減系數(shù)α識別結果

Tab.2Theidentifiedstiffnessreductionfactorsαofthedamagedelementsunderdifferentdamagescenarios

損傷工況損傷單元階次無噪聲誤差/%5%噪聲誤差/%C1210.8990.110.8950.5620.9030.330.9101.1130.8861.560.8762.67C2210.7940.750.7842.0020.7812.380.8151.8830.7822.250.7723.50C32610.8930.780.8891.2220.8881.330.9080.8930.8802.220.8802.2210.7871.630.7911.1320.7930.880.7871.6330.7980.250.7743.25C42610.7911.130.7891.3820.7713.630.7861.7530.7822.250.8172.1210.7970.380.8121.5020.8010.130.8162.0030.7664.250.7940.75

圖4 無噪聲干擾下方法Ⅰ，Ⅱ的損傷識別結果對比Fig.4 Comparison between the damage identification results from method Ⅰ and method Ⅱ without noise pollution

圖5 5%噪聲干擾下方法Ⅰ，Ⅱ的損傷識別結果對比Fig.5 Comparison between the damage identification results from method Ⅰ and method Ⅱ with 5% noise pollution

表3方法Ⅰ，Ⅱ中各工況損傷單元的剛度折減系數(shù)α識別結果

Tab.3TheidentifiedstiffnessreductionfactorsαofthedamagedelementsfrommethodⅠandmethodⅡ

損傷工況損傷單元方法無噪聲誤差/%5%噪聲誤差/%C22Ⅰ0.7940.750.7842.00Ⅱ0.7911.130.7516.13C326Ⅰ0.8930.780.8891.22Ⅱ0.8891.220.9313.44Ⅰ0.7871.630.7911.13Ⅱ0.7871.630.7861.75

3 實 驗

圖6 模態(tài)實驗系統(tǒng)與單元損傷模擬Fig.6 Modal testing system and elemental damage simulation

以圖1所示的兩端固支的等截面均質彈性梁為實驗研究對象，其材料參數(shù)如上所述。如圖6(a)所示，在節(jié)點6處布置加速度傳感器識別位移模態(tài)，采用力錘激勵的方法識別模態(tài)信息。圖6(b)中，在每個節(jié)點上布置光纖布拉格光柵傳感器，采用基于隨機子空間算法識別應變模態(tài)[14-15]。需要說明的是，采用其他的模態(tài)識別方法其識別結果與該方法存在一定差異，篇幅限制，對此未做深入研究。筆者通過在梁局部制造斷口模擬損傷，由于該模型中單元損傷程度與截面寬度成正比，由此可以由斷口大小模擬定量損傷。實驗中開展了對單損傷工況C2和多損傷工況C4的損傷識別研究。

理論上應變模態(tài)與位移模態(tài)對應頻率是相同的，表4給出的各損傷工況下位移模態(tài)與應變模態(tài)前三階固有頻率的結果表明，位移模態(tài)頻率和應變模態(tài)頻率之間的差異均可控制在5%以內。由于兩個實驗在系統(tǒng)搭建和識別方法上均不相同，且識別誤差的來源多樣，無法斷定誤差主要來自信號測量或者是識別方法。5%以內的誤差在當前的實驗條件下保證了一定的精確度。圖7和圖8分別為前三階位移模態(tài)和應變模態(tài)的實測振型。

表4各損傷工況下位移模態(tài)與應變模態(tài)前三階固有頻率比較

Tab.4Modalfrequenciesofthebeamfromtwosetsofexperimentaltests

階次損傷工況位移模態(tài)頻率/Hz應變模態(tài)頻率/Hz差異/%1C025.0126.024.04C225.0225.361.36C425.5826.634.102C068.0371.164.60C270.0069.610.56C470.1169.980.193C0145.02142.291.89C2141.12146.623.90C4145.23145.010.15

圖9表明，無論是單損傷工況還是多損傷工況，方法Ⅰ均可有效識別出損傷位置和損傷程度。表5中損傷工況C2，C4的識別結果說明，采用本研究方法，識別誤差均可控制在較小的范圍之內，損傷識別結果是可靠的。同時發(fā)現(xiàn)，基于第1階應變模態(tài)振型的識別結果誤差均控制在5%以內，比基于第2, 3階應變模態(tài)識別結果精度更加穩(wěn)定和準確。 從圖10發(fā)現(xiàn)，無論是單損傷還是多損傷，方法Ⅱ均無法有效識別出損傷位置和損傷程度， 其損傷識別結果不準確。實驗研究與數(shù)值仿真結論一致。在實驗驗證過程中，筆者使用了較多測點，針對測點數(shù)可能對識別結果的精度產(chǎn)生影響而開展了研究，鑒于篇幅限制，在此直接給出了研究結論：測量點數(shù)的減少，會使損傷識別誤差增加，如測量點未覆蓋損傷所在區(qū)域，損傷識別結果會呈現(xiàn)更大誤差。在實際工程應用中，可以通過仿真分析預測結構易損部位，通過增加易損部位周圍的測量點數(shù)布置，提高損傷識別的精度。

圖7 各損傷工況下梁的前三階實測位移振型Fig.7 The first three measured displacement modes of beam under different damage scenarios

圖8 各損傷工況下梁的前三階實測應變振型Fig.8 The first three measured strain modes of beam under different damage scenarios

圖9 方法Ⅰ中基于前三階實測應變模態(tài)的損傷識別結果Fig.9 Damage identification results based on the first three measurement strain modes using method Ⅰ

圖10 方法Ⅱ中基于前三階實測位移模態(tài)的損傷識別結果Fig.10 Damage identification results based on the first three measurement displacement modes using method Ⅱ

表5基于實測數(shù)據(jù)和方法Ⅰ的剛度折減系數(shù)α識別結果

Tab.5IdentifiedstiffnessreductionfactorsαbasedonmeasurementdatausingmethodⅠ

損傷工況損傷單元階次方法Ⅰ誤差/%C2210.7723.5020.7565.5030.7684.00C42610.7614.8920.7733.3830.7802.5010.7792.6320.7812.3830.7595.13

4 結束語

筆者將傳統(tǒng)采用位移模態(tài)的單元模態(tài)應變能表達式用基于應變模態(tài)的表達式替換,推導了損傷識別方程組，發(fā)展了基于應變模態(tài)的單元模態(tài)應變能結構損傷識別方法，實現(xiàn)了結構損傷的準確定位和定量。仿真分析和實驗研究結果均表明，相比于傳統(tǒng)的基于位移模態(tài)和振型擴充法的結構損傷識別法，該方法避免了基于含噪聲污染信號的振型擴充法帶來的較大誤差，提高了損傷識別算法的抗噪能力和識別精度。采用基于第1階應變模態(tài)數(shù)據(jù)的損傷識別效果更優(yōu)于采用高階模態(tài)的損傷識別效果。該方法易于實施，在工程損傷識別中具有很好的應用前景。