席沙沙，魏 勇

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637000）

0 引言

灰色關(guān)聯(lián)決策是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域中。近年來，很多學(xué)者從不同的角度研究了多指標(biāo)決策問題，取得了很大發(fā)展。對于具有區(qū)間灰數(shù)的多指標(biāo)決策問題文獻(xiàn)[1]提出了灰色區(qū)間關(guān)聯(lián)系數(shù)公式，將經(jīng)典灰色關(guān)聯(lián)決策由清晰數(shù)的情況推廣到了區(qū)間灰數(shù)的情況，建立了基于滿意度水平下的灰色區(qū)間關(guān)聯(lián)算法；文獻(xiàn)[2]提出了基于理想方案的最大關(guān)聯(lián)度方法、基于臨界方案的最小關(guān)聯(lián)度方法，以及同時(shí)考慮理想方案和臨界方案的綜合關(guān)聯(lián)度方法；文獻(xiàn)[3]提出了基于信息還原算子的區(qū)間灰數(shù)序列關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法，研究了具有區(qū)間灰數(shù)的多指標(biāo)決策問題，建立了多指標(biāo)區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)決策模型；文獻(xiàn)[4]提出了區(qū)間灰數(shù)關(guān)聯(lián)決策方法，從而把灰色關(guān)聯(lián)分析理論由實(shí)數(shù)序列拓廣到區(qū)間數(shù)序列；文獻(xiàn)[5]通過引進(jìn)區(qū)間數(shù)向量范數(shù)，對區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策問題的決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，在此基礎(chǔ)上給出了區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策問題的灰關(guān)聯(lián)分析法；文獻(xiàn)[6]針對只有部分屬性權(quán)重信息且屬性值以區(qū)間數(shù)形成給出的不確定多屬性決策問題，提出了一種逼近理想關(guān)聯(lián)度的決策分析方法；文獻(xiàn)[7]提出了一種基于灰色關(guān)聯(lián)的區(qū)間評價(jià)方法；文獻(xiàn)[8]探討了決策方案的屬性值為區(qū)間灰數(shù)、屬性權(quán)重部分已知和決策者對方案有偏好的灰色決策問題。

文獻(xiàn)[9]利用信息分解法將區(qū)間灰數(shù)序列分解成兩個(gè)部分：一個(gè)為由區(qū)間左端點(diǎn)組成的“白部序列”，另一個(gè)為由區(qū)間長度組成的“灰部序列”。然后根據(jù)向量投影方法對正、負(fù)理想點(diǎn)的“白部”、“灰部”分別進(jìn)行向量雙向投影，進(jìn)而根據(jù)構(gòu)建向量雙向投影的一次性決策模型。但是向量雙向投影的方法計(jì)算復(fù)雜，因此本文對文獻(xiàn)[9]的方法進(jìn)行簡化：在區(qū)間灰數(shù)序列信息分解的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)[10]中的接近性關(guān)聯(lián)度，計(jì)算各區(qū)間灰數(shù)序列的“白部序列”、“灰部序列”與理想序列的接近性關(guān)聯(lián)度，最后通過比較接近性關(guān)聯(lián)度得出最好的方案。

1 基本概念與基本理論

定義1[11]：在灰色系統(tǒng)理論中，人們通常把只知道取值范圍而不知道其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。把既有下界aL又有上界aU的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為

通常，在多屬性決策中，有“效益型”屬性、“成本型”屬性等，且屬性不同的“量綱”也不同，因此需要把不同屬性的進(jìn)行規(guī)范化處理，處理方法如下：

對于效益型序列，其區(qū)間灰數(shù)左右端點(diǎn)為：

對于成本型序列，其區(qū)間灰數(shù)左右端點(diǎn)為：

定義2[9]：設(shè)區(qū)間灰數(shù)序列為：

方案Xi與X+的“白部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度為：

同理，方案Xi與X+的“灰部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度為：

因此，方案Xi與X+的接近性綜合關(guān)聯(lián)度為：

其中，權(quán)重一般取λ=0.5，當(dāng)然也可根據(jù)具體情況斟酌確定λ。

對于在有部分權(quán)重信息的屬性值為區(qū)間灰數(shù)的情況下，接近性關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法如下：

同理，方案Xi與X+的“灰部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度為：

因此，方案Xi與X+的接近性綜合關(guān)聯(lián)度為：

其中，權(quán)重一般取λ=0.5，當(dāng)然也可根據(jù)具體情況斟酌確定λ。

2 算法步驟

第1步：構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)決策矩陣。

第2步：對區(qū)間灰數(shù)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

第3步：構(gòu)建理想方案。

第4步：利用信息分解法處理區(qū)間灰數(shù)。

第5步：計(jì)算各方案到理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度。（一般先分別計(jì)算各方案白部到理想方案白部的接近性綜合關(guān)聯(lián)度，灰部到理想方案灰部的接近性關(guān)聯(lián)度，再計(jì)算各方案到理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度）。

第6步：根據(jù)接近性關(guān)聯(lián)度進(jìn)行方案排序。

3 應(yīng)用實(shí)例

例1[9]：一家投資銀行打算投資一個(gè)項(xiàng)目，現(xiàn)有4家公司X1、X2、X3、X4較為合適?，F(xiàn)選取投資凈產(chǎn)值率A1、投資利稅率A2、內(nèi)部收益率A3、環(huán)境污染程度A4這4項(xiàng)指標(biāo)對這4家公司進(jìn)行評估，來確定最終決定是否進(jìn)行投資。具體數(shù)據(jù)如表1所示：其中A1、A2、A3為效益型指標(biāo)，A4為成本型指標(biāo)。

表1 區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

第1步：構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)決策矩陣。

第2步：對區(qū)間灰數(shù)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理（見表2）。

表2 規(guī)范化區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

第3步：構(gòu)建理想方案。

理想方案：

第4步：利用信息分解法處理區(qū)間灰數(shù)。

第5步：計(jì)算各方案到理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度。

接近性綜合關(guān)聯(lián)度又分三步完成：

①各方案與理想方案的“白部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度：

②各方案與理想方案的“灰部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度：

③各方案與理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度：對本例特殊情況而言各方案的“白部序列”與理想方案的“白部序列”接近程度，完全與各方案的“灰部序列”與理想方案的“灰部序列”接近程度排序一致，無論權(quán)重為何值，其綜合關(guān)聯(lián)度都會(huì)保持共同順序，所以沒有必要計(jì)算接近性綜合關(guān)聯(lián)度具體值，而直接進(jìn)入下一步。

第6步：根據(jù)接近性關(guān)聯(lián)度進(jìn)行方案排序。

而文獻(xiàn)[9]方案之間的排序也為X2＞X3＞X4＞X1，顯然本文的方法更簡單。文獻(xiàn)[9]運(yùn)用了向量雙向投影的方法來構(gòu)建模型，計(jì)算過程復(fù)雜；而本文考慮到越接近理想方案則方案越好，從而選用了灰色接近性關(guān)聯(lián)度來建模，且計(jì)算方法簡單。

例2[2]：某人打算購買一套房子，現(xiàn)有4類房屋X1、X2、X3、X4可供選擇?，F(xiàn)選取房屋面積A1（m2）；設(shè)備A2（水平）；環(huán)境A3（水平）；價(jià)格A4（單位面積價(jià)格：元/m2）；距工作地點(diǎn)距離A5（公里）這5項(xiàng)指標(biāo)對這4類房屋進(jìn)行評估，來確定最終決定購買哪套房屋。具體數(shù)據(jù)如表3所示，其中A1、A2、A3為效益型指標(biāo)，A4、A5為成本型指標(biāo)。各指標(biāo)權(quán)重為ω1=0.2087，ω2=0.2225，ω3=0.2256，ω4=0.2046，ω5=0.1386。

表3 區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

第1步：構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)決策矩陣。

第2步：對區(qū)間灰數(shù)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理（見表4）。

表4 規(guī)范化區(qū)間灰數(shù)決策矩陣

第3步：構(gòu)建理想方案。

理想方案：

第4步：利用信息分解法處理區(qū)間灰數(shù)。

第5步：計(jì)算各方案到理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度。

接近性綜合關(guān)聯(lián)度又分三步完成：

①各方案與理想方案的“白部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度：

②各方案與理想方案的“灰部序列”的接近性關(guān)聯(lián)度：

③各方案與理想方案的接近性綜合關(guān)聯(lián)度：

其實(shí)僅就尋找最優(yōu)方案而言，無論是白部還是灰部都是方案是最接近，但方案2、3、4的排序差異較大，必須用綜合關(guān)聯(lián)度來權(quán)衡。

第6步：根據(jù)接近性綜合關(guān)聯(lián)度進(jìn)行方案排序。

從計(jì)算結(jié)果上看出γ＞γ＞γ＞γ（γ(X，X+)簡記為

1432i γi）可知方案X1更接近理想方案，故方案之間的排序?yàn)閄1＞X4＞X3＞X2，因此購買第X1套房子較好。

而文獻(xiàn)[2]方案之間的排序?yàn)閄1＞X4＞X2＞X3，也是方案X1較好。文獻(xiàn)[2]同時(shí)考慮了理想方案和臨界方案的綜合關(guān)聯(lián)度方法。而本文考慮了理想方案的接近性關(guān)聯(lián)度的方法，顯然本文的方法更簡單。

4 結(jié)論

本文研究了決策矩陣為區(qū)間灰數(shù)的多目標(biāo)決策問題，提出了將區(qū)間灰數(shù)序列分解為“白部序列”、“灰部序列”，然后分別計(jì)算出各方案與理想方案的“白部序列”、“灰部序列”的灰色接近性關(guān)聯(lián)度。

該方法計(jì)算簡便，具體體現(xiàn)在：

（1）對原始數(shù)據(jù)不作始點(diǎn)零象化、初值單位化、均值化等處理。避免了因這些處理抹殺數(shù)據(jù)之間的本質(zhì)差異的可能性，比如，始點(diǎn)零像化會(huì)抹殺對應(yīng)坐標(biāo)相差一個(gè)常數(shù)的差異，初值單位化會(huì)抹殺相差常數(shù)倍的差異，等等不一一列舉，這將導(dǎo)致差異較大的方案關(guān)聯(lián)卻較大的可能性無法排除。順便指出：反映接近性的相關(guān)程度的關(guān)聯(lián)度不宜作數(shù)據(jù)初始化變換，反映相似性相關(guān)程度的關(guān)聯(lián)度必須將“作數(shù)據(jù)初始化變換不改變關(guān)聯(lián)度值”做為合理性要求。

（2）直接計(jì)算各方案與理想方案之間的接近性關(guān)聯(lián)度，沒有涉及投影的計(jì)算，盡管絕大部分情形方案投影越接近理想方案就是方案接近理想方案，但無法排除例外情形的存在，至少是缺乏嚴(yán)格的理論保證，本方法避免了可能導(dǎo)致例外情形的發(fā)生的擔(dān)憂。