鄧曉衛(wèi)，章鋮斌

（南京工業(yè)大學(xué)a.數(shù)理科學(xué)學(xué)院；b.海外教育學(xué)院，南京 211800）

0 引言

統(tǒng)計(jì)套利通過(guò)對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從一組資產(chǎn)的定價(jià)偏差中獲利。價(jià)差的波動(dòng)率決定了套利的成本和收益，而套利資產(chǎn)組合價(jià)格收斂是套利策略的基本保證。目前為止，國(guó)內(nèi)外關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利的研究，主要針對(duì)于各種期貨產(chǎn)品的套利策略研究[1-4]。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)研究的深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)建立在機(jī)器學(xué)習(xí)方法上的預(yù)測(cè)比一般時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型要更精準(zhǔn)[5-8]。于是有學(xué)者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)套利中，如：徐顥華等[9]引入差分BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)股指期貨進(jìn)行預(yù)測(cè)，檢驗(yàn)其預(yù)測(cè)結(jié)果好于普通BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，提出可用于套利；靳朝翔等[10]以焦炭、鐵礦石和螺紋鋼為例，基于NAR動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型研究套利策略；劉陽(yáng)等[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與動(dòng)態(tài)GARCH模型相結(jié)合，提出了一種基于信息更新NN-GARCH模型，對(duì)大連商品交易所的大豆一號(hào)和二號(hào)的統(tǒng)計(jì)套利策略進(jìn)行了研究。

綜上，關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利的研究特點(diǎn)是：第一，在研究對(duì)象上，大部分以期貨產(chǎn)品為主，且套利產(chǎn)品一般是基于兩個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行；第二，在研究方法上，基本還是采用協(xié)整分析、誤差修正模型等方法。雖然基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)套利有初步的研究，但研究的方法和對(duì)象還十分欠缺。如文獻(xiàn)[9]提出的差分BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可用于套利但并未對(duì)此真正展開(kāi)研究。而且，這些研究都是基于較為基礎(chǔ)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：第一，就交易對(duì)象而言，選擇國(guó)內(nèi)股票市場(chǎng)進(jìn)行研究，并且考慮多元投資組合的統(tǒng)計(jì)套利策略；第二，基于LSTM和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提出一個(gè)混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并應(yīng)用Google公司開(kāi)發(fā)的最新機(jī)器學(xué)習(xí)框架Tensorflow進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利研究。

1 混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從激勵(lì)函數(shù)Sigmoid函數(shù)開(kāi)始：

然后通過(guò)隱含層的輸出、輸出層的輸出、誤差的計(jì)算、權(quán)值的更新、偏置的更新等步驟進(jìn)行迭代，最終得到較理想的結(jié)果。

LSTM（Long Short-Term Memory）是一種時(shí)間遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由通過(guò)精心設(shè)計(jì)的稱作“門(mén)”的結(jié)構(gòu)來(lái)去除或增加信息到細(xì)胞狀態(tài)的能力，他們包含一個(gè)Sigmoid神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層和一個(gè)Pointwise乘法操作。LSTM擁有三個(gè)門(mén)（遺忘門(mén)、輸入門(mén)、輸出門(mén)）來(lái)保護(hù)和控制細(xì)胞狀態(tài)。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者和研究人員改進(jìn)，目前已被廣泛用于多個(gè)領(lǐng)域，如語(yǔ)言翻譯、圖像識(shí)別、預(yù)測(cè)疾病、點(diǎn)擊率、股票等。

由于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理和預(yù)測(cè)時(shí)間序列中間隔和延遲相對(duì)較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)、學(xué)習(xí)長(zhǎng)期依賴信息方面具有優(yōu)勢(shì)，故本文擬將LSTM模型用于統(tǒng)計(jì)套利的前期預(yù)測(cè)。但在對(duì)該模型實(shí)際運(yùn)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，單純運(yùn)用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型做預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)區(qū)間的前段效果并不是十分理想。于是本文提出一種混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，即在LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)修正，使得預(yù)測(cè)值更精準(zhǔn)，最終提高了統(tǒng)計(jì)套利結(jié)果。具體步驟如下：

首先，將所有數(shù)據(jù)集分為訓(xùn)練集、測(cè)試集和預(yù)測(cè)集，用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練、測(cè)試和預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值記為yLSTM；然后，將原先的訓(xùn)練集和測(cè)試集的數(shù)據(jù)重新分為新的訓(xùn)練集、測(cè)試集和預(yù)測(cè)集，記為訓(xùn)練集1、測(cè)試集1和預(yù)測(cè)集1，重復(fù)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)步驟，得到預(yù)測(cè)集1與真實(shí)數(shù)據(jù)誤差的時(shí)間序列；最后，對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，得到預(yù)測(cè)集的誤差項(xiàng)的變化，記為εBP，以此對(duì)yLSTM不太穩(wěn)定的前段進(jìn)行修正，得最終預(yù)測(cè)值為：

式（2）即為一個(gè)混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。下文將通過(guò)實(shí)證檢驗(yàn)該混合模型的預(yù)測(cè)精度高于單純用BP預(yù)測(cè)的精度。

2 混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型套利策略

首先，由長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系選出可能進(jìn)行套利的n個(gè)資產(chǎn)，設(shè)為x1t，x2t，…，xnt（此處亦表示各資產(chǎn)的收盤(pán)價(jià)）；采用文獻(xiàn)[9]的方法，可得該資產(chǎn)組合t時(shí)刻的利潤(rùn)為：

其中，ut=x1t-α1x2t-α2x3t-…-αn-1xnt右端各系數(shù)通過(guò)最小二乘擬合來(lái)確定。在確定各資產(chǎn)權(quán)重αi后，采用本文提出的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，按累積疊加的方式用xit的前t個(gè)值去預(yù)測(cè)第t+1個(gè)值，再得到預(yù)測(cè)的利潤(rùn)函數(shù)序列{proft}。

然后，對(duì)時(shí)間序列{proft}進(jìn)一步分析，通過(guò)建立ARMA(p,q)模型，從中分離出隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εt（此為白噪聲序列），本文的統(tǒng)計(jì)套利是通過(guò)對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)εt的預(yù)測(cè)值來(lái)設(shè)計(jì)套利策略。經(jīng)過(guò)多次嘗試，最后選擇的是ARMA(1,1)模型如式（4）所示：

最后，統(tǒng)計(jì)套利最重要的是分析套利中出現(xiàn)的時(shí)機(jī)和概率。為此，本文先確立套利區(qū)間，使用上述模型計(jì)算得到殘差εt，并且假設(shè)交易閾值為λ1和λ2，則λ1εt和 -λ1εt為交易（買(mǎi)空、賣(mài)空）的上下界。同時(shí)設(shè)立平倉(cāng)的最大區(qū)域，設(shè)置λ2εt和 -λ2εt為平倉(cāng)上下限。這里，λ1，λ2＞0 ，且λ2＞λ1。

建立套利的頭寸后，當(dāng)價(jià)差序列如期回歸到μ±λi εt(i=1)區(qū)間時(shí)（μ為均值，此處為0）進(jìn)行反向操作獲利，從而完成一次正向或反向的套利。如果沒(méi)有如期回歸至標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間，本文設(shè)定了平倉(cāng)上下限，即當(dāng)價(jià)差觸發(fā)μ±λiεt(i=2)以外的區(qū)域時(shí)，多頭頭寸或空頭頭寸立即平倉(cāng)止損。該策略是基于風(fēng)險(xiǎn)管控的交易策略，為了避免過(guò)大的波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取及預(yù)處理

根據(jù)統(tǒng)計(jì)套利的相關(guān)理論，先找具有較高相關(guān)性的股票來(lái)作為研究樣本。通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，本文選取了相關(guān)性較高的4只股票：中國(guó)銀行、工商銀行、農(nóng)業(yè)銀行和建設(shè)銀行四大國(guó)有銀行2016年1月1日至2017年9月30日每日開(kāi)盤(pán)價(jià)、收盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、復(fù)權(quán)價(jià)1、成交量、成交金額、振幅作為研究樣本，用這8個(gè)變量使用混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)下一交易日的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)。混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬所用的程序基于TensorFlow框架，這是谷歌研發(fā)的第二代人工智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)，并在2015年11月9日宣布開(kāi)源，利用Python語(yǔ)言對(duì)此進(jìn)行控制。統(tǒng)計(jì)軟件使用Eviews10.0。

3.2 平穩(wěn)性及協(xié)整檢驗(yàn)

進(jìn)行套利的組合產(chǎn)品需要滿足協(xié)整關(guān)系。首先，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)以確定他們的單整階數(shù)。此處采用ADF檢驗(yàn)。記x1t、x2t、x3t、x4t為工商銀行、建設(shè)銀行、農(nóng)業(yè)銀行、中國(guó)銀行第t天的股票收盤(pán)價(jià)價(jià)格。對(duì)4只股票的收盤(pán)價(jià)及收盤(pán)價(jià)差分序列作ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示①限于篇幅，此處省略了ADF的全部檢驗(yàn)結(jié)果。：四家銀行股票收盤(pán)價(jià)格序列均不平穩(wěn)，但其一階差分序列在1%的水平下均是平穩(wěn)序列，即他們具有相同的單整階數(shù)：{xit}～I(xiàn)(1)，i=1，2，3，4 。

其次，用E-G兩步法對(duì)x1t、x2t、x3t、x4t進(jìn)行協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)。同時(shí)為了分析不同投資組合及不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在統(tǒng)計(jì)套利中的獲利差異及優(yōu)劣，本文以所選的4只股票為基礎(chǔ)構(gòu)造了四種投資組合（見(jiàn)表1），分別對(duì)他們進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)。

表1 投資組合列表

先對(duì)Porti，(i=1，2，3，4)進(jìn)行OLS回歸，以獲取殘差項(xiàng)uit，i=1，2，3，4 。再對(duì)該殘差序列分別進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示。

表2 uit的單位根檢驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果顯示，四組殘差序列在1%或5%的置信水平下均平穩(wěn)，從而所構(gòu)造的四個(gè)組合均存在長(zhǎng)期的協(xié)整關(guān)系。

3.3 套利策略制定

根據(jù)式（3）定義，該四種組合的套利收益可以表示為：其中，uit，t=1，2，3，4 。由前OLS回歸結(jié)果確定，具體如下：

對(duì)每只股票將其樣本數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集：2016.01.04-2017.04.05；測(cè)試集:2017.04.06-2017.07.06及預(yù)測(cè)集：2017.7.7-2017.9.29。運(yùn)用混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型按前述給定的策略進(jìn)行訓(xùn)練、測(cè)試及預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)中設(shè)定訓(xùn)練次數(shù)為10000次，學(xué)習(xí)速率為0.0006，隱藏層為10層。通過(guò)上述訓(xùn)練、測(cè)試，預(yù)測(cè)出2017年7月7日至2017年9月29日的各股票價(jià)格走勢(shì)，如圖1所示。

圖1混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)曲線與真實(shí)走勢(shì)曲線比較圖

再由式（6）至式（9）根據(jù)投資組合中各產(chǎn)品的權(quán)重計(jì)算出相應(yīng)組合的利潤(rùn)序列值profit。

在得到利潤(rùn)序列{profit}后，建立其ARMA(1,1)模型，得到殘差項(xiàng)εit，之后按設(shè)定套利和平倉(cāng)閾值并進(jìn)行套利，由此完成統(tǒng)計(jì)套利的全過(guò)程。

具體交易策略。如對(duì)投資組合1即Port1，由式（6）：一份完整的多頭頭寸交易是買(mǎi)入0.53份中國(guó)銀行股票同時(shí)賣(mài)出1份農(nóng)業(yè)銀行股票；一份完整的空頭頭寸交易則是賣(mài)出0.530份中國(guó)銀行股票同時(shí)買(mǎi)入1份農(nóng)業(yè)銀行股票。同理，Port2、Port3和Port4中，各金融產(chǎn)品的投資比例由式（7）至式（9）確定，分別為：1∶-1.139;-0.927;1∶-1.460∶-0.635以及1∶-0.218∶-0.821∶-0.789。

其中，“-”代表反向操作，當(dāng)然真正購(gòu)買(mǎi)股票不存在小數(shù)，但這不影響交易策略的制定，因?yàn)榭梢酝壤糯?，使得交易比例為整?shù)即可實(shí)現(xiàn)真正的套利方案。

3.4 套利交易結(jié)果

為比較BP、LSTM以及混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)套利的優(yōu)劣，先采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)平均誤差超過(guò)1%；然后采用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)平均誤差降低到0.7%左右；最后用混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)，平均誤差在0.5%左右。表3給出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)并進(jìn)行套利結(jié)果（鑒于LSTM只在預(yù)測(cè)區(qū)間的前端誤差較大，總體套利結(jié)果只在前段與混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型套利結(jié)果出現(xiàn)差異，故此處省略）。

表3 Port1投資組合套利結(jié)果

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是從套利成功率、累計(jì)收益率、最大收益率，還是從最大虧損率和套利次數(shù)來(lái)看，混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的套利結(jié)果均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的套利結(jié)果。由此可見(jiàn)，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率是統(tǒng)計(jì)套利成功的重要保證。預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確，套利成功率、收益率和套利次數(shù)越高，同時(shí)最大虧損率下降，說(shuō)明提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率可以顯著減少風(fēng)險(xiǎn)。

接下來(lái)本文探討在原有兩個(gè)組合中增加投資組合產(chǎn)品個(gè)數(shù)，再應(yīng)用混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)套利會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)果。仍舊從套利成功率、累計(jì)收益率、最大收益率、最大虧損率和套利次數(shù)這幾個(gè)指標(biāo)研究套利策略效果，結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 投資組合Port2—Port4的兩種模型套利結(jié)果比較

結(jié)合表4和表3可以得到：本文提出的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的套利成功率及累計(jì)收益率均高于單一BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的套利結(jié)果；增加投資組合中的產(chǎn)品數(shù)，即投資組合的多元化可以有效地增加套利成功率和累計(jì)收益率；基于混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的最大虧損率低于單一BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型套利的最大虧損率。但從Port2—Port4的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：基于混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)成功的套利次數(shù)與基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)成功的套利次數(shù)沒(méi)有顯著提高（但亦沒(méi)有減少）；特別是最大收益率指標(biāo)，有的組合（如Port3）混合預(yù)測(cè)的結(jié)果低于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果。具體分析其原因發(fā)現(xiàn)：套利結(jié)果的好壞與投資組合中金融產(chǎn)品本身的優(yōu)劣有較大的關(guān)系。事實(shí)上，Port2是在Port1的基礎(chǔ)上增加了工商銀行；Port3是在Port1的基礎(chǔ)上增加了建設(shè)銀行，經(jīng)過(guò)查證，在此預(yù)測(cè)時(shí)間段內(nèi)，工商銀行主營(yíng)收入增長(zhǎng)遠(yuǎn)高于建設(shè)銀行。由此可見(jiàn)，在投資組合中增加產(chǎn)品，要審慎選擇。增加產(chǎn)品的好壞可能直接影響到統(tǒng)計(jì)套利的成功及獲利大小。怎樣審慎選擇一個(gè)投資組合？這正是下一步研究的問(wèn)題。

4 結(jié)論

本文以LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為基礎(chǔ)，提出了一個(gè)混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用于統(tǒng)計(jì)套利的預(yù)測(cè)，研究不同的投資組合下的統(tǒng)計(jì)套利策略，并用中、工、農(nóng)、建四大國(guó)有銀行2016年1月1日至2017年9月30日的真實(shí)數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行實(shí)證分析。結(jié)果顯示：本文提出的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)結(jié)果。帶來(lái)的直接效果就是使得套利收益率顯著提升，即采用本文提出的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的套利策略是十分有效的。不僅如此，混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的套利成功率、套利次數(shù)均增加，最大收益率和最大虧損率均得到改善，因此采用混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立預(yù)測(cè)模型,并進(jìn)行套利,會(huì)使預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確，套利更精準(zhǔn)，收益也更大。之后投資組合的多元化檢驗(yàn)，不僅同樣符合上述結(jié)論，也可以有效地增加套利次數(shù)和套利成功率，說(shuō)明投資組合越多元，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)會(huì)更小，換言之套利機(jī)會(huì)越多。但并不是投資組合中的金融產(chǎn)品越多越好，只有對(duì)金融產(chǎn)品作合理篩選，包括數(shù)量和質(zhì)量，才能獲得較好的投資收益。

研究中也存在不足，首先本文只選擇了四個(gè)公司做樣本進(jìn)行研究，樣本較少可能存在一定的實(shí)驗(yàn)誤差。其次，在統(tǒng)計(jì)套利收益的測(cè)算中，沒(méi)有考慮交易所產(chǎn)生的費(fèi)用，如手續(xù)費(fèi)等。當(dāng)考慮相關(guān)費(fèi)用，投資收益會(huì)有所下降，但是對(duì)整體實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)較大影響。再次，以什么原則選擇一組投資組合產(chǎn)品，以獲得更多套利機(jī)會(huì)和更高收益？本文還沒(méi)有給出確定的方法。